《高中数学》全程设计训练题库（B版选修第三册，课后习题，含答案）第六章 导数及其应用_习题课——导数的综合应用

志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 习题课 导数的综合应用 课后·训练提升 基础巩固 1.已知函数几x)的图象如图所示fx)是函数几x)的导函数，则下列结论正确的是() A.2f2)<4)-2)<2f4) B.2f4)<2f2)<4)-2) C.2f2)<2f4)<f4)-2) D4)-f2)<2f4)<2f2) 答案：A 解析：由题图及导数的几何意义，可知2)<<4， 4-2 即2f2)4)2)<24). 故选A 2.已知函数x)在定义域R内可导，若x)=2-x),且当x∈(-o,1)时，(x1/x)<0,设 a=0),b月)c3),则() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 答案：C 解析：由题意得，当x<1时fx)>0,)在区间(-∞，1)内单调递增.又3)=-1)，且-1<0<六1， 故-l)0)⑤)，即3)0⑤，即c<a<h. 3.已知函数x)=r2+6r+a,若w∈[-1,4，使o)=2a成立，则实数a的取值范围是() A2, 1

1 习题课——导数的综合应用 课后· 基础巩固 1.已知函数 f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数 f(x)的导函数,则下列结论正确的是( ) A.2f'(2)<f(4)-f(2)<2f'(4) B.2f'(4)<2f'(2)<f(4)-f(2) C.2f'(2)<2f'(4)<f(4)-f(2) D.f(4)-f(2)<2f'(4)<2f'(2) 答案:A 解析:由题图及导数的几何意义,可知 f'(2)< 𝑓(4)-𝑓(2) 4-2 <f'(4), 即 2f'(2)<f(4)-f(2)<2f'(4). 故选 A. 2.已知函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(2-x),且当 x∈(-∞,1)时,(x-1)f'(x)<0,设 a=f(0),b=f( 1 2 ),c=f(3),则( ) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 答案:C 解析:由题意得,当 x<1 时,f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,1)内单调递增.又 f(3)=f(-1),且-1<0< 1 2 <1, 故 f(-1)<f(0)<f( 1 2 ),即 f(3)<f(0)<f( 1 2 ),即 c<a<b. 3.已知函数 f(x)=x3 - 9 2 x 2+6x+a,若∃x0∈[-1,4],使 f(x0)=2a 成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.[2, 5 2 ]

志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org B受引 C.[2,16] D.受16 答案D 解析：由几o)-2a,得x8-是x+6w+a-2a, 即x好-号x6+6w=n 设g)=r22+6x,则g)=3x2-9x+6=3x-l)(x-2),令g)=0,解得x=1或x=2 又81)-282)28-1-22g4④=16， 故8gamn一号g=16 由题意，可知g(x)min≤a≤g(x)mar, 故号≤a≤16 4.已知定义在R上的函数x)满足x)+fx)>l,0)=4,则不等式ex)>e+3的解集为) A.(0,+oo） B.(-00,0)U(3,+0) C.(-0,0)U(0,+0) D.(3,+o) 答案：A 解析：设g(x)=ex)-c,x∈R g(x)=ef(x)+e"f(x)-e=e[Ax)+f(x)-1]. .fx)+f(x)>1, .fx)+fx)-1>0, .g(x)>0, ∴·g(x)在R上单调递增. ,cx)>e+3,∴.gx)>3. 又g0)=e0)-e0-4-1=3, …g(x)>g0),x>0.故选A 5.已知函数x)=x+9x+5,则几x)的图象在区间(-1,3)内与x轴的交点的个数为 2

2 B.[- 23 2 , 5 2 ] C.[2,16] D.[- 23 2 ,16] 答案:D 解析:由 f(x0)=2a,得𝑥0 3 − 9 2 𝑥0 2+6x0+a=2a, 即𝑥0 3 − 9 2 𝑥0 2+6x0=a. 设 g(x)=x3 - 9 2 x 2+6x,则 g'(x)=3x 2 -9x+6=3(x-1)(x-2),令 g'(x)=0,解得 x=1 或 x=2. 又 g(1)= 5 2 ,g(2)=2,g(-1)=- 23 2 ,g(4)=16, 故 g(x)min=- 23 2 ,g(x)max=16. 由题意,可知 g(x)min≤a≤g(x)max, 故- 23 2 ≤a≤16. 4.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f'(x)>1,f(0)=4,则不等式 e x f(x)>e x+3 的解集为( ) A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞) C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞) 答案:A 解析:设 g(x)=e x f(x)-e x ,x∈R, 则 g'(x)=e x f(x)+e x f'(x)-e x=e x [f(x)+f'(x)-1]. ∵f(x)+f'(x)>1, ∴f(x)+f'(x)-1>0, ∴g'(x)>0, ∴g(x)在 R 上单调递增. ∵e x f(x)>e x+3,∴g(x)>3. 又 g(0)=e 0 f(0)-e 0=4-1=3, ∴g(x)>g(0),∴x>0.故选 A. 5.已知函数 f(x)=x4+9x+5,则 f(x)的图象在区间(-1,3)内与 x 轴的交点的个数为

志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案1 解析：因为fx)=4x3+9,当x∈(-1,3)时，fx)>0,所以x)在区间(-1,3)内单调递增.又几-1)=-3<0,0)=5>0， 所以x)在区间(-1,3)内与x轴只有一个交点 6.已知函数x)是定义在R上的奇函数，1)=0，当x0时，f0,则不等式x0的解集 是 答案：(-1,0)U(1,+o) 解析：令g)巴40， 则gx)=fx x2 :当>0时，f国0， x2 …g(x)>0,∴g(x)在区间(0，+o)内单调递增. 又1)=0，∴g1)=0, .当x>1时gx)>0,此时x)>0. 儿x)为奇函数 ∴.当-1<x<0时x)>0.由x2fx)>0得x)>0,故x2fx)>0的解集为(-1,0)U(1,+o). 7.已知函数x)=ar2+lnx+2 (I)若a∈R,讨论函数x)的单调性； (2)函数g(x)=x)-a2的图象与直线I交于A(x1n),B22)两点，其中x1<x2,若直线1斜率为k求 证x1<2 (解)-2c止2a斗o0. 当a≥0时，fx)>0在区间(0，+o)内恒成立，故x)在区间(0，+o)内单调递增. 当a<0时，令x)>0,得0<x< 令0得品 故在区(0内单调递增，在区间(、+内单调递 综上，当a≥0时，x)在区间(0，+o)内单调递增； 当0时在区同因内单通在区问（后+内单递 3

3 答案:1 解析:因为 f'(x)=4x 3+9,当 x∈(-1,3)时,f'(x)>0,所以 f(x)在区间(-1,3)内单调递增.又 f(-1)=-3<0,f(0)=5>0, 所以 f(x)在区间(-1,3)内与 x 轴只有一个交点. 6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(1)=0,当 x>0 时, 𝑥𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥) 𝑥 2 >0,则不等式 x 2 f(x)>0 的解集 是 . 答案:(-1,0)∪(1,+∞) 解析:令 g(x)= 𝑓(𝑥) 𝑥 (x≠0), 则 g'(x)= 𝑥𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥) 𝑥 2 . ∵当 x>0 时, 𝑥𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥) 𝑥 2 >0, ∴g'(x)>0,∴g(x)在区间(0,+∞)内单调递增. 又 f(1)=0,∴g(1)=0, ∴当 x>1 时,g(x)>0,此时 f(x)>0. ∵f(x)为奇函数, ∴当-1<x<0 时,f(x)>0.由 x 2 f(x)>0 得,f(x)>0,故 x 2 f(x)>0 的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 7.已知函数 f(x)=ax2+ln x+2. (1)若 a∈R,讨论函数 f(x)的单调性; (2)函数 g(x)=f(x)-ax2 的图象与直线 l 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中 x1<x2,若直线 l斜率为 k,求 证:x1< 1 𝑘 <x2. (1)解:f'(x)=2ax+1 𝑥 = 2𝑎𝑥 2+1 𝑥 (x>0), 当 a≥0 时,f'(x)>0 在区间(0,+∞)内恒成立,故 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增. 当 a<0 时,令 f'(x)>0,得 0<x<√- 1 2𝑎 , 令 f'(x)<0,得 x>√- 1 2𝑎 . 故 f(x)在区间(0,√- 1 2𝑎 )内单调递增,在区间(√- 1 2𝑎 , + ∞)内单调递减. 综上,当 a≥0 时,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增; 当 a<0 时,f(x)在区间(0,√- 1 2𝑎 )内单调递增,在区间(√- 1 2𝑎 , + ∞)内单调递减

志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org (2)证明：k=92小gx型=x2-lnx x2-x1 X2-X1 要证<，即证nn, x2-x1 等价于1< <号令1贵则1，只需证1品1 由t>1知lnt>0,故只需证ln1r-l<lnl, 设p(0=t-l-ln4,则p=l>0, 所以p(t)在区间(1，+o)内单调递增， 所以p()>o(1)=0,即-1>ln1 设h)=n-(-1),则h'(0=ln>0, 所以h()在区间(1，+o)内单调递增， 所以h()>h1)=0,即nPt-l. 故x红 8.已知x)=xe号2-x+l,0. (1)当a=1时，求x)的单调区间： (2)若3o≥1，使xo)<成立，求a的取值范围. 解)当a=l时)=e号x+1, 所以fx)=e+xe-x-l=(e1)x+1).由fx)>0,得x<-1或x>0;由fx)<0,得-1<x<0. 所以x)的单调递减区间为(-1,0)，单调递增区间为(-0，-1)，0，+0). (2)由题意，得x)min<x≥1)， 因为j=-ar+1Xe1),由f)=0,解得x=-0, 当a>0时，因为x≥1，所以fx)>0,所以x)在区间[1，+o)内单调递增，所以)mn1)=e号 所以e受<号即e-a<0, 设ga)=ea-a(a>0),则g(a)=e-1>0, 所以g(a)>g0)=e-0=1>0,即e>a恒成立，不合题意，舍去 当-1<a<0时，由fx)<0,得1≤x<由x)>0,得x>是 故xa(月品-云+日+1-品+云+1号 4

4 (2)证明:k=𝑔(𝑥2)-𝑔(𝑥1) 𝑥2-𝑥1 = ln 𝑥2-ln 𝑥1 𝑥2-𝑥1 , 要证 x1< 1 𝑘 <x2,即证 x1< 𝑥2-𝑥1 ln 𝑥2-ln 𝑥1 <x2, 等价于 1< 𝑥 2 𝑥1 -1 ln 𝑥 2 𝑥1 < 𝑥2 𝑥1 .令 t= 𝑥2 𝑥1 ,则 t>1,只需证 1< 𝑡-1 ln𝑡 <t. 由 t>1 知 ln t>0,故只需证 ln t<t-1<tln t, 设 φ(t)=t-1-ln t,则 φ'(t)=1- 1 𝑡 >0, 所以 φ(t)在区间(1,+∞)内单调递增, 所以 φ(t)>φ(1)=0,即 t-1>ln t. 设 h(t)=tln t-(t-1),则 h'(t)=ln t>0, 所以 h(t)在区间(1,+∞)内单调递增, 所以 h(t)>h(1)=0,即 tln t>t-1. 故 x1< 1 𝑘 <x2. 8.已知 f(x)=xe ax - 𝑎 2 x 2 -x+1,a≠0. (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (2)若∃x0≥1,使 f(x0)< 𝑎 2 成立,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,f(x)=xe x - 𝑥 2 2 -x+1, 所以 f'(x)=e x+xe x -x-1=(ex -1)(x+1).由 f'(x)>0,得 x<-1 或 x>0;由 f'(x)<0,得-1<x<0. 所以 f(x)的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(-∞,-1),(0,+∞). (2)由题意,得 f(x)min< 𝑎 2 (x≥1), 因为 f'(x)=(ax+1)(eax -1),由 f'(x)=0,解得 x1=- 1 𝑎 ,x2=0. 当 a>0 时,因为 x≥1,所以 f'(x)>0,所以 f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,所以 f(x)min=f(1)=e a - 𝑎 2 . 所以 e a - 𝑎 2 < 𝑎 2 ,即 e a -a<0. 设 g(a)=e a -a(a>0),则 g'(a)=e a -1>0, 所以 g(a)>g(0)=e 0 -0=1>0,即 e a>a 恒成立,不合题意,舍去. 当-1<a<0 时,由 f'(x)<0,得 1≤x<- 1 𝑎 ,由 f'(x)>0,得 f'(x)>- 1 𝑎 , 故 f(x)min=f(- 1 𝑎 )=- 1 𝑎e − 1 2𝑎 + 1 𝑎 +1=- 1 𝑎e + 1 2𝑎 +1< 𝑎 2

志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解得1-2.2<a<0 e 当a≤-1时，f)≥0在区间[l,+o)内恒成立，故x)mm=1)=e号<总 即e-a<0 设h(a)=e-a(a<-l),则h'《a=e-1<0,所以h(a)≥h(-1)=e1+1>0,不合题意，舍去. 熔上a的取值范周为-2.0） 拓展提高 1.己知定义在R上的可导函数x)的导函数为fx),满足fx)<x),且x+2)为偶函数4)=1，则不等式 x)<c的解集为() A(-2,+0） B.(0,+o) C.(1,+o) D.(4,+0） 答案B 解析：x+2)为偶函数，∴x+2)的图象关于直线x=0对称， x)的图象关于直线x=2对称， 4)=f0)=1 设gt)=巴x∈R),则 g《x)=-xfx fx)fx),∴fx)x)<0, g(x)<0,gx)在R上单调递减 "fr)<e',..g(x)<1. 又g0-巴-1，∴gxg0. ∴x>0.故选B. 2.已知函数几x)子-bx2+b,c为常数)，当x=2时，函数x)取得极值，若函数)只有三个零点，则实数 c的取值范围为( ) A(作，+0） B(0) C.(-0,0) D.(0,2) 5

5 解得 1-√2- 2 e <a<0. 当 a≤-1 时,f'(x)≥0 在区间[1,+∞)内恒成立,故 f(x)min=f(1)=e a - 𝑎 2 < 𝑎 2 , 即 e a -a<0. 设 h(a)=e a -a(a<-1),则 h'(a)=e a -1<0,所以 h(a)≥h(-1)=e -1+1>0,不合题意,舍去. 综上,a 的取值范围为(1-√2- 2 e ,0). 拓展提高 1.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f'(x),满足 f'(x)<f(x),且 f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<e x的解集为( ) A.(-2,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 答案:B 解析:∵f(x+2)为偶函数,∴f(x+2)的图象关于直线 x=0 对称, ∴f(x)的图象关于直线 x=2 对称, ∴f(4)=f(0)=1. 设 g(x)= 𝑓(𝑥) e 𝑥 (x∈R),则 g'(x)= 𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥) e 𝑥 . ∵f'(x)<f(x),∴f'(x)-f(x)<0, ∴g'(x)<0,∴g(x)在 R 上单调递减. ∵f(x)<e x ,∴g(x)<1. 又 g(0)= 𝑓(0) e 0 =1,∴g(x)<g(0), ∴x>0.故选 B. 2.已知函数 f(x)= 1 3 x 3 -bx2+c(b,c 为常数),当 x=2 时,函数 f(x)取得极值,若函数 f(x)只有三个零点,则实数 c 的取值范围为( ) A.( 4 3 , + ∞) B.(0, 4 3 ) C.(-∞,0) D.(0,2)