志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 综合测评(B) (时间：120分钟满分150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.在等比数列{am}中，a4,a12是方程x2+3x+1-0的两根，则as=() A.l B.-1 C.±1 D.不能确定 答案B 解析：由题意，得a4+a12=-3<0,a4a12=1>0, ∴.a4<0,a12<0..as<0. 又a6=a4a12=1,∴.a8=-1.故选B. 2.若函数x)-logx的图象与直线y子相切，则a的值为() A.e B.ec c D.e 答案B y= 3 解析：设切点的坐标为x,依题意)则y=ogax解得xea=e总故选B 1 3.已知函数m)s且0<1<<1，设an,b-m2则a,b的大小关系是( A.a>b B.a<b C.a=b D.a,b的大小不能确定 答案：A 解析fx)on匹令gw)=xcOSx--sinx,则g《x)=-xsinx+cosx-cosx=-xsin x2 当0<x<1时，g(x)<0,故函数gx)在区间(0,1)内单调递减，故gx)<g0)=0,即fx)<0,故函数几x)在区间 (0,1)内单调递减. 又0<x1<<1,故x)>x2),即a>b.故选A 4.己知实数a,b,c,d成等比数列，且函数y=3x-x3的极大值点为b,极大值为c,则ad=-() A.2 B.1 1
1 综合测评(B) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.在等比数列{an}中,a4,a12 是方程 x 2+3x+1=0 的两根,则 a8=( ) A.1 B.-1 C.±1 D.不能确定 答案:B 解析:由题意,得 a4+a12=-3<0,a4·a12=1>0, ∴a4<0,a12<0.∴a8<0. 又𝑎8 2=a4·a12=1,∴a8=-1.故选 B. 2.若函数 f(x)=logax 的图象与直线 y= 1 3 x 相切,则 a 的值为( ) A.e e 2 B.e 3 e C. 5 e e D.e e 4 答案:B 解析:设切点的坐标为(x,y),依题意,f'(x)= 1 𝑥ln𝑎 ,则 { 𝑦 = 1 3 𝑥, 𝑦 = log𝑎𝑥, 1 3 = 1 𝑥ln𝑎 , 解得 x=e,a=e 3 e .故选 B. 3.已知函数 f(x)= sin𝑥 𝑥 ,且 0<x1<x2<1,设 a= sin 𝑥1 𝑥1 ,b=sin 𝑥2 𝑥2 ,则 a,b 的大小关系是( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.a,b 的大小不能确定 答案:A 解析:f'(x)= 𝑥cos𝑥-sin𝑥 𝑥 2 ,令 g(x)=xcos x-sin x,则 g'(x)=-xsin x+cos x-cos x=-xsin x. 当 0<x<1 时,g'(x)<0,故函数 g(x)在区间(0,1)内单调递减,故 g(x)<g(0)=0,即 f'(x)<0,故函数 f(x)在区间 (0,1)内单调递减. 又 0<x1<x2<1,故 f(x1)>f(x2),即 a>b.故选 A. 4.已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且函数 y=3x-x 3 的极大值点为 b,极大值为 c,则 ad=( ) A.2 B.1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org c.-1 D.-2 答案：A 解析：a,b,c,d成等比数列，∴ad=bc 又函数y=3x-x的极大值点为b,极大值为cy'-3-3x2, 一66州爬}合封 ∴.ad=bc=2. 5.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人 等问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三 人所得相同，假设甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？（钱”是我国古代的 一种质量单位)在这个问题中，甲所得为() A我 B钱 C我 D钱 答案D 解析：设等差数列{am}的首项为a1,公差为d, 2a1+d=3a1+9d, 依题意有 2a1+d=2 解得 d= 故选D 6.设直线x=1与函数x)=x2g(x)=nx的图象分别交于点M,N,则当MM取最小值时，1的值为() A.l B时 c 答案D 解析：因为x)的图象始终在gx)的图象的上方，所以刘MW=)g()=Pn1 设hx)=r2-nx,则hx)=2x.是=2 令)2空0，解得x号 故M在区间0，月)内单调递减，在区间（停，+四内单调造增，故当x时，）取最小值 故1号故逸D 7.如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n(>1,n∈N+)个点，相应的图案中总的 点数记为a则品+品+品…叶 9 a2020a2021
2 C.-1 D.-2 答案:A 解析:∵a,b,c,d 成等比数列,∴ad=bc. 又函数 y=3x-x 3 的极大值点为 b,极大值为 c,y'=3-3x 2 , ∴{ 3𝑏-𝑏 3 = 𝑐, 3-3𝑏 2 = 0, 解得{ 𝑏 = 1, 𝑐 = 2 或{ 𝑏 = -1, 𝑐 = -2 (舍去). ∴ad=bc=2. 5.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人 等.问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三 人所得相同,假设甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是我国古代的 一种质量单位)在这个问题中,甲所得为( ) A. 5 4 钱 B. 5 3 钱 C. 3 2 钱 D. 4 3 钱 答案:D 解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 依题意有{ 2𝑎1 + 𝑑 = 3𝑎1 + 9𝑑, 2𝑎1 + 𝑑 = 5 2 , 解得{ 𝑎1 = 4 3 , 𝑑 = - 1 6 . 故选 D. 6.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2 ,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|取最小值时,t 的值为( ) A.1 B. 1 2 C. √5 2 D. √2 2 答案:D 解析:因为 f(x)的图象始终在 g(x)的图象的上方,所以|MN|=f(t)-g(t)=t2 -ln t. 设 h(x)=x2 -ln x,则 h'(x)=2x- 1 𝑥 = 2𝑥 2 -1 𝑥 . 令 h'(x)= 2𝑥 2 -1 𝑥 =0,解得 x= √2 2 . 故 h(x)在区间(0, √2 2 )内单调递减,在区间( √2 2 , + ∞)内单调递增,故当 x= √2 2 时,h(x)取最小值. 故 t= √2 2 .故选 D. 7.如图,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n>1,n∈N+)个点,相应的图案中总的 点数记为 an,则 9 𝑎2𝑎3 + 9 𝑎3𝑎4 + 9 𝑎4𝑎5 +…+ 9 𝑎2 020 𝑎2 021 =( )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org ● ● i=2 h=3 A删 B.2019 C2017 D2019 2020 2021 2021 答案B 解析：由题意，可知am=3n-3(n>l,n∈N+),则 -m+阿==青-月 故9十9十9+ 9 a2a3 a3a4 asas a20202021 =(-)+传)+作)+(6)-1=8器 &已知函数x)兰+nxg)与-5，若对任意的x,∈号，2都有)g≥2成立，则a的取值范 围是() A.(0,+0) B.[1,+o） C.(-o,0) D.(-0,-1] 答案：B 解析：g(x)=x3-x2-5,g《x)=3x2-2x 令g)0,得x号函数g)在区间，引上单调通减，在区间服2小单润道增8份=吉-5- 号g2)=845=1 :对任意的，n∈}2])-gm)≥2恒成立，c)≥[g)+2]x,即当x∈，2小时)≥1恒成立，故 是+nx≥1在区间，2小恒成立，即a≥xr1nx在区间[眼，2上恒成立 令h(x)=x-x2lnx,则h(x)=1-2xlnx-x :h”()=-3-21nx<0在区间服，2上恒成立，∴h)在区间}，2上单调递减 又h1)=0,∴.当x∈[经1)时，h>0,当x∈(12]时，hx)<0,∴h)≤1）=l,a≥1 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选 对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.设等差数列{an}的前n项和为Sm,若a9<0,a0>0,则下列结论正确的是(） A.S10-S9 B.S7<0 C.S18>S19 D.S9>0 答案：ABD 心
3 A. 2 017 2 020 B. 2 019 2 020 C. 2 017 2 021 D. 2 019 2 021 答案:B 解析:由题意,可知 an=3n-3(n>1,n∈N+),则 9 𝑎𝑛𝑎𝑛+1 = 9 (3𝑛-3)[3(𝑛+1)-3] = 1 (𝑛-1)𝑛 = 1 𝑛-1 − 1 𝑛 . 故 9 𝑎2𝑎3 + 9 𝑎3𝑎4 + 9 𝑎4𝑎5 +…+ 9 𝑎2 020𝑎2 02 1 = (1- 1 2 ) + ( 1 2 - 1 3 ) + ( 1 3 - 1 4 )+…+( 1 2 019 - 1 2 020)=1- 1 2 020 = 2 019 2 020. 8.已知函数 f(x)= 𝑎 𝑥 +xln x,g(x)=x3 -x 2 -5,若对任意的 x1,x2∈[ 1 2 ,2],都有 f(x1)-g(x2)≥2 成立,则 a 的取值范 围是( ) A.(0,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,-1] 答案:B 解析:∵g(x)=x3 -x 2 -5,∴g'(x)=3x 2 -2x. 令 g'(x)=0,得 x= 2 3 ,∴函数 g(x)在区间[ 1 2 , 2 3 ]上单调递减,在区间[ 2 3 ,2]上单调递增,g( 1 2 ) = 1 8 − 1 4 -5=- 41 8 ,g(2)=8-4-5=-1. ∵对任意的 x1,x2∈[ 1 2 ,2],f(x1)-g(x2)≥2 恒成立,∴f(x)≥[g(x)+2]max,即当 x∈[ 1 2 ,2]时,f(x)≥1 恒成立,故 𝑎 𝑥 +xln x≥1 在区间[ 1 2 ,2]上恒成立,即 a≥x-x 2 ln x 在区间[ 1 2 ,2]上恒成立. 令 h(x)=x-x 2 ln x,则 h'(x)=1-2xln x-x. ∵h″(x)=-3-2ln x<0 在区间[ 1 2 ,2]上恒成立,∴h'(x)在区间[ 1 2 ,2]上单调递减. 又 h'(1)=0,∴当 x∈[ 1 2 ,1)时,h'(x)>0,当 x∈(1,2]时,h'(x)<0,∴h(x)≤h(1)=1,∴a≥1. 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选 对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a9<0,a10>0,则下列结论正确的是( ) A.S10>S9 B.S17<0 C.S18>S19 D.S19>0 答案:ABD
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：根据题意，可知数列{am}为递增数列. ,a9<0,a10>0, .S10-S9=a10>0,∴.S10>S9,故A正确. S17-a1ta17x1卫 2 2a9×12-17a9<0, 2 故B正确. S1g=a1+a9X12=210x19-19a10>0, 2 2 故D正确. .a19>0,.S19-S18=a19>0, ∴.S18<S19,故C不正确.故选ABD 10.己知函数y=x)的导函数y=x)的图象如图所示，则下列关于函数y=x)的说法正确的是() fef 3-2 23本5x Ax)在区间(2,4)内单调递减 Bx)在区间(2,3)内单调递增 C.x=3是x)的极小值点 Dx=4是x)的极大值点 答案：BD 解析：由题图可知，x)>0在区间(2,4)内恒成立，故x)在区间(2,4)内单调递增.故A错误，B正确由极 值点的定义，可知C错误，D正确 11.设数列{an}的前n项和为S(n∈N+),则下列四个说法正确的是() A.若an+1=an(n∈N+),则{an}既是等差数列又是等比数列 B.若Sn=ar+bn(a,b∈R),则{an}是等差数列 C.若Sn=l-(-1)”,则{an}是等比数列 D.若{an}是等差数列，则Sn,S2rSm,S3rS2(n∈N+)也成等差数列 答案：BCD 解析：当an+1=an0时，{an}既是等差数列又是等比数列，否则不成立，故A错误 当Sn=amr2+bn时，Sn+1=a(n+l)2+b(n+1), :.an+1=Sn+1-Sn=2an+a+b. ∴.an=2an-a+b(n≥2). 4
4 解析:根据题意,可知数列{an}为递增数列. ∵a9<0,a10>0, ∴S10-S9=a10>0,∴S10>S9,故 A 正确. S17= (𝑎1+𝑎17)×17 2 = 2𝑎9×17 2 =17a9<0, 故 B 正确. S19= (𝑎1+𝑎19)×19 2 = 2𝑎10×19 2 =19a10>0, 故 D 正确. ∵a19>0,∴S19-S18=a19>0, ∴S18<S19,故 C 不正确.故选 ABD. 10.已知函数 y=f(x)的导函数 y=f'(x)的图象如图所示,则下列关于函数 y=f(x)的说法正确的是( ) A.f(x)在区间(2,4)内单调递减 B.f(x)在区间(2,3)内单调递增 C.x=-3 是 f(x)的极小值点 D.x=4 是 f(x)的极大值点 答案:BD 解析:由题图可知,f'(x)>0 在区间(2,4)内恒成立,故 f(x)在区间(2,4)内单调递增.故 A 错误,B 正确.由极 值点的定义,可知 C 错误,D 正确. 11.设数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N+),则下列四个说法正确的是( ) A.若 an+1=an(n∈N+),则{an}既是等差数列又是等比数列 B.若 Sn=an2+bn(a,b∈R),则{an}是等差数列 C.若 Sn=1-(-1)n ,则{an}是等比数列 D.若{an}是等差数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n(n∈N+)也成等差数列 答案:BCD 解析:当 an+1=an≠0 时,{an}既是等差数列又是等比数列,否则不成立,故 A 错误. 当 Sn=an2+bn 时,Sn+1=a(n+1)2+b(n+1), ∴an+1=Sn+1-Sn=2an+a+b, ∴an=2an-a+b(n≥2)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 又a1=S1=a+b符合上式，∴an=2an-a+b 又an+1-an=2a为常数， ∴{an}是等差数列，故B正确. 当Sn=1-1)”时，S1=1-1m+1, ∴.an+1=Sn+1-Sn=2(-l)”, ∴.an=2(-1)m-(n≥2). 又a1=S1-2符合上式，∴.an-2(-1)"- 又n出-1为常数，∴{an}是等比数列，故C正确 an 当{aa}是等差数列时，S。=na1+n-l)d S2n-Sn=nan+1+n(n-1)d, S3n-S2n=nazn+1+n(n-1)d, ∴.(S3m-S2n）-(S2m-Sn)=n(a2m+1-an+1)=n2d, (S2n-Sn）-Sn=n(an+1-a1）=n2d, .(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=(S2n-Sn)-Sn, 即Sn,2m-Sm,S3rS2n成等差数列， 故D正确.故选BCD 2.对于函数x)产，下列说法正确的是() Ax)在x=e处取得极大值妇 Bx)有两个不同的零点 C2)<π)3) D.若x)<k在区间(0，+o)内恒成立，则k>1 答案：ACD 解析：由已知得)气x>0 令fx)=0,得x=e,故当0<x<e时，fx)>0,x)单调递增； 当x>e时fx)<0,x)单调递减 故当x=心时x)取得极大值，极大值为e)三故A正确. 5
5 又 a1=S1=a+b 符合上式,∴an=2an-a+b. 又 an+1-an=2a 为常数, ∴{an}是等差数列,故 B 正确. 当 Sn=1-(-1)n 时,Sn+1=1-(-1) 𝑛+1 , ∴an+1=Sn+1-Sn=2·(-1)n , ∴an=2·(-1)n-1 (n≥2). 又 a1=S1=2 符合上式,∴an=2·(-1)n-1 . 又 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 =-1 为常数,∴{an}是等比数列,故 C 正确. 当{an}是等差数列时,Sn=na1+ 1 2 n(n-1)d, S2n-Sn=nan+1+ 1 2 n(n-1)d, S3n-S2n=na2n+1+ 1 2 n(n-1)d, ∴(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=n(a2n+1-an+1)=n2d, (S2n-Sn)-Sn=n(an+1-a1)=n2d, ∴(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=(S2n-Sn)-Sn, 即 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列, 故 D 正确.故选 BCD. 12.对于函数 f(x)= ln𝑥 𝑥 ,下列说法正确的是( ) A.f(x)在 x=e 处取得极大值1 e B.f(x)有两个不同的零点 C.f(2)<f(π)<f(3) D.若 f(x)<k- 1 𝑥在区间(0,+∞)内恒成立,则 k>1 答案:ACD 解析:由已知得 f'(x)= 1-ln𝑥 𝑥 2 (x>0). 令 f'(x)=0,得 x=e,故当 0<x<e 时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当 x>e 时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 故当 x=e 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(e)= 1 e .故 A 正确