应用随机过程李东风2025-05-16
应用随机过程 李东风 2025-05-16
目录7简介91预备知识91.1概率空间1.2随机变量与分布函数18271.3数字特征、矩母函数与特征函数1.4收敛性45独立性与条件期望491.51.6补充内容6575随机过程的基本概念和基本类型2752.1基本概念762.2有限维分布与Kolmogorov定理随机过程的基本类型2.3793泊松过程87873.1泊松过程定义3.2与泊松过程相联系的若干分布92993.3泊松过程的推广3.4补充1064更新过程1134.1更新过程的定义及若干分布1134.2119更新方程及其应用3
目录 简介 7 1 预备知识 9 1.1 概率空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 随机变量与分布函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 数字特征、矩母函数与特征函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4 收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.5 独立性与条件期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.6 补充内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2 随机过程的基本概念和基本类型 75 2.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.2 有限维分布与 Kolmogorov 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3 随机过程的基本类型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3 泊松过程 87 3.1 泊松过程定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2 与泊松过程相联系的若干分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3 泊松过程的推广 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.4 补充 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4 更新过程 113 4.1 更新过程的定义及若干分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.2 更新方程及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3
4目录4.3更新定理.1294.4更新过程的推厂:1394.5附录：一些证明.1581635马氏链5.1基本概念.1635.2180状态的分类及性质5.3.190极限定理及平稳分布.2115.4马氏链的应用5.5.214连续时间马氏链5.6连续时间连续状态的马氏过程.2335.7补充.2356鞅2456.1基本概念.2456.2鞅的停时定理及其应用.2606.3一致可积性，.2756.4收敛定理，.2786.5连续鞅.2826.6补充材料.2851布朗运动2937.1高斯分布.2937.2布朗运动概念与性质2967.3布朗运动的鞅性质310.3127.4布朗运动的马氏性7.5布朗运动的最大值变量及反正弦律.3147.6布朗运动的几种变化321.3277.7高维布朗运动7.8补充内容:3288随机积分3378.1关于随机游动的随机积分.3378.2Ito积分:339Ito积分定义的鞅8.3.359
4 目录 4.3 更新定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.4 更新过程的推广 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.5 附录：一些证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5 马氏链 163 5.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.2 状态的分类及性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.3 极限定理及平稳分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.4 马氏链的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 5.5 连续时间马氏链 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.6 连续时间连续状态的马氏过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5.7 补充 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 6 鞅 245 6.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 6.2 鞅的停时定理及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 6.3 一致可积性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 6.4 鞅收敛定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 6.5 连续鞅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 6.6 补充材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 7 布朗运动 293 7.1 高斯分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 7.2 布朗运动概念与性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 7.3 布朗运动的鞅性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 7.4 布朗运动的马氏性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 7.5 布朗运动的最大值变量及反正弦律 . . . . . . . . . . . . . . . . 314 7.6 布朗运动的几种变化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 7.7 高维布朗运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 7.8 补充内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 8 随机积分 337 8.1 关于随机游动的随机积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 8.2 Itô 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 8.3 Itô 积分定义的鞅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
目录58.4Ito公式.3668.5补充:384随机过程在金融中的应用40799.1金融市场的术语与基本假定.4079.2Black-Scholes模型:41010随机过程在保险中的应用419.41910.1基本概念.41910.2经典破产理论介绍42111MCMC方法42111.1计算积分的蒙特卡洛方法11.2MCMC方法简介.421：42111.3Metropolis-Hastings算法.42111.4Gibbs抽样: 42111.5贝叶斯MCMC估计方法参考文献423
目录 5 8.4 Itô 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 8.5 补充 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 9 随机过程在金融中的应用 407 9.1 金融市场的术语与基本假定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 9.2 Black-Scholes 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 10 随机过程在保险中的应用 419 10.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 10.2 经典破产理论介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 11 MCMC 方法 421 11.1 计算积分的蒙特卡洛方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 11.2 MCMC 方法简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 11.3 Metropolis-Hastings 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 11.4 Gibbs 抽样 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 11.5 贝叶斯 MCMC 估计方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 参考文献 423
简介这是北京大学数学科学学院金融数学系《金融中的随机数学》1班的讲义，采用的教材为张波、商豪、邓军（2023）《应用随机过程》第6版，中国人民大学出版社。参考书：(Ross2019):IntroductiontoProbabilityModels.:(Shreve 2004): Stochastic Calculus for Finance II Continuous TimeModels.：（刘勇2024）刘勇.2024.应用随机分析，内部讲义。·（严加安2023）严加安.2023.金融数学引论．第二版.科学出版社：（林元烈2002）林元烈.2002.应用随机过程.清华大学出版社7
简介 这是北京大学数学科学学院金融数学系《金融中的随机数学》1 班的讲义，采用 的教材为张波、商豪、邓军（2023）《应用随机过程》第 6 版，中国人民大学出 版社。 参考书： • (Ross 2019)：Introduction to Probability Models. • (Shreve 2004)：Stochastic Calculus for Finance II Continuous Time Models. • (刘勇 2024) 刘勇. 2024. 应用随机分析，内部讲义。 • (严加安 2023) 严加安. 2023. 金融数学引论. 第二版. 科学出版社. • (林元烈 2002) 林元烈. 2002. 应用随机过程. 清华大学出版社. 7