量子力學 六章:不含时微扰理论 杨焕雄 中国科学术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn November 25, 2019
量子力学 第六章：不含时微扰理论 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn November 25, 2019 1 / 36
本章概要 量子力学体系的 Schrodinger方程 dyl h2 V2+V, d y 除了少薮几个特倒(如简谐振子和氨原子)外,住往不能严格求 解.因此,在处理实际问题的时候,一方面需要建立适当的模 型简化问题,另一方面还需要采用逅当的近似方法. 从本章起拟介绍的近似方法如下 ◎定态问题微扰论. 变分原理 WKB非微扰方法 合时问题微扰论. 绝热近似
本章概要： 量子力学体系的 Schrödinger 方程， iℏ B Bt “ „ ´ ℏ 2 2 r2 ` Vp~r; tq ȷ 除了少数几个特例 (如简谐振子和氢原子) 外，往往不能严格求 解. 因此，在处理实际问题的时候，一方面需要建立适当的模 型简化问题，另一方面还需要采用适当的近似方法. 从本章起拟介绍的近似方法如下： 1 定态问题微扰论. 2 变分原理. 3 WKB 非微扰方法. 4 含时问题微扰论. 5 绝热近似. 2 / 36
定态微扰论的哲学 设体系的 Hamilton算符为H(不显含t参),能量本征值方程是 Hln=En lpm) 求解此本征值方程一般比较困难. 倘若H可以写作两部分之和 =A0+H=ho+入 其中, 入是一无量纲参数,|《1.以至于P=入表现为微扰 ◎的本征值问题已经斛决 则可以在本征值解这个基础上把的影响按照λ的冪次逐 燄考虑进去,从而求得的本征值闷题的尽可能接近于精确解 的近似解
定态微扰论的哲学： 设体系的 Hamilton 算符为 Hˆ (不显含 t 参数)，能量本征值方程是： Hˆ | ny “ En | ny 求解此本征值方程一般比较困难. 倘若 Hˆ 可以写作两部分之和： Hˆ “ Hˆ 0 ` Hˆ 1 “ Hˆ 0 ` Wˆ 其中， 1 是一无量纲参数，|| ! 1， 以至于 Hˆ 1 “ Wˆ 表现为微扰. 2 Hˆ 0 的本征值问题已经解决. 则可以在 Hˆ 0 本征值解这个基础上把 Hˆ 1 的影响按照 的幂次逐 级考虑进去，从而求得 Hˆ 的本征值问题的尽可能接近于精确解 的近似解. 3 / 36
我们首先考虑非简开能级如何受到微扰的影响.设H的本征值 方程 B0|n)=E0|n 己经解出,能EO皆不简并,现在按微拢论的方法求本征值 问题的近似解 En=E0+AE0)+2E2)+…,pyn=|n)+xy0)+x2|y2)+ 其中入为一无量纲的实参数(0<入<1) Enlpm)=E0)+AE )+xE(2)+ [→+4)+219) +X-9)4)+4pw)+B))]+…
我们首先考虑非简并能级如何受到微扰的影响. 设 Hˆ 0 的本征值 方程 Hˆ 0 |ny “ E p0q n |ny 已经解出，能级 E p0q n 皆不简并. 现在按微扰论的方法求 Hˆ 本征值 问题的近似解. 设： En “ E p0q n ` E p1q n ` 2E p2q n ` ¨ ¨ ¨ ; | ny “ |ny ` | p1q n y ` 2 | p2q n y ` ¨ ¨ ¨ 其中 为一无量纲的实参数 (0 ă ă 1). 从而， En | ny “ ” E p0q n ` E p1q n ` 2E p2q n ` ¨ ¨ ¨ ı ¨ ” |ny ` | p1q n y ` 2 | p2q n y ` ¨ ¨ ¨ ı “ E p0q n |ny ` ” E p0q n | p1q n y ` E p1q n |ny ı ` 2 ” E p0q n | p2q n y ` E p1q n | p1q n y ` E p2q n |ny ı ` ¨ ¨ ¨ 4 / 36
同理 B>-[B0+x[D+入9少)+x19)》 01)+)B0)+ +x2|hy2)+y)+ 把以上两式代入到体系的能量本征值方程 Hln=En loan> 中,比较方裎两端参数λ的同冪次项,可得到各缀微扰近似的方 程如下 |n)=E0 x1:|y)+n)=E0|y0)+E)|n x2:y2)+Wpy)=E0|y2)+E1)y)+E21m
同理， Hˆ | ny “ ” Hˆ 0 ` Wˆ ı” |ny ` | p1q n y ` 2 | p2q n y ` ¨ ¨ ¨ ı “ Hˆ 0 |ny ` ” Hˆ 0 | p1q n y ` Wˆ |ny ı ` 2 ” Hˆ 0 | p2q n y ` Wˆ | p1q n y ı ` ¨ ¨ ¨ 把以上两式代入到体系的能量本征值方程 Hˆ | ny “ En | ny 中，比较方程两端参数 的同幂次项，可得到各级微扰近似的方 程如下： 0 : Hˆ 0 |ny “ E p0q n |ny pExpected !q 1 : Hˆ 0 | p1q n y ` Wˆ |ny “ E p0q n | p1q n y ` E p1q n |ny 2 : Hˆ 0 | p2q n y ` Wˆ | p1q n y “ E p0q n | p2q n y ` E p1q n | p1q n y ` E p2q n |ny 3 : ¨ ¨ ¨ 5 / 36