解:以小球为研究对象。考虑到小球作曲线运动,因此,选 择自然坐标是比较方便的 (1)任意时刻物体的速率 列动力学方程: N 法向:R切向:M=m dt 午联立求解方程 t→ dt R Vo y 0 R R 于是:卩= R+uvot 分离变 中(2.物体运动的路程 C量方 由d=m→=m==R+m=Am(1+R 上页
解：以小球为研究对象。考虑到小球作曲线运动，因此，选 择自然坐标是比较方便的。 (1).任意时刻物体的速率 列动力学方程： 法向： R mv N 2 = 切向： dt dv − N = m 联立求解方程： = − = − v t v dt v R dv dt v R dv 0 2 2 0 于是： R v t v R v 0 0 + = v N f (2). 物体运动的路程 ln(1 ) 0 0 0 0 0 0 R R v t dt R v t v R ds vdt ds vdt s s t t = + + = = = 由 分离变 量方法
王 说明:A建立坐标系,依求解问题方便而定,一般地,求解曲 线运动问题,建立自然坐标简便 B法向加速度、切向加速度中,是速率,不是速度。 C熟练掌握一些数学技巧,理解数学中求导、积分的物理涵义 例:设颗粒质量为m,受水的浮力为B,颗粒运动时受水的阻 力为:=-和v,k为常数。 B 求:颗粒由静止下降过程中的速度随时 f 问的变化规律及颗粒的极限速度。 解:(1).颗粒白静止下降过程中速度 随时间的变化规律 上建立郾示坐标系,设时,颗粒速度vm下卡 mo-B-ky= m 上页
说明：A.建立坐标系，依求解问题方便而定，一般地，求解曲 线运动问题，建立自然坐标简便 B.法向加速度、切向加速度中，v是速率，不是速度。 C.熟练掌握一些数学技巧，理解数学中求导、积分的物理涵义 例：设颗粒质量为m，受水的浮力为B，颗粒运动时受水的阻 力为：f= -kv，k为常数。 求：颗粒由静止下降过程中的速度随时 间的变化规律及颗粒的极限速度。 B mg f x 解：(1).颗粒由静止下降过程中速度 随时间的变化规律 建立图示坐标系，设t=0时，颗粒速度v0=0 dt m dv mg − B − kv =
于:m-m→Em一一如-「m 得:/eMm)→一B=0 k (2颗粒的极限速度 分离变 方 由速度的解显然看出,当时间增大时: 2B(1-m)→ mo-B k =vrv为极限速度 还可以看出,当b=ng时,四=0,这是显然的。 H说明:本题的主要目的在于重视数学技巧及解题结果的讨论 例:如图,已知环套在与竖直轴成的杆上,其质量为m,杆 绕竖直轴以o的速度匀速转动,环距离轴心距离为L 求:(1).当环与杆相对静止时,杆对环的静摩擦力 (2).若环与杄的静摩擦系数为山时, 上页
于是： = − − = − − v t m dt mg B kv dv m dt mg B kv dv 0 0 解之得： T kt m v k mg B e k mg B v = − − → − = − (1 ) / (2).颗粒的极限速度 由速度的解显然看出，当时间增大时： T kt m v k mg B e k mg B v = − − → − = − (1 ) / vT为极限速度 还可以看出，当b=mg时，v=0，这是显然的。 说明：本题的主要目的在于重视数学技巧及解题结果的讨论 分离变 量方法 例：如图，已知环套在与竖直轴成的杆上，其质量为m，杆 绕竖直轴以的速度匀速转动，环距离轴心距离为l 求：(1).当环与杆相对静止时，杆对环的静摩擦力 (2).若环与杆的静摩擦系数为s时
王 欲保持杄静止,杆的角速度应保持在什么范围? 不解:建立示坐标系,并对环受力分析,设向上 (1).当杆与环保持相对静止时 Ncos0-f 6=m(lsin 0)a N 6+f cos= mg 解此联立方程组: N=mg sin 6+mo sin cos 6 f=m(g cos6-l@ sin 8) G (2).若环与杆的静摩擦系数为时,欲 保持杆静止,则必须满足的条件是: fsu.N 讨论:A.当八0,即环有下滑趋势,此时,存在一个最小角速 度om,代入上述结果有: 上页
欲保持杆静止，杆的角速度应保持在什么范围？ l N G f y x 解：建立图示坐标系，并对环受力分析，设f向上 (1).当杆与环保持相对静止时 2 N cos − f sin = m(lsin ) N sin + f cos = mg 解此联立方程组： sin sin cos 2 N = mg + ml ( cos sin ) 2 2 f = m g − l (2). 若环与杆的静摩擦系数为s时，欲 保持杆静止，则必须满足的条件是： f sN 讨论：A.当f>0，即环有下滑趋势，此时，存在一个最小角速 度 min，代入上述结果有：
g(cos 6-A sin 8) oiSin@(sin 0+u, cos 0)min 显然,当cs-H,snb<0,即g2时,不存在Om 或即便amin=0,环也不下滑。 B当/≈0,即环有上滑趋势,此时,存在一个最大角速度omx 代入上述结果有: ≤ g(cos 6+u sin 0) lsin g(sin 8-u cos 0) ax 显然,当sinb-,0sB≤0,即g6sH,时,不存在mx 或即便an→>0,环也不上滑。 杆的角 速度的 lsin6(i+Hc0O)≤o≤/(c0s+sinB)泸围 g(cos 8-us sin 0) Visin g(sin 8-u, cos 0 上页
min sin (sin cos ) (cos sin ) = + − s s l g 显然，当 cos − s sin 0 ，即 −1 s tg 时，不存在 min， 或即便 min=0，环也不下滑。 B.当f<0，即环有上滑趋势，此时，存在一个最大角速度 max， 代入上述结果有： max sin (sin cos ) (cos sin ) = − + s s l g 显然，当 ，即 时，不存在 max， 或即便 max→，环也不上滑。 sin − s cos 0 −1 s tg sin (sin cos ) (cos sin ) sin (sin cos ) (cos sin ) s s s s l g l g − + + − 杆的角 速度的 范围