志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第2课时导数与函数的最值 课后·训练提升 基础巩固 1.函数x)=lnx-x在区间(0，e)内的最大值为( A.1-e B.-1 C.-e D.0 答案B 解析f)1.令fx)>0,得0<x<1;令x)<0,得1<x<C.故)在区间0,1)内单调递增，在区间(1，e)内单 调递减.故几x)mx=1)=-l.故选B. 2函数始 A有最大值2，无最小值 B.无最大值，有最小值-2 C最大值为2，最小值为-2 D.无最值 答案：C 解析y42+1小红2艺=4x+11-四 (x2+1)1 (x2+1)2 令y'=0,得x1=1,2=-1, 故当-1<x<1时，y>0:当x<-1或x>1时，y'<0. 又当x0时，0，当>0时0，故)年的最大值为)-2，最小值为-I)-2故选C 3.函数y=xe的最小值是() A-1 B.-e c日 D.不存在 答案C 解析y'=e+xe=e(x+1).令y'>0,得x>-l,令y'<0,得x<-1. 故当x=-1时ain一是故选C 4.己知函数x)=ax3+c,且f(1)=6,函数x)在区间[1,2]上的最大值为20，则c的值为() A.1 B.4 C.-1 D.0 1
1 第 2 课时 导数与函数的最值 课后· 基础巩固 1.函数 f(x)=ln x-x 在区间(0,e)内的最大值为( ) A.1-e B.-1 C.-e D.0 答案:B 解析:f'(x)= 1 𝑥 -1.令 f'(x)>0,得 0<x<1;令 f'(x)<0,得 1<x<e.故 f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,e)内单 调递减.故 f(x)max=f(1)=-1.故选 B. 2.函数 y= 4𝑥 𝑥 2+1 ( ) A.有最大值 2,无最小值 B.无最大值,有最小值-2 C.最大值为 2,最小值为-2 D.无最值 答案:C 解析:y'=4(𝑥 2+1)-4𝑥·2𝑥 (𝑥 2+1) 2 = 4(𝑥+1)(1-𝑥) (𝑥 2+1) 2 . 令 y'=0,得 x1=1,x2=-1, 故当-1<x<1 时,y'>0;当 x<-1 或 x>1 时,y'<0. 又当 x<0 时,y<0,当 x>0 时,y>0,故 y= 4𝑥 𝑥 2+1的最大值为 f(1)=2,最小值为 f(-1)=-2.故选 C. 3.函数 y=xe x的最小值是( ) A.-1 B.-e C.- 1 e D.不存在 答案:C 解析:y'=e x+xe x=e x (x+1).令 y'>0,得 x>-1,令 y'<0,得 x<-1. 故当 x=-1 时,ymin=- 1 e .故选 C. 4.已知函数 f(x)=ax3+c,且 f'(1)=6,函数 f(x)在区间[1,2]上的最大值为 20,则 c 的值为( ) A.1 B.4 C.-1 D.0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案B 解析：因为fx)=3ax2,所以f1)=3a=6, 所以a=2.当x∈[1,2]时/fx)=6x2>0,故fx)在区间[1,2]上单调递增.所以x)mm=2)=2×23+c=20,解得 c=4 5.已知函数x),g(x)均为区间(a,b)内的可导函数，且在区间[a,b]上连续，若fx)<g'(x,则x)g(x)的最大 值为) A.fa)-g(a) B.Ab)-g(b) Cfa)-g(b) D.fb)-g(a) 答案：A 解析：设F(x)=x)-gx),则F(x)=fx)-g(x)<0,故F(x)在区间[a,b]上是减函数 故F(x)在区间[a,b]上的最大值为F(a)=fa)-ga).故选A 6.对于R上的可导函数fx),若满足(x1x)>0,则必有() A0)+2)<21) B.0)+2)≤21) C0)+2)=21) D0)+2)>21) 答案D 解析：当x>1时，fx)>0,函数x)在区间(1，+o)内单调递增；当x<1时fx)<0,x)在区间(-o,1)内单调递 减，故当x=1时fx)取得最小值，即有0)>1)2)>1)，得0)+2)>21) 7函数)本+x∈[l,3的值域为 答案别 +1之+1-+瓷所以)>0在区间[山3]上恒成立，即)在区间，3引上单调递增 解析：因为fx)=1 以)的最大值是3)=是最小值是1)是故函数x)的值城为服，] 8函数x)+cosx在区间L0,上的最小值为。 答案好 解析f)-sin.∈[0，引 令2sinx-0,得x君 2
2 答案:B 解析:因为 f'(x)=3ax2 ,所以 f'(1)=3a=6, 所以 a=2.当 x∈[1,2]时,f'(x)=6x 2>0,故 f(x)在区间[1,2]上单调递增.所以 f(x)max=f(2)=2×2 3+c=20,解得 c=4. 5.已知函数 f(x),g(x)均为区间(a,b)内的可导函数,且在区间[a,b]上连续,若 f'(x)<g'(x),则 f(x)-g(x)的最大 值为( ) A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b) C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a) 答案:A 解析:设 F(x)=f(x)-g(x),则 F'(x)=f'(x)-g'(x)<0,故 F(x)在区间[a,b]上是减函数. 故 F(x)在区间[a,b]上的最大值为 F(a)=f(a)-g(a).故选 A. 6.对于 R 上的可导函数 f(x),若满足(x-1)f'(x)>0,则必有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)=2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) 答案:D 解析:当 x>1 时,f'(x)>0,函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递增;当 x<1 时,f'(x)<0,f(x)在区间(-∞,1)内单调递 减,故当 x=1 时,f(x)取得最小值,即有 f(0)>f(1),f(2)>f(1),得 f(0)+f(2)>2f(1). 7.函数 f(x)= 1 𝑥+1 +x(x∈[1,3])的值域为 . 答案:[ 3 2 , 13 4 ] 解析:因为 f'(x)=- 1 (𝑥+1) 2+1= 𝑥 2+2𝑥 (𝑥+1) 2 ,所以 f'(x)>0 在区间[1,3]上恒成立,即 f(x)在区间[1,3]上单调递增,所 以 f(x)的最大值是 f(3)= 13 4 ,最小值是 f(1)= 3 2 .故函数 f(x)的值域为[ 3 2 , 13 4 ]. 8.函数 f(x)= 1 2 x+cos x 在区间 0,π 2 上的最小值为 . 答案: π 4 解析:f'(x)= 1 2 -sin x,x∈[0, π 2 ]. 令 1 2 -sin x=0,得 x= π 6
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 当x∈[0，)时，x)>0, 当x∈（侣，习时，/x)<0, 故人)在区间0，)内单调通增，在区间（侣引上单调递减又0）=1，月= 故术an=月)=异 9.己知函数x)=ar3+br+c在x=2处取得极值c16. (1)求a,b的值： (2)若x)有极大值28，求x)在区间[-3,3]上的最小值. 解：(1)因为x)=ar3+bx+c, 所以fx)=3ar2+b. 又x)在x=2处取得极值c-16, 所以8816*848+0-616 f(2)=c-16, 解件812 (2)由(1)知x)=x3-12x+c fx)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 令fx)=0,得x=-2或x=2 当x∈(-o,-2)或x∈(2，+o)时fx)>0,故x)在区间(-0，-2)，2，+o)内单调递增； 当x∈(-2,2)时fx)<0,故x)在区间(-2,2)内单调递减 故x)在x=-2处取得极大值几-2)=16+c,在x=2处取得极小值2)=c16. 由题意知16+c=28,故c=12 此时-3)=9+c-=21,3)=-9+c=3,2)=16+c=.4. 故x)在区间[-3,3]上的最小值为-4. 10.己知函数fx)=lnx-a(a∈R), (1)求函数x)的单调区间； (2)当a>0时，求函数x)在区间[1,2]上的最小值 解(1/x)ax>0)①当a≤0时，x)圣a>0,故函数x)的单调递增区间为0，+o ②当a>0时，令fx)>0,得0<x日 3
3 当 x∈[0, π 6 )时,f'(x)>0, 当 x∈( π 6 , π 2 ]时,f'(x)<0, 故 f(x)在区间[0, π 6 )内单调递增,在区间( π 6 , π 2 ]上单调递减.又 f(0)=1,f( π 2 ) = π 4 , 故 f(x)min=f( π 2 ) = π 4 . 9.已知函数 f(x)=ax3+bx+c 在 x=2 处取得极值 c-16. (1)求 a,b 的值; (2)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在区间[-3,3]上的最小值. 解:(1)因为 f(x)=ax3+bx+c, 所以 f'(x)=3ax2+b. 又 f(x)在 x=2 处取得极值 c-16, 所以{ 𝑓'(2) = 0, 𝑓(2) = 𝑐-16, 即{ 12𝑎 + 𝑏 = 0, 8𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 𝑐-16, 解得{ 𝑎 = 1, 𝑏 = -12. (2)由(1)知 f(x)=x3 -12x+c, f'(x)=3x 2 -12=3(x-2)(x+2). 令 f'(x)=0,得 x=-2 或 x=2. 当 x∈(-∞,-2)或 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,故 f(x)在区间(-∞,-2),(2,+∞)内单调递增; 当 x∈(-2,2)时,f'(x)<0,故 f(x)在区间(-2,2)内单调递减. 故 f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c,在 x=2 处取得极小值 f(2)=c-16. 由题意知 16+c=28,故 c=12. 此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4. 故 f(x)在区间[-3,3]上的最小值为-4. 10.已知函数 f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值. 解:(1)f'(x)= 1 𝑥 -a(x>0).①当 a≤0 时,f'(x)= 1 𝑥 -a>0,故函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞). ②当 a>0 时,令 f'(x)>0,得 0<x<1 𝑎 ;
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 令0，得x日 故函数x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为（侣，+∞） 综上可知，当a≤0时，函数fx)的单调递增区间为(0，+o; 当a>0时，函数x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为（侣，+∞）】 (2)①当≤1，即a≥1时，函数fx)在区间[1,2]上是减函数，所以x)的最小值是2)=ln2-2a ②当日≥2，即0<a≤时，函数x)在区间[1,2]上是增函数，所以)的最小值是)=-a ③当1<日2，即a<1时，函数x)在区间1，引上是增函数，在区间（日，2止是减函数.又2）/)=ln2-a, 所以当a<ln2时x)的最小值是1)=-a 当ln2≤a<1时x)的最小值是2)=ln2-2a. 综上可知，当0<a<ln2时，函数x)的最小值是-a 当a≥ln2时，函数fx)的最小值是ln2-2a 拓展提高 1(多选题)设函数)品则下列说法正确的是() Ax)定义域是(0，+o) B.当x∈(0,1)时，x)的图象位于x轴下方 Cx)存在单调递增区间 Dx)在区间(1,2)内有最大值 答案：BC 解析)岳n0, x>0,且x≠1， x)的定义域为(0,1)U(L,+o.故A错误 当x∈(0,1)时，e>0,lnx<0,则)品0，故)的图象位于x轴下方故B正确 由)品得/x) ex(inx (Inx) 令8)nx号则g《)+京>0，故8y在区间0,1)1，+o∞)内单调递增 4
4 令 f'(x)<0,得 x>1 𝑎 . 故函数 f(x)的单调递增区间为(0, 1 𝑎 ),单调递减区间为( 1 𝑎 , + ∞). 综上可知,当 a≤0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0, 1 𝑎 ),单调递减区间为( 1 𝑎 , + ∞). (2)①当 1 𝑎≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以 f(x)的最小值是 f(2)=ln 2-2a. ②当 1 𝑎≥2,即 0<a≤ 1 2时,函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以 f(x)的最小值是 f(1)=-a. ③当 1< 1 𝑎 <2,即 1 2 <a<1 时,函数 f(x)在区间[1, 1 𝑎 ]上是增函数,在区间( 1 𝑎 ,2]上是减函数.又 f(2)-f(1)=ln 2-a, 所以当1 2 <a<ln 2 时,f(x)的最小值是 f(1)=-a; 当 ln 2≤a<1 时,f(x)的最小值是 f(2)=ln 2-2a. 综上可知,当 0<a<ln 2 时,函数 f(x)的最小值是-a; 当 a≥ln 2 时,函数 f(x)的最小值是 ln 2-2a. 拓展提高 1.(多选题)设函数 f(x)= e 𝑥 ln𝑥 ,则下列说法正确的是( ) A.f(x)定义域是(0,+∞) B.当 x∈(0,1)时,f(x)的图象位于 x 轴下方 C.f(x)存在单调递增区间 D.f(x)在区间(1,2)内有最大值 答案:BC 解析:∵f(x)= e 𝑥 ln𝑥 ,∴ln x≠0, ∴x>0,且 x≠1, ∴f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).故 A 错误. 当 x∈(0,1)时,ex>0,ln x<0,则 f(x)= e 𝑥 ln𝑥 <0,故 f(x)的图象位于 x 轴下方.故 B 正确. 由 f(x)= e 𝑥 ln𝑥 ,得 f'(x)= e 𝑥 (ln𝑥- 1 𝑥 ) (ln𝑥) 2 . 令 g(x)=ln x- 1 𝑥 ,则 g'(x)= 1 𝑥 + 1 𝑥 2>0,故 g(x)在区间(0,1),(1,+∞)内单调递增
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 当0<x<1时，gx)<g(1)=-1<0,即fx)<0,故fx)在区间(0,1)内单调递减. 当x>1时，因为g1)=1<0,g2)=n20, 所以存在0∈(1,2)，使g(0)=0,即f八xo)=0, 当1<x<0时fx)<0,x)单调递减，当x>和时fx)>0,x)单调递增.故C正确. 因为x)在区间(1，o)内单调递减，在(02)内单调递增，所以x)在区间(1,2)内无最大值，故D错误 2.若函数)+2-在区间(a,a+5)内存在最小值，则实数a的取值范围是(） A[-5,0) B.(-5,0) C.-3,0) D.(-3,0) 答案：C 解析：由题意，得fx)=x2+2x=x(x+2), 故fx)在区间(-0，-2)，(0，+0)内单调递增 在区间(-2,0)内单调递减.作出其图象如图所示 3 )=x4x2-号 2 1 -2-12x 令+号号得x0文=3结合图象可知0解得-3a0故法C 3.已知函数x)=12lnx-3.x4-c,若对任意x>0,不等式x)≥-2c2恒成立，则c的取值范围为( A.(-0,-1] B..+) C.(o,-lu且+∞ D.(-0,-3] 答案：C 解析/)=48rlnx+12x是12x3-48 Inx(x>0), 令fx)=0,解得x=0(舍去)或x=l. 当x变化时fx)及x)的变化情况如下表
5 当 0<x<1 时,g(x)<g(1)=-1<0,即 f'(x)<0,故 f(x)在区间(0,1)内单调递减. 当 x>1 时,因为 g(1)=-1<0,g(2)=ln 2- 1 2 >0, 所以存在 x0∈(1,2),使 g(x0)=0,即 f'(x0)=0, 当 1<x<x0 时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当 x>x0 时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故 C 正确. 因为 f(x)在区间(1,x0)内单调递减,在(x0,2)内单调递增,所以 f(x)在区间(1,2)内无最大值,故 D 错误. 2.若函数 f(x)= 1 3 x 3+x2 - 2 3在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数 a 的取值范围是( ) A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0) 答案:C 解析:由题意,得 f'(x)=x2+2x=x(x+2), 故 f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)内单调递增, 在区间(-2,0)内单调递减.作出其图象如图所示. 令 1 3 x 3+x2 - 2 3 =- 2 3 ,得 x=0 或 x=-3,结合图象可知,{ -3 ≤ 𝑎 < 0, 𝑎 + 5 > 0, 解得-3≤a<0.故选 C. 3.已知函数 f(x)=12x 4 ln x-3x 4 -c,若对任意 x>0,不等式 f(x)≥-2c 2恒成立,则 c 的取值范围为( ) A.(-∞,-1] B.[ 3 2 , + ∞) C.(-∞,-1]∪[ 3 2 , + ∞) D.(-∞,-3] 答案:C 解析:f'(x)=48x 3 ln x+12x 4· 1 𝑥 -12x 3=48x 3 ln x(x>0), 令 f'(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1. 当 x 变化时,f'(x)及 f(x)的变化情况如下表