例2:已知:如图点A'、B、C’、D分别是正方形ABCD 四条边上的点,并且AA’=BB'=CC=DD 求证:四边形A'B'CD是正方形 C 分析:法一:①先证明四边形A′B′C′D′是菱形② 再证明四边形A′B′C′D′有一个角是直角 法二:①先证明四边形A′B′C′D′是矩形②再证明四边形 A′B′C′D′有一组邻边相等 证明:∵四边形ABCD是正方形 AB=BC=CD=DA 又∵AA=BB=CC=DD D A=A B=B C=C D ∵:∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴△AAD≌△BBA≌△CCB≌△DDC `= ∴四边形ABCD是菱形 又∵∠ADA=∠BAB,∠AAD+∠ADA=90° ∵.∠AAD+∠BAB=90° ∵∠DAB=180°—(∠AAD+∠BAB)=9 ∴四边形ABCD是正方形 例3:如图:EG、FH过正方形ABCD的对角线的交点0,EG⊥FH,求证四边形 EFGH为正方形 解答:∵正方形 ABCD EG⊥FH ∴∠OAH=∠OBE=45°,DB=ACOA=OB,∠AOH=90°—∠AOE=∠BOE, ∴AAOH≌∠BOE(ASA),∴OH=OE. 同理OE=0F=0G=OH, ∴.四边形EFGH是平行四边形FH=EG ∵EG⊥FH 四边形EFGH为正方形。 2、巩固练习 1、如图,分别延长等腰直角△OAB的两条直角边AO和B0,使 A0=OC, B0=OD 求证:四边形ABCD是正方形 2、矩形ABCD中,四个内角的平分线组成四边形EMFN,判A 断四边形EMFN的形状,并说明原因: 五、实践应用 (1)、给你一块矩形纸条,如何把它变成正方形纸条? (2)、完成课本节前图 (3)、请你用最快的速度画一个正方形,然后想一想,你所选择的画法是
例 2：已知：如图点 A'、B'、C'、D'分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA'=BB'=CC'=DD' 求证：四边形 A'B'C'D'是正方形 分析：法一：①先证明四边形 A′B′C′D′是 菱形② 再证明四边形 A′B′C′D′有一个角是直角 法二：①先证 明四边形 A′B′C′D′是 矩形 ②再证明 四边形 A′B′C′D′有一组邻边相等。 证明：∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AB=BC=CD=DA 又∵A`A=B`B=C`C=D`D ∴D`A=A`B=B`C=C`D ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C` AD`=AB`=BC`=CD` ∴四边形 A`B`C`D`是菱形 又∵∠AD`A`=∠BA`B`， ∠ AA`D`+∠AD`A`=90° ∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 ° ∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90° ∴四边形 A`B`C`D`是正方形 例 3：如图：EG 、FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O,EG⊥FH,求证四边形 EFGH 为正方形 解答： ∵ 正方形 ABCD EG⊥FH ∴∠OAH＝∠OBE＝45º， DB=AC OA＝OB, ∠AOH＝90º－∠AOE＝∠BOE, ∴⊿AOH≌⊿BOE﹙ASA﹚.∴ OH＝OE. 同理 OE＝OF＝OG ＝ OH, ∴四边形 EFGH 是平行四边形 ∴ FH=EG ∵EG⊥FH ∴四边形 EFGH 为正方形。 2、巩固练习 １、如图，分别延长等腰直角△OAB 的两条直角边 AO 和 BO，使 AO=OC，BO=OD 求证：四边形 ABCD 是正方形 ２、矩形 ABCD 中，四个内角的平分线组成四边形 EMFN，判 断四边形 EMFN 的形状,并说明原因: 五、 实践应用 (1)、给你一块矩形纸条，如何把它变成正方形纸条？ (2)、完成课本节前图 (3)、请你用最快的速度画一个正方形，然后想一想，你所选择的画法是
否经得起推敲?比一比,你周围的同学是否有比你更好的方法?教师等 待学生互相交流后,请学生代表发言 六、理论提升 例题:已知,如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是∠ACB的平分线, DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别是E、F 求证:四边形CFDE是正方形 证明:∵DE⊥BC,DF⊥AC ∴∠DEC=∠DFC=90°∵∠ACB=90° ∴四边形CFDE是矩形(为什么?) D ∵CD是∠ACB的平分线 ∴∠ACD=∠BCD ∴四边形CFDE是正方形(为 (1)这节课我的收获是什么? (2)我最感兴趣的是什么? (3)我想进一步研究的问题是什么? 教学反思: 补充练习: 判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题? 对角线相等的菱形是正方形。 ②、对角线互相垂直的矩形是正方形。( ③、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。() ④、四条边都相等的四边形是正方形。() ⑤、四个角都相等的四边形是正方形。() ⑥、四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形。() ⑦、正方形一定是矩形。() ⑧、正方形一定是菱形。() ⑨、菱形一定是正方形。() ⑩、矩形一定是正方形。() 2、已知:如图,正方形ABC中,COD,M⊥AC,连结CM则∠DC ∠B,∠MV 3.在正方形ABCD中,AB=12cm,对角线AC、BD相交于O,则△ABO的周长是 ()
否经得起推敲？比一比，你周围的同学是否有比你更好的方法？教师等 待学生互相交流后，请学生代表发言 六、 理论提升 例题：已知，如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=900，CD 是∠ACB 的平分线， DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是 E、F 求证：四边形 CFDE 是正方形 证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC ∴∠DEC=∠DFC=900 ∵∠ACB=900 ∴四边形 CFDE 是矩形(为什么？) ∵CD 是∠ACB 的平分线 ∴∠ACD=∠BCD ∴DE=DF ∴四边形 CFDE 是正方形(为什么？) 七、 小结 (1)这节课我的收获是什么？ (2)我最感兴趣的是什么？ (3)我想进一步研究的问题是什么？ 教学反思： 补充练习： 1、判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？ 对角线相等的菱形是正方形。 （ ） ②、对角线互相垂直的矩形是正方形。（ ） ③、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。（ ） ④、四条边都相等的四边形是正方形。（ ） ⑤、四个角都相等的四边形是正方形。（ ） ⑥、四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形。（ ） ⑦、正方形一定是矩形。（ ） ⑧、正方形一定是菱形。（ ） ⑨、菱形一定是正方形。（ ） ⑩、矩形一定是正方形。（ ） 2、已知：如图，正方形 ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结 CN，则∠DCN=_____=____ ∠B，∠MND=_______=_______∠B. 3.在正方形 ABCD 中，AB=12 cm，对角线 AC、BD 相交于 O，则△ABO 的周长是 （ ） C A D B F E
A.12+12√2B.12+6√2C.12+√2D.24+6√2 4、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=CA,连接AE交①D于F 求∠AFD的度数。 变式:1、已知如下图,正方形ABCD中,E是CD边上的一点,F为BC延长线 上一点,CCF (1)求证:△BEC≌△DFC:(2)若∠BEC=60°,求∠EFD的度数 D 5、如图,E为正方形ABCD的BC边上的一点,CG平分∠DCF,连结AE,并在 CG上取一点G,使BGAE求证:AE⊥EG 6、P为正方形ABCD内一点,PA1,PB=2,P=3,求∠APB的度数 7、如图,四边形ABCD为正方形,以AB为边向正方形外作等边三角形ABE, CE与DB相交于点F,则∠AFD 8、(哈尔滨)若正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点,BE=3,M为线段 AE上一点,射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM的长为
A.12+12 2 B.12+6 2 C.12+ 2 D.24+6 2 4、在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上取一点 E，使 CE=CA,连接 AE 交 CD 于 F， 求 AFD 的度数。 变式：1、已知如下图，正方形 ABCD 中，E 是 CD 边上的一点，F 为 BC 延长线 上一点，CE=CF. (1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD 的度数. 5、如图，E 为正方形 ABCD 的 BC 边上的一点，CG 平分∠DCF，连结 AE，并在 CG 上取一点 G，使 EG=AE.求证：AE⊥EG. 6、P 为正方形 ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB 的度数. 7、如图，四边形 ABCD 为正方形，以 AB 为边向正方形外作等边三角形 ABE， CE 与 DB 相交于点 F，则 AFD = 。 8、（哈尔滨）若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 边上一点，BE=3，M 为线段 AE 上一点，射线 BM 交正方形的一边于点 F，且 BF=AE，则 BM 的长为
9、(海南省)如图,P是边长为1的正方形ABC对角线AC上一动点(P与A C不重合),点E在射线BC上,且PE=B (1)求证:①PE=PD;②PE⊥PDA (2)设AP=x,△PBE的面积为y求出y关于x的函数关系式,并写出x E 的取值范围 10、.正方形的面积是1,则其对角线长是 11、E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,求∠EAD的度数.A 12、如图,正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点0是正方形ABCD 的中心,正方形OMNP绕0点旋转,证明:无论正方形OMNP旋转到何种位置, 这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值,并求这个定值 13、E是正方形ABCD对角线AC上一点,EF⊥CD,EG⊥AD,垂足分别为F、 F 11、已知R△ABC中,∠C=90°,CD平分∠ACB,交AB于D,DF//BC,DE/AC, 求证:四边形DECF为正方形
9、（海南省）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、 C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB. （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设 AP=x, △PBE 的面积为 y.求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 10、.正方形的面积是 3 1 ，则其对角线长是________. 11、E 为正方形 ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 的度数. 12、如图，正方形 ABCD 与正方形 OMNP 的边长均为 10，点 O 是正方形 ABCD 的中心，正方形 OMNP 绕 O 点旋转，证明：无论正方形 OMNP 旋转到何种位置， 这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值． 13、E 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点， EF CD EG AD ⊥ ⊥ , , 垂足分别为 F、 G，求证：BE=FG。 11、已知 Rt ABC 中， = C 90 ，CD 平分 ACB ,交 AB 于 D，DF//BC,DE//AC， 求证：四边形 DECF 为正方形。 A B C P D E
第二章一元二次方程 在学习本章之前,学生已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二 元一次方程组),并且学习了可以化为一元一次方程的分式方程,他们对于 解方程的基本思路(使方程逐步化为xα的形式)已经比较熟悉,按照这种 思路可以继续考虑一元二次方程的解法 元二次方程与前面的方程相比,特点在于未知数的次数是2(二次) 新的问题是如何将一元二次方程转化为已经会解的方程,即一次方程。从这 个新问题入手,可以自然地引出解一元二次方程的基本策略和关键步骤。教 科书分析问题时注意了体现出“降次”是很自然、很合理地产生的,这是在 原来已经认识了的解方程的基本思路基础上,结合一元二次方程的实际而得 到的解决问题的基本策略。这样处理既突出了一元二次方程解法上的特点及 其算理,又反映了一元二次方程与一元一次方程在解法上的内在联系。各种 解法中能够创造条件实现降次的步骤(配方、开方、分解因式等)就是该解 法的关键步骤,它们是落实降次的具体措施 在本章的教学和学习中,应重视相关内容与实际的联系,可以选择一些 适合一元二次方程内容而又接近本班学生生活的实际问题,结合这些问题展 开教学的内容。要注意避免脱离任何实际问题单纯地讲述一元二次方程的内 容,虽然这种纯数学的处理方法在数学体系内部并无问题,但是从教学角度 看它具有局限性,不适合初中学生接受,也不利于全面地提高学生素质。总 之,要充分注意有关现实背景,通过它们反映出一元二次方程来自实际又服 务于实际,加强对一元二次方程是解决现实问题的一种数学模型的反映。 对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题,关键是弄清实际问题 的背景,找出实际问题中相关数量之间的相等关系,并把这样的关系“翻译” 为一元二次方程。这里需要指出,正确地理解实际问题情境是完成这一工作 的基础。因此,本章的教学不能是封闭于数学知识内部的,而应是联系实际 问题的开放式的,同时在丰富的内容中不失提炼数学知识这个精髓,最终使 学生掌握数学基础知识,提高数学基本技能和能力,并且能运用它们处理某 些实际问题。 在本章的教学中,可以从多种角度表达和思考实际问题,例如借助图象、 表格、式子等进行不同形式来描述问题,分析问题,发现其中的数量关系, 并建立相应的一元二次方程模型。教学中还应使学生认识到数学方法解决问 题的结果要接受实际检验,注意检验所得方程及其根的实际意义,进行必要 的讨论,找出合乎实际的结果 §2.1认识一元二次方程(第一课时) 教学目标 理解一元二次方程的概念及它的有关概念; 2.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻 画现实世界的一个有效数学模型 教学重点:一元二次方程的概念及它的一般形式 教学难点:一元二次方程的概念
第二章 一元二次方程 在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程（一元一次方程、二 元一次方程组），并且学习了可以化为一元一次方程的分式方程，他们对于 解方程的基本思路（使方程逐步化为 的形式）已经比较熟悉，按照这种 思路可以继续考虑一元二次方程的解法。 一元二次方程与前面的方程相比，特点在于未知数的次数是 2（二次）， 新的问题是如何将一元二次方程转化为已经会解的方程，即一次方程。从这 个新问题入手，可以自然地引出解一元二次方程的基本策略和关键步骤。教 科书分析问题时注意了体现出“降次” 是很自然、很合理地产生的，这是在 原来已经认识了的解方程的基本思路基础上，结合一元二次方程的实际而得 到的解决问题的基本策略。这样处理既突出了一元二次方程解法上的特点及 其算理，又反映了一元二次方程与一元一次方程在解法上的内在联系。各种 解法中能够创造条件实现降次的步骤（配方、开方、分解因式等）就是该解 法的关键步骤，它们是落实降次的具体措施。 在本章的教学和学习中，应重视相关内容与实际的联系，可以选择一些 适合一元二次方程内容而又接近本班学生生活的实际问题，结合这些问题展 开教学的内容。要注意避免脱离任何实际问题单纯地讲述一元二次方程的内 容，虽然这种纯数学的处理方法在数学体系内部并无问题，但是从教学角度 看它具有局限性，不适合初中学生接受，也不利于全面地提高学生素质。总 之，要充分注意有关现实背景，通过它们反映出一元二次方程来自实际又服 务于实际，加强对一元二次方程是解决现实问题的一种数学模型的反映。 对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题，关键是弄清实际问题 的背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这样的关系 “翻译” 为一元二次方程。这里需要指出，正确地理解实际问题情境是完成这一工作 的基础。因此，本章的教学不能是封闭于数学知识内部的，而应是联系实际 问题的开放式的，同时在丰富的内容中不失提炼数学知识这个精髓，最终使 学生掌握数学基础知识，提高数学基本技能和能力，并且能运用它们处理某 些实际问题。 在本章的教学中，可以从多种角度表达和思考实际问题，例如借助图象、 表格、式子等进行不同形式来描述问题，分析问题，发现其中的数量关系， 并建立相应的一元二次方程模型。教学中还应使学生认识到数学方法解决问 题的结果要接受实际检验，注意检验所得方程及其根的实际意义，进行必要 的讨论，找出合乎实际的结果。 §2.1 认识一元二次方程（第一课时） 教学目标： 1．理解一元二次方程的概念及它的有关概念； 2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻 画现实世界的一个有效数学模型． 教学重点：一元二次方程的概念及它的一般形式 教学难点：一元二次方程的概念