志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第六章测评 (时间：120分钟满分150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为() A30° B.45° C.60° D.120° 答案B 解析：∵y-3x2-2 ..所求切线的斜率为3×12.2=1 ∴.倾斜角为45° 2.己知函数x)=x3+ar2+3x-9在x=-3处取得极值，则a=() A.2 B.3 C.4 D.5 答案D 解析：fx)=3x2+2ar+3. 由已知得f八-3)=0，即3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得a=5. 3函数y=lnx-x在区间(0，e上的最大值为() A.e B.1 C.-1 D.-e 答案：C 解析：函数y=lnx-x的定义域为(0，+oo). 又y1令-0，得x1, 故当x∈(0,1)时，y>0,函数单调递增； 当x∈(1，e时y'<0,函数单调递减 故当x=1时，函数取得最大值-1.故选C 4.已知函数x)=x2+3x-2lnx,则函数x)的单调递减区间为() A(2) B(G,+0) C.(-0,-2) D(,) 答案D 解析：函数fx)=x2+3x-2lnx的定义域为(0，+o), 1
1 第六章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.曲线 y=x3 -2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案:B 解析:∵y'=3x 2 -2, ∴所求切线的斜率为 3×1 2 -2=1, ∴倾斜角为 45°. 2.已知函数 f(x)=x3+ax2+3x-9 在 x=-3 处取得极值,则 a=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:D 解析:f'(x)=3x 2+2ax+3. 由已知得 f'(-3)=0,即 3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得 a=5. 3.函数 y=ln x-x 在区间(0,e]上的最大值为( ) A.e B.1 C.-1 D.-e 答案:C 解析:函数 y=ln x-x 的定义域为(0,+∞). 又 y'=1 𝑥 -1= 1-𝑥 𝑥 ,令 y'=0,得 x=1, 故当 x∈(0,1)时,y'>0,函数单调递增; 当 x∈(1,e]时,y'<0,函数单调递减. 故当 x=1 时,函数取得最大值-1.故选 C. 4.已知函数 f(x)=x2+3x-2ln x,则函数 f(x)的单调递减区间为( ) A.(-2, 1 2 ) B.( 1 2 , + ∞) C.(-∞,-2) D.(0, 1 2 ) 答案:D 解析:函数 f(x)=x2+3x-2ln x 的定义域为(0,+∞)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org fx)-2x+3.2令2x+3-2<0, 解得-2< 又x>0,所以0<x 故函数x)的单调递减区间为(0，) 5.己知函数x)的导函数fx)=a(xb)2+c的图象如图所示，则函数x)的图象可能是() n 答案：D 解析：由导函数的图象可知，当x<0时，函数x)单调递减，故排除A,B. 当0<r<x时fx)>0,函数x)单调递增，故排除C.故选D. 6已知函数)r+知r2-2ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是( A(器引 B(号) c() D.(o,高)u(9,+) 答案：D 解析：fx)=ar2+ax-2a=a(x+2)x-l) 要使函数x)的图象经过四个象限，则-2)0，即（侣a+1)(名a+10,解得a<品或a>号故选 D 7.已知函数x)=x3-px2-gr的图象与x轴相切于点(1,0)，则x)的极小值为) A.0 B c号 D.1 答案：A 2
2 f'(x)=2x+3- 2 𝑥 ,令 2x+3- 2 𝑥 <0, 解得-2<x< 1 2 . 又 x>0,所以 0<x<1 2 . 故函数 f(x)的单调递减区间为(0, 1 2 ). 5.已知函数 f(x)的导函数 f'(x)=a(x-b) 2+c 的图象如图所示,则函数 f(x)的图象可能是( ) 答案:D 解析:由导函数的图象可知,当 x<0 时,函数 f(x)单调递减,故排除 A,B. 当 0<x<x1 时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增,故排除 C.故选 D. 6.已知函数 f(x)= 1 3 ax3+ 1 2 ax2 -2ax+1 的图象经过四个象限,则实数 a 的取值范围是( ) A.(- 3 10 , 6 7 ) B.(- 8 5 ,- 3 16) C.(- 8 3 ,- 1 16) D.(-∞,- 3 10)∪ ( 6 7 , + ∞) 答案:D 解析:f'(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1). 要使函数 f(x)的图象经过四个象限,则 f(-2)f(1)<0,即( 10 3 𝑎 + 1)(- 7 6 𝑎 + 1)<0,解得 a<- 3 10或 a> 6 7 .故选 D. 7.已知函数 f(x)=x3 -px2 -qx 的图象与 x 轴相切于点(1,0),则 f(x)的极小值为( ) A.0 B.- 4 27 C.- 5 27 D.1 答案:A
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析fx)=3x2-2px-q,由题意知f1)=3-2p-q=0. 又1)=1-p-q=0,联立方程组，解得p=2,9=-1. 所以fx)=x3-2xr2+xfx)=3x2-4x+1. 由x)-3-4x+1-0,解得x=l或x孕可知x=l是函数的极小值点 所以儿x)版小值=1)=0. 8.己知在R上的可导函数x)的导函数为fx),满足fx)>x,且x+5)为偶函数10)=1，则不等式 x)>c的解集为() A.(0,+o) B.(1,+oo) C.(5,+o) D.(10,+o) 答案：A 解析：令gf码，则gm)四 ax ex fx)>x),…g'(x)>0. ∴·gx)在R上单调递增. ,函数x+5)是偶函数， ∴.函数x+5)的图象关于直线x=0对称， .函数x)的图象关于直线x=5对称 0)=10)=1. .Ax)>e,..g(x)>1. 又g0)9-1, ∴.gx)>g0). 又g(x)在R上单调递增，x>0 .不等式x)>c的解集为(0，+o).故选A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选 对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.给出下列说法，其中正确的是() A若h2,则y号 B若是则当x3时号 C.若y=2,则y'=21n2 3
3 解析:f'(x)=3x 2 -2px-q,由题意知 f'(1)=3-2p-q=0. 又 f(1)=1-p-q=0,联立方程组,解得 p=2,q=-1. 所以 f(x)=x3 -2x 2+x,f'(x)=3x 2 -4x+1. 由 f'(x)=3x 2 -4x+1=0,解得 x=1 或 x= 1 3 ,可知 x=1 是函数的极小值点. 所以 f(x)极小值=f(1)=0. 8.已知在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f'(x),满足 f'(x)>f(x),且 f(x+5)为偶函数,f(10)=1,则不等式 f(x)>e x的解集为( ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(5,+∞) D.(10,+∞) 答案:A 解析:令 g(x)= 𝑓(𝑥) e 𝑥 ,则 g'(x)= 𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥) e 𝑥 . ∵f'(x)>f(x),∴g'(x)>0. ∴g(x)在 R 上单调递增. ∵函数 f(x+5)是偶函数, ∴函数 f(x+5)的图象关于直线 x=0 对称, ∴函数 f(x)的图象关于直线 x=5 对称, ∴f(0)=f(10)=1. ∵f(x)>e x ,∴g(x)>1. 又 g(0)= 𝑓(0) e 0 =1, ∴g(x)>g(0). 又 g(x)在 R 上单调递增,∴x>0. ∴不等式 f(x)>e x的解集为(0,+∞).故选 A. 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选 对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.给出下列说法,其中正确的是( ) A.若 y=ln 2,则 y'=1 2 B.若 y= 1 𝑥 2 ,则当 x=3 时,y'=- 2 27 C.若 y=2 x ,则 y'=2 x ln 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org D若)oex则广品 答案：BCD 10.已知曲线Cy=√元，则下列说法正确的是() A.曲线C在点P(1,1)处的切线方程为x-2y+1=0 B.过点M(0,1),且与曲线C相切的切线方程为x4y+4=0 C.与直线y=2x-4平行，且与曲线C相切的切线方程为16x-8y+1=0 D.与直线y=2x-4垂直，且与曲线C相切的切线方程为16x-8y+1=0 答案：ABC 解析：因为)=V匠，所以y2及所以当x=l时y是 所以曲线C在点P(1,1)处的切线方程为x-2y+10.故A正确。 设切点P1(1,Vx1),则切线斜率为， 2 切线方程为√x=2后 因为切线过点M(0,1), 所以1国=房 解得=4 所以切线方程为2x-4), 即x-4y+4=0. 故B正确， 设切点P2(22),因为切线与直线y=2x-4平行， 所以病子 所以品必寻 所以所求切线方程为-2(x) 即16x-8y+1=0. 故C正确，D错误. 11.已知函数g)+2x+1,则下列说法正确的是(）
4 D.若 y=log2x,则 y'= 1 𝑥ln2 答案:BCD 10.已知曲线 C:y=√𝑥,则下列说法正确的是( ) A.曲线 C 在点 P(1,1)处的切线方程为 x-2y+1=0 B.过点 M(0,1),且与曲线 C 相切的切线方程为 x-4y+4=0 C.与直线 y=2x-4 平行,且与曲线 C 相切的切线方程为 16x-8y+1=0 D.与直线 y=2x-4 垂直,且与曲线 C 相切的切线方程为 16x-8y+1=0 答案:ABC 解析:因为 y=√𝑥,所以 y'= 1 2√𝑥 ,所以当 x=1 时,y'=1 2 , 所以曲线 C 在点 P(1,1)处的切线方程为 x-2y+1=0.故 A 正确. 设切点 P1(x1,√𝑥1 ),则切线斜率为 1 2√𝑥1 , 切线方程为 y-√𝑥1 = 1 2√𝑥1 (x-x1). 因为切线过点 M(0,1), 所以 1-√𝑥1 = 1 2√𝑥1 (-x1), 解得 x1=4. 所以切线方程为 y-2= 1 4 (x-4), 即 x-4y+4=0. 故 B 正确. 设切点 P2(x2,y2),因为切线与直线 y=2x-4 平行, 所以 1 2√𝑥2 =2, 所以 x2= 1 16,y2= 1 4 , 所以所求切线方程为 y- 1 4 =2(𝑥- 1 16), 即 16x-8y+1=0. 故 C 正确,D 错误. 11.已知函数 g(x)= 1 3 x 3 - 𝑎 2 x 2+2x+1,则下列说法正确的是( )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org A.若g(x)在区间(-2，-1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围为(-0，-2V2) B.若g(x)在区间(-2，-1)内单调递减，则实数a的取值范围为(-0，-3] C.若g(x)的单调递减区间为(-2，-1)，则a的值为-3 D.若gx)在区间(-2，-1)内不单调，则a的取值范围为(-3，-2√2) 答案：ABCD 解析：g(x)=x2-+2 对于A,依题意，存在x∈(-2，-1)，使不等式g《x)=x2-ar+2<0成立， 故当x∈(2，-1)时，a<(x+)nx二2Z 当且仅当x子即x=V2时，等号成立 故a的取值范围为(-0，-2√2)，故A正确. 对于B,,gx)在区间(-2，-1)内单调递减， …g(x)=x2-ax+2≤0在区间(-2，-1)内恒成立， ÷8即任+24280得a 故实数a的取值范围为(-0，-3].故B正确 对于C,,gx)的单调递减区间为(-2，-1)， .x1=-2,2=-1是g(x)=0的两个根 ∴.(-2)+(-1)=a,即a=-3.故C正确. 对于D,若gx)在区间(-2，-1)内单调递增， 则a≥x+2在区间(-2，-1)内恒成立 “=x+的值域为-3，-2V2), .a≥-2V2 又当a≤-3时，g(x)在区间(-2，-1)内单调递减， ∴.当函数g(x)在区间(-2，-1)内单调时，a的取值范围为(0，-3]U[-2V2,+o0). 故当gx)在区间(-2，-1)内不单调时，实数a的取值范围为(-3，-2V2)故D正确. 12.对于函数)一受，下列说法正确的是( Ax)在x=VE处取得极大值号 Bx)有两个不同的零点
5 A.若 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,则实数 a 的取值范围为(-∞,-2√2) B.若 g(x)在区间(-2,-1)内单调递减,则实数 a 的取值范围为(-∞,-3] C.若 g(x)的单调递减区间为(-2,-1),则 a 的值为-3 D.若 g(x)在区间(-2,-1)内不单调,则 a 的取值范围为(-3,-2√2) 答案:ABCD 解析:g'(x)=x2 -ax+2. 对于 A,依题意,存在 x∈(-2,-1),使不等式 g'(x)=x2 -ax+2<0 成立, 故当 x∈(-2,-1)时,a<(𝑥 + 2 𝑥 ) max =-2√2, 当且仅当 x= 2 𝑥 ,即 x=-√2时,等号成立. 故 a 的取值范围为(-∞,-2√2).故 A正确. 对于 B,∵g(x)在区间(-2,-1)内单调递减, ∴g'(x)=x2 -ax+2≤0 在区间(-2,-1)内恒成立, ∴{ 𝑔'(-2) ≤ 0, 𝑔'(-1) ≤ 0, 即{ 4 + 2𝑎 + 2 ≤ 0, 1 + 𝑎 + 2 ≤ 0, 解得 a≤-3. 故实数 a 的取值范围为(-∞,-3].故 B 正确. 对于 C,∵g(x)的单调递减区间为(-2,-1), ∴x1=-2,x2=-1 是 g'(x)=0 的两个根, ∴(-2)+(-1)=a,即 a=-3.故 C 正确. 对于 D,若 g(x)在区间(-2,-1)内单调递增, 则 a≥x+2 𝑥 在区间(-2,-1)内恒成立. ∵y=x+2 𝑥的值域为(-3,-2√2), ∴a≥-2√2. 又当 a≤-3 时,g(x)在区间(-2,-1)内单调递减, ∴当函数 g(x)在区间(-2,-1)内单调时,a 的取值范围为(-∞,-3]∪[-2√2,+∞). 故当 g(x)在区间(-2,-1)内不单调时,实数 a 的取值范围为(-3,-2√2).故 D 正确. 12.对于函数 f(x)= ln𝑥 𝑥 2 ,下列说法正确的是( ) A.f(x)在 x=√e处取得极大值 1 2e B.f(x)有两个不同的零点