志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 6.3 利用导数解决实际问题 课后·训练提升 1.某箱子的容积与底面边长x的关系为x)=2()0<x<60),则当箱子的容积最大时，箱子底面边 长为) A30 B.40 C.50 D.35 答案B 解析：)-(30x2-》-60xx∈0,60 令V《x)=0,得x=40 易知当x=40时，箱子的容积取最大值故选B. 2.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则当其表面积最小时，底面边长为() A. B.2V C.4亚 D.2VV 答案：C 解析：设直棱柱的底面边长为x,侧棱长为1， 则/含sn6010 S=n60+3- 令S-3-0,∴-4，即x= 又当x∈(0，V4时，Sk'<0,x∈(V4亚，+oo)时，S>0, ∴.当x=V4V时，直棱柱的表面积最小 3.某银行准备设立一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为 >0),贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,4.8%)，则使 银行获得最大收益的存款利率为() A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6% 1
1 6.3 利用导数解决实际问题 课后· 1.某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x2·( 60-𝑥 2 )(0<x<60),则当箱子的容积最大时,箱子底面边 长为( ) A.30 B.40 C.50 D.35 答案:B 解析:V'(x)=(30𝑥 2 - 𝑥 3 2 )'=60x- 3 2 x 2 ,x∈(0,60). 令 V'(x)=0,得 x=40. 易知当 x=40 时,箱子的容积取最大值.故选 B. 2.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V,则当其表面积最小时,底面边长为( ) A. √V 3 B. √2𝑉 3 C. √4𝑉 3 D.2√𝑉 3 答案:C 解析:设直棱柱的底面边长为 x,侧棱长为 l, 则 V=1 2 x 2·sin 60°·l,∴l= 4𝑉 √3𝑥 2 . ∴S 表=x2 sin 60°+3xl=√3 2 x 2+ 4√3𝑉 𝑥 . 令 S 表'=√3x- 4√3𝑉 𝑥 2 =0,∴x 3=4V,即 x=√4V 3 . 又当 x∈(0, √4𝑉 3 )时,S 表'<0,x∈( √4𝑉 3 ,+∞)时,S 表'>0, ∴当 x=√4𝑉 3 时,直棱柱的表面积最小. 3.某银行准备设立一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为 k(k>0),贷款的利率为 4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为 x(x∈(0,4.8%)),则使 银行获得最大收益的存款利率为( ) A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6%
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案：A 解析：依题意知存款额是a2,银行应支付的存款利息是a3,银行应获得的贷款利息是0.048r2,所以银 行的收益是y=0.048ka2-k3(0<r<0.048) 故y'=0.096ax-3ar2 令y'-0,解得x=0.032或x=0(舍去) 当0<x<0.032时，y0 当0.032<x<0.048时y'<0. 因此，当x-0.032时y取得极大值，也是最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益， 4.某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时， 车辆通过该市某一路段的用时（单位：mi)与车辆进入该路段的时刻1之间的关系可近似地用如下函 数表示~，+36，空，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是(） A.6时 B.7时 C.8时 D.9时 答案：C 解析y-+36, 令y'=0,解得1=8或1=12（舍去）， 当0<1K8时，y>0,当>8时y'<0, 所以=8为函数的最大值点。 故当1=8时，通过该路段用时最多 5.某工厂需要建一个面积为512m的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最 省，则堆料场的长和宽各为() A16m,16m B.32m,16m C.32m,8m D.16m,8m 答案：B 解析：如图，设场地一边长为xm, 512 则另一边长为型m 2
2 答案:A 解析:依题意知存款额是 kx2 ,银行应支付的存款利息是 kx3 ,银行应获得的贷款利息是 0.048kx2 ,所以银 行的收益是 y=0.048kx2 -kx3 (0<x<0.048). 故 y'=0.096kx-3kx2 . 令 y'=0,解得 x=0.032 或 x=0(舍去). 当 0<x<0.032 时,y'>0; 当 0.032<x<0.048 时,y'<0. 因此,当 x=0.032 时,y 取得极大值,也是最大值,即当存款利率定为 3.2%时,银行可获得最大收益. 4.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午 6 时到 9 时, 车辆通过该市某一路段的用时 y(单位:min)与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关系可近似地用如下函 数表示:y=- 1 8 t 3 - 3 4 t 2+36t- 629 4 ,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是( ) A.6 时 B.7 时 C.8 时 D.9 时 答案:C 解析:y'=- 3 8 t 2 - 3 2 t+36, 令 y'=0,解得 t=8 或 t=-12(舍去), 当 0<t<8 时,y'>0;当 t>8 时,y'<0, 所以 t=8 为函数的最大值点. 故当 t=8 时,通过该路段用时最多. 5.某工厂需要建一个面积为 512 m2 的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使砌墙所用材料最 省,则堆料场的长和宽各为( ) A.16 m,16 m B.32 m,16 m C.32 m,8 m D.16 m,8 m 答案:B 解析:如图,设场地一边长为 x m, 则另一边长为512 𝑥 m
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 故刷墙的总长度L-2r兴气>0， L'-2.52 2 令L'=0,得x=16或x=-16(舍去). 易知当x=16时，L取最小值 故当堆料场的宽为16m,长为32m时，可使砌墙所用的材料最省.故选B. 6电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为)字翌.40>0)，为使耗电量最小，则其速度应定 为 答案：40 解析：由题设知y'=x2-39x-40(x>0), 令y>0,解得x>40, 即函数)字.翌2.40(x>0)在区间(40，+∞)内单调道增，在区间(0,40)上单调道减 所以当x=40时，y取得最小值 由此可知为使耗电量最小，则其速度应定为40. 7.一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50 元时，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维护，则租金定为 元时，可获 得最大收入 答案：1800 解析：设有x套公寓没有租出去，则收入x)=(1000+50x)(50-x)-100(50-x),则fx)=1600-100x.令 x)=0,解得x=16.易知当x=16时x)取最大值.故租金定为1800元时，收入最大. 8.如图，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，当窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比 为 答案：1：1 解析：设窗户面积为S周长为L,则S-受+2x,h-会-故L=x+2x+2h-7+2x1-号+2是 3
3 故砌墙的总长度 L=2x+512 𝑥 (x>0), L'=2- 512 𝑥 2 . 令 L'=0,得 x=16 或 x=-16(舍去). 易知当 x=16 时,L 取最小值. 故当堆料场的宽为 16 m,长为 32 m 时,可使砌墙所用的材料最省.故选 B. 6.电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间的关系为 y= 1 3 x 3 - 39 2 x 2 -40x(x>0),为使耗电量最小,则其速度应定 为 . 答案:40 解析:由题设知 y'=x2 -39x-40(x>0), 令 y'>0,解得 x>40, 即函数 y= 1 3 x 3 - 39 2 x 2 -40x(x>0)在区间(40,+∞)内单调递增,在区间(0,40)上单调递减. 所以当 x=40 时,y 取得最小值. 由此可知为使耗电量最小,则其速度应定为 40. 7.一房地产公司有 50 套公寓要出租,当月租金定为 1 000 元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加 50 元时,就会多一套租不出去,而租出去的公寓每月需花费 100 元维护,则租金定为 元时,可获 得最大收入. 答案:1 800 解析:设有 x 套公寓没有租出去,则收入 f(x)=(1 000+50x)(50-x)-100(50-x),则 f'(x)=1 600-100x.令 f'(x)=0,解得 x=16.易知当 x=16 时,f(x)取最大值.故租金定为 1 800 元时,收入最大. 8.如图,一窗户的上部是半圆,下部是矩形,当窗户面积一定,窗户周长最小时,x 与 h 的比 为 . 答案:1∶1 解析:设窗户面积为 S,周长为 L,则 S=π 2 x 2+2hx,h= 𝑆 2𝑥 − π 4 x,故 L=πx+2x+2h=π 2 x+2x+𝑆 𝑥 ,L'=π 2 +2- 𝑆 𝑥 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 由0得xx∈(0图时，0当x(+时L>0故当时L取最小值 此时= 9.甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米时，已知该汽车每小 时的运输成本P(单位元)关于速度V单位：千米时)的函数解析式为P9200品+15x (1)求全程运输成本Q(单位：元)关于速度v的函数解析式： (2)为使全程运输成本最低，汽车应以多少速度行驶？并求最低运输成本 解(10-p9-(a*高3+15）把=希-46000<≤10 (2)(知，0-器5x 令Q'-0,得v=0(舍去)或v=80, 当0<<80时，Q'<0,当80<v≤100时，Q>0, 故当v=80时，Qmi200故为使全程运输成本最低，汽车应以80千术/时的速度行驶，最低运输成本为 3 20元 10.某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(x ∈N,单位，件)之间的关系为P40每生产一件正品盈利400元，每生产一件次品亏损20 元（注：正品率=产品中的正品件数÷产品总件数×100%） (1)求日利润单位：元)与日产量x(单位：件)的函数解析式， (2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出最大日利润！ 解：(1)由已知得=4000×4200 4500x-20001.420-x2)】 4500 -3600r 故所求的函数解析式为 y=学+3600eN,l≤r≤40， (2)由(1)知y'=3600-4x2 令y'=0,解得x=30 当1≤x<30时，y>0;当30<x≤40时y'<0. 故当x=30时，y取得最大值，最大值为×303+3600×30=7200. 故该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大日利润为72000元 4
4 由 L'=0,得 x=√ 2𝑆 π+4 ,当 x∈(0,√ 2𝑆 π+4 )时,L'<0,当 x∈(√ 2𝑆 π+4 , + ∞)时,L'>0,故当 x=√ 2𝑆 π+4 时,L 取最小值, 此时ℎ 𝑥 = 2𝑆-π𝑥 2 4𝑥 2 = 𝑆 2𝑥 2 − π 4 = π+4 4 − π 4 =1. 9.甲、乙两地相距 400 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 100 千米/时,已知该汽车每小 时的运输成本 P(单位:元)关于速度 v(单位:千米/时)的函数解析式为 P= 1 19 200v 4 - 1 160v 3+15v. (1)求全程运输成本 Q(单位:元)关于速度 v 的函数解析式; (2)为使全程运输成本最低,汽车应以多少速度行驶?并求最低运输成本. 解:(1)Q=P· 400 𝑣 = ( 1 19 200 𝑣 4 - 1 160 𝑣 3 + 15𝑣) · 400 𝑣 = 𝑣 3 48 − 5 2 v 2+6 000(0<v≤100). (2)由(1)知,Q'=𝑣 2 16-5v. 令 Q'=0,得 v=0(舍去)或 v=80, 当 0<v<80 时,Q'<0;当 80<v≤100 时,Q'>0, 故当 v=80 时,Qmin= 2 000 3 .故为使全程运输成本最低,汽车应以 80 千米/时的速度行驶,最低运输成本为 2 000 3 元. 10.某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件,并且在生产过程中产品的正品率 P 与每日生产量 x(x ∈N+,单位:件)之间的关系为 P=4 200-𝑥 2 4 500 ,每生产一件正品盈利 4 000 元,每生产一件次品亏损 2 000 元.(注:正品率=产品中的正品件数÷产品总件数×100%) (1)求日利润 y(单位:元)与日产量 x(单位:件)的函数解析式; (2)求该厂的日产量为多少件时,日利润最大?并求出最大日利润. 解:(1)由已知得 y=4 000× 4 200-𝑥 2 4 500 x-2 000 1- 4 200-𝑥 2 4 500 x=3 600x- 4 3 x 3 , 故所求的函数解析式为 y=- 4 3 x 3+3 600x(x∈N+,1≤x≤40). (2)由(1)知 y'=3 600-4x 2 . 令 y'=0,解得 x=30. 当 1≤x<30 时,y'>0;当 30<x≤40 时,y'<0. 故当 x=30 时,y 取得最大值,最大值为- 4 3 ×303+3 600×30=72 000. 故该厂的日产量为 30 件时,日利润最大,最大日利润为 72 000 元