高等数学 教学大纲 【说明】高等数学是物理学专业学生必修的一门重要的基础课,它是培养高 层次人才所需的基本课程。 通过本课程的学习,要使学生获得有关微积分、矢量代数、空间解析几何、 无穷级数和常微分方程的基本知识,掌握必要的理论和常用的运算方法。培养 学生的运算能力、综合分析的能力以及抽象思维、逻辑推理和空间想象的能力, 从而一方面为后继课程奠定必要的数学基础,另一方面也使学生能够正确地运 用数学知识解决物理学中实际问题。 本课程在第一,二学期开设。第一学期(前五章)总学时数80,周学时为 5,第二学期总学时数85学时,周学时为5。 各章教学时数分配表 章序 章名 讲课时数习题课时数小计 第一章函数与极限 12 2 14 第二章微分学 22 第三章不定积分 第四章微分方程初步 第五章定积分 14 2 16 第六章空间解析几何和矢量代数 14 第七章多元函数微分学 12 14 第八章重积分 14 第九章曲线积分曲面积分矢量分析初步 第十章级数 16 2 18 第十一章广义积分和含参变量积分 4 21
1 高等数学 教学大纲 【说明】高等数学是物理学专业学生必修的一门重要的基础课，它是培养高 层次人才所需的基本课程。 通过本课程的学习，要使学生获得有关微积分、矢量代数、空间解析几何、 无穷级数和常微分方程的基本知识，掌握必要的理论和常用的运算方法。培养 学生的运算能力、综合分析的能力以及抽象思维、逻辑推理和空间想象的能力， 从而一方面为后继课程奠定必要的数学基础，另一方面也使学生能够正确地运 用数学知识解决物理学中实际问题。 本课程在第一，二学期开设。第一学期（前五章）总学时数 80，周学时为 5， 第二学期总学时数 85 学时，周学时为 5 。 各章教学时数分配表 章序 章 名 讲课时数习题课时数 小计 第一章 函数与极限 12 2 14 第二章 微分学 20 2 22 第三章 不定积分 12 2 14 第四章 微分方程初步 12 2 14 第五章 定积分 14 2 16 第六章 空间解析几何和矢量代数 12 2 14 第七章 多元函数微分学 12 2 14 第八章 重积分 14 2 16 第九章 曲线积分曲面积分矢量分析初步 16 2 18 第十章 级数 16 2 18 第十一章 广义积分和含参变量积分 4 1 5 总 计 144 21 165
【本文】 第一章函数与极限 教学目的: 理解函数的概念性质。理解复合函数、反函数的概念。理解各类极限的概 念,掌握极限的基本性质、极限四则运算法则及两个极限存在法则,理解无穷 小量和无穷大量的概念,会确定无穷小的阶和利用等价无穷小求极限。理解函 数连续的概念,了解间断点的概念,并会判别间断点的类型。掌握初等函数的 连续性,了解闭区间上连续函数的性质。 内容要点: (一)函数 1、理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性 2、理解复合函数和反函数的概念。熟悉基本初等函数的性质及其 图形 (二)极限 1、理解极限的概念和性质(对极限的ε-N、ε-∂定义可在学习过程 中逐步加深理解),掌握极限四则运算法则。 2、理解极限存在的夹逼准则,了解单界有界数列必有极限会用两 个重要极限求极限。 3、了解无穷小量、无穷大量以及无穷小的阶的概念及性质。掌握无 穷小量的比较,会用等价无穷小求极限。 (三)连续函数 1、理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念,了解间断点 的概念,并会判别间断点的类型。 2、了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和 最大、最小值定理) (四)习题课 教学建议
2 【本文】 第一章 函数与极限 教学目的： 理解函数的概念性质。理解复合函数、反函数的概念。理解各类极限的概 念，掌握极限的基本性质、极限四则运算法则及两个极限存在法则，理解无穷 小量和无穷大量的概念，会确定无穷小的阶和利用等价无穷小求极限。理解函 数连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。掌握初等函数的 连续性，了解闭区间上连续函数的性质。 内容要点： （一）函数 1、理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有 界 性。 2、理 解 复合 函 数和 反 函数 的 概念 。熟 悉 基 本初 等 函数 的 性质 及 其 图形。 （二）极限 1、理解极限的概念和性质(对 极 限的 -N、 - 定 义可 在 学习 过 程 中逐步加深理解)，掌 握 极限 四 则运 算 法 则。 2、理解极限存在的夹逼准则，了解单界有界数列必有极限会用两 个重要极限求极限。 3、了解无穷小量、无穷大量以及无穷小的阶的概念及性质。掌握无 穷小量的比较，会用等价无穷小求极限。 （三）连续函数 1、理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点 的概念，并会判别间断点的类型。 2、了解 初等 函 数的 连 续性 和 闭区 间 上连 续 函 数的 性 质(介值 定 理和 最大、最小值定理 )。 （四）习题课 教学建议：
●教学方法建议:讲授为主,讨论为辅,练习法。 教学手段建议:语言、板书与多媒体教学手段相结合。 授课时数:讲授课12学时,习题课2学时。 作业与思考:P149部分习题,P部分习题。 第二章微分学 教学目的: 理解导数的概念、几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。掌握导 数的基本公式及运算法则,掌握复合函数的求导法则,掌握对数、隐函数和参 数方程所确定的函数的求导法,会求反函数的导数。理解微分的概念,会计算 微分。了解一阶微分的形式不变性,了解微分进行简单的近似计算。 理解中值定理,了解泰勒( Taylor))定理,并会用它们解决一些简单问题 掌握用洛必达法则求极限的方法。掌握用导数判断函数的单调性和求极值、最 大值和最小值的方法。掌握用导数判断函数图形凹凸性的方法,会求图形的拐 点。会描绘函数的图形。了解弧微分、曲率和曲率半径的概念及其求法,了解 求方程近似解的弦位法和切线法 内容要点 (一)导数及其运算 1、理解导数的概念,理解导数的几何意义及函数的可导性与连续 性之间的关系。 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等 函数、双曲函数的导数公式 3、了解高阶导数的概念 4、掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 会求对数、隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数 会求反函数的导数
3 ● 教学方法建议：讲授为主，讨论为辅，练习法。 ● 教学手段建议：语言、板书与多媒体教学手段相结合。 授课时数：讲授课 12 学时，习题课 2 学时。 作业与思考：P74-79部分习题，P99-101部分习题。 第二章 微分学 教学目的： 理解导数的概念、几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。掌握导 数的基本公式及运算法则，掌握复合函数的求导法则，掌握对数、隐函数和参 数方程所确定的函数的求导法，会求反函数的导数。理解微分的概念，会计算 微分。了解一阶微分的形式不变性，了解微分进行简单的近似计算。 理解中值定理，了解泰勒(Taylor) 定理，并会用它们解决一些简单问题。 掌握用洛必达法则求极限的方法。掌握用导数判断函数的单调性和求极值、最 大值和最小值的方法。掌握用导数判断函数图形凹凸性的方法，会求图形的拐 点。会描绘函数的图形。了解弧微分、曲率和曲率半径的概念及其求法，了解 求方程近似解的弦位法和切线法。 内容要点： （一）导数及其运算 1、理 解 导数 的 概念 ，理 解 导数 的 几何 意 义 及函 数 的可 导 性与 连 续 性之间的关系。 2、掌 握 导数 的 四则 运 算法 则 和复 合 函数 的 求 导法 ，掌 握 基本 初 等 函数、双曲函数的导数公式。 3、了解高阶导数 的概 念 。 4、掌握初等函数 一阶 、 二阶 导 数的 求 法 。 5、 会求 对 数、 隐 函数 和 参数 式 所确 定 的 函数 的 一阶 、 二阶 导 数 。 会求反函数的导数
(二)微分 1、理解微分的概念,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变 性 2、了解微分的近似计算 (三)中值定理导数的应用 1、理解罗尔( Rolle)定理和拉格朗日( Lagrange)定理,了解柯西 ( Cauchy)定理和泰勒( Tay lor)定理。 2、会用洛必达(L’ Hospital)法则求不定式的极限。 3、理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值、 最大值和最小值的方法 4、会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会描绘函数的图 形(包括水平和铅直渐进线) 5、了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径 6、了解求方程近似解的弦位法和切线法 (四)习题课 教学建议: ●教学方法建议:讲授为主,讨论为辅,练习法。 教学手段建议:语言、板书与多媒体教学手段相结合 授课时数:讲授课20学时,习题课2学时。 作业与思考:P13-1s部分习题,P1s-1部分习题 P19-202部分习题。 第三章不定积分 教学目的 理解原函数与不定积分的概念、性质及运算法则。掌握不定积分的基本公 式,掌握不定积分的换元法和分步积分法。会求有理函数、三角函数的有理
4 （二）微分 1、理 解微分的概念，了解 微 分的 四 则 运算 法 则 和一 阶 微分 形 式 不变 性。 2、了解微分的近似计算 （三）中值定理 导数的应用 1、理解罗尔(Rolle)定理 和 拉格 朗 日(L ag ran ge)定 理， 了 解柯 西 (Cauchy)定理和泰 勒( Tay lor )定理。 2、会用洛必达(L’ Ho spi tal )法 则 求不 定 式 的极 限 。 3、理解 函 数的 极 值概 念，掌 握用 导 数判 断 函 数的 单 调性 和 求极 值、 最大值和最小值的方法。 4、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图 形(包括水平和铅 直渐 进 线)。 5、了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 6、了解求方程近似解的弦位法和切线法。 （四）习题课 教学建议： ● 教学方法建议：讲授为主，讨论为辅，练习法。 ● 教学手段建议：语言、板书与多媒体教学手段相结合 授课时数：讲授课 20 学时，习题课 2 学时。 作业与思考：P131-135部分习题，P145-146部分习题， P198-202部分习题。 第三章 不定积分 教学目的： 理解原函数与不定积分的概念、性质及运算法则。掌握不定积分的基本公 式，掌握不定积分的换元 法和 分 步积 分 法。会求有理函数、三角函数的有理
式及简单的无理函数的积分。了解积分表的使用 内容要点 (一)不定积分 1、理解原函数与不定积分的概念及性质,掌握不定积分的基本公 式 2、掌握不定积分的换元法和分步积分法。会求简单的有理函数 三角函数有理式及简单的无理函数的积分。 (二)习题课 教学建议 ●教学方法建议:讲授为主,讨论为辅,练习法 教学手段建议:语言、板书与多媒体教学手段相结合。 授课时数:讲授课12学时,习题课2学时 作业与思考:P202部分习题,P2322部分习题 第四章微分方程初步 教学目的 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。掌握可分离变量的方 程、齐次方程、一阶线性方程和伯努利方程的解法。会用降阶法解一些特殊的 高阶微分方程。掌握二阶常系数线性微分方程的解法,并了解高阶常系数齐次 线性微分方程的解法。会用微分方程解决物理学一些简单的实际问题。 内容要点 (一)微分方程的基本概念 1、了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念 (二)一阶微分方程
5 式及简单的无理函数的积分。了解积分表的使用。 内容要点： （一）不定积分 1、理解原函 数 与不 定 积分 的 概念 及 性质 ，掌握 不 定积 分 的基 本 公 式。 2、 掌握 不 定积 分 的换 元 法和 分 步积 分 法 。会 求 简单 的 有理 函 数 、 三角函数有理式及简单的无理函数的积分。 （二）习题课 教学建议： ● 教学方法建议：讲授为主，讨论为辅，练习法。 ● 教学手段建议：语言、板书与多媒体教学手段相结合。 授课时数：讲授课 12 学时，习题课 2 学时。 作业与思考：P208-209部分习题，P237-242部分习题。 第四章 微分方程初步 教学目的： 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。掌握可分离变量的方 程、齐次方程、一阶线性方程和伯努利方程的解法。会用降阶法解一些特殊的 高阶微分方程。掌握二阶常系数线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次 线性微分方程的解法。会用微分方程解决物理学一些简单的实际问题。 内容要点： （一）微分方程的基本概念 1、了解微分方程 、解 、 阶、 通 解、 初 始 条件 和 特解 等 概念 。 （二）一阶微分方程