第一章特殊的平行四边形 本章在学习了平行四边形的基础上研究特殊的平行四边形。通过平行四 边形角、边的特殊化,研究菱形、矩形和正方形等特殊的平行四边形,认识 这些概念之间的联系与区别,明确它们的内涵与外延;探索并证明平行四边 形、矩形、菱形、正方形的有关性质定理和判定定理,进一步明确命题及其 逆命题的关系,不断发展学生的合情推理和演绎推理能力。 本章研究特殊的平行四边形,图形比较多,而且图形的性质定理和判定 定理也比较多。教科书呈现这些内容时,注意突出图形性质和判定的探索与 发现过程,由观察度量、实验操作、图形变换等方式,通过合情推理发现结 论,形成猜想,运用演绎推理证明猜想。 通过平行四边形的变形一一角的变化,一个角为直角,探究并发现矩形 的四个角都是直角、对角线相等等性质;利用菱形的轴对称性,探究并发现 菱形四条边都相等、对角线互相垂直、对角线平分对角等性质。学生通过观 察度量、实验操作、图形变换等,运用合情推理,探究并发现结论,形成猜 想,进而要求学生运用演绎推理对猜想进行证明,得出图形的性质。把合情 推理和演绎推理有机结合起来 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形,它们的性质定理和判定定 理的研究方法,与平行四边形性质定理和判定定理的研究方法一脉相承 §1.1菱形的性质与判定(第一课时) 教学目标 1.经历菱形的概念、性质的发现过程 2.掌握菱形的概念 3.掌握菱形的性质定理“菱形的四条边都相等” 4.掌握菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分 组对角 5.探索菱形的对称性 教学重点、难点 重点:菱形的性质 难点:菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法,是本节的教学难点 教学过程 引入:用多媒体显示下面的图形 观察以下由火柴棒摆成的图形 议一议:(1)三个图形都是平行四边形吗? (2)与图一相比,图二与图三有什么共同的特点? 目的是让学生经历菱形的概念,性质的发现过程,并让学生注意以下几点
第一章 特殊的平行四边形 本章在学习了平行四边形的基础上研究特殊的平行四边形。通过平行四 边形角、边的特殊化，研究菱形、矩形和正方形等特殊的平行四边形，认识 这些概念之间的联系与区别，明确它们的内涵与外延；探索并证明平行四边 形、矩形、菱形、正方形的有关性质定理和判定定理，进一步明确命题及其 逆命题的关系，不断发展学生的合情推理和演绎推理能力。 本章研究特殊的平行四边形，图形比较多，而且图形的性质定理和判定 定理也比较多。教科书呈现这些内容时，注意突出图形性质和判定的探索与 发现过程，由观察度量、实验操作、图形变换等方式，通过合情推理发现结 论，形成猜想，运用演绎推理证明猜想。 通过平行四边形的变形——角的变化，一个角为直角，探究并发现矩形 的四个角都是直角、对角线相等等性质；利用菱形的轴对称性，探究并发现 菱形四条边都相等、对角线互相垂直、对角线平分对角等性质。学生通过观 察度量、实验操作、图形变换等，运用合情推理，探究并发现结论，形成猜 想，进而要求学生运用演绎推理对猜想进行证明，得出图形的性质。把合情 推理和演绎推理有机结合起来。 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质定理和判定定 理的研究方法，与平行四边形性质定理和判定定理的研究方法一脉相承。 §1.1 菱形的性质与判定（第一课时） 教学目标： 1.经历菱形的概念、性质的发现过程 2.掌握菱形的概念 3.掌握菱形的性质定理 “菱形的四条边都相等” 4.掌握菱形的性质定理 “菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分 一组对角” 5.探索菱形的对称性 教学重点、难点 重点：菱形的性质． 难点：菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法,是本节的教学难点． 教学过程 一. 引入: 用多媒体显示下面的图形 观察以下由火柴棒摆成的图形 议一议: (1)三个图形都是平行四边形吗? (2) 与图一相比,图二与图三有什么共同的特点? 目的是让学生经历菱形的概念,性质的发现过程,并让学生注意以下几点:
(1)要使学生明确图二、图三都为平行四边形 (2)引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异 新课:把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案,让学生感受菱形具有工整, 匀称,美观等许多优点 菱形也是特殊的平行四边形,所以它具有一般平行四边形的性质外还具 有一些特殊的性质 定理1:菱形的四条边都相等 这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只 需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程 定理2:菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角 已知:在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0。 求证:AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC 分析:由菱形的定义得△ABD是什么三角形?B0与OD有什么关系?根据什 么?由此可得A0与BD有何关系?∠BAD有何关系?根据什么? 证明:∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD(菱形的定义) BO=OD(平行四边形的对角线互相平分) AC⊥BD,AC平分∠BAD(等腰三角形三线合一的性质) 同理,AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC ∴对角线AC和BD分别平分一组对角 由定理2可以得出菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是 它的对称轴。另外,还可以从折叠来说明轴对称性。同时指出以上两个性质 只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质。菱形还具有平行四边形的所有 共性,比如:菱形是中心对称图形,对称中心为两条对角线的交点。 三.应用 例1.在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交与点0,∠BAC=30°,BD=6 求菱形的边长和对角线AC的长 分析:本题是菱形的性质定理2的应用,由∠BAC=30° 得出△ABD为等边三角形,就抓住了问题解决的关键 解:∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD(菱形的定义) AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角) 又∵∠BAC=30° ∠BAD=60° △ABD为等边三角形 又∵0B=0D=3(平行四边形的对角线互相平分) AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直) 由勾股定理得AO2+B02=AB2 3J3 63 AC=2AO 四.巩固:教科书第141页课那练习1、2
(1) 要使学生明确图二、图三都为平行四边形 (2) 引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异 二. 新课: 把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案,让学生感受菱形具有工整, 匀称,美观等许多优点. 菱形也是特殊的平行四边形,所以它具有一般平行四边形的性质外还具 有一些特殊的性质. 定理 1:菱形的四条边都相等 这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只 需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程. 定理 2: 菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. 已知:在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O。 求证:AC ⊥ BD ,AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC 分析：由菱形的定义得△ABD 是什么三角形？ BO 与 OD 有什么关系？根据什 么？ 由此可得 AO 与 BD 有何关系？∠BAD 有何关系？根据什么？ 证明：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AB=AD（菱形的定义） BO=OD（平行四边形的对角线互相平分） ∴AC⊥BD ， AC 平分∠BAD（等腰三角形三线合一的性质） 同理，AC 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC ∴对角线 AC 和 BD 分别平分一组对角 由定理 2 可以得出菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是 它的对称轴。另外，还可以从折叠来说明轴对称性。同时指出以上两个性质 只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质。菱形还具有平行四边形的所有 共性，比如：菱形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点。 三． 应用 例1． 在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交与点 O, ∠BAC= 30°,BD=6 求菱形的边长和对角线 AC 的长. 分析:本题是菱形的性质定理 2 的应用，由∠BAC= 30°， 得出△ABD 为等边三角形，就抓住了问题解决的关键。 解：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AB=AD（菱形的定义） AC 平分∠BAD（菱形的每条对角线平分一组对角） 又∵∠BAC= 30° ∴ ∠BAD= 60° ∴△ABD 为等边三角形 ∴AB=BD=6 又∵OB=OD=3（平行四边形的对角线互相平分） AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直） 由勾股定理得 AO2 + BO2= AB2 ∴AO= AC=2AO= 四．巩固：教科书第 141 页 课那练习 1、2 O D C B A O D C B A
五.小结:1、通过本节课的学习,你有什么收获?还有哪些困惑? 2、本节课的主要内容是:一个定义(菱形的定义) 条定理 (菱形的性质定理),二个结论(菱形是轴对称图形,又是中心对称图形) 六.作业 教学反思 §1.1菱形的性质与判定(第二课时) 教学目标 1.经历菱形的判定定理的发现过程 2.掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形” 3.掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” 4.通过运用菱形知识解决具体问题,提高分析能力和观察能力.并根据 平行四边形、矩形、菱形的从属关系,向学生渗透集合思想 教学重点、难点 重点:菱形的判定定理 难点:菱形判定方法的综合应用.课本“合作学习”既需要一定的空间 想象力,又要有较强的逻辑思维能力 教学过程 (一)、复习引入 提问 菱形的定义和性质。 定义:一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形 性质:除具备一般平行四边形的性质外,还具备四条边相等, 对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角 判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定? 定义,此外还有两种判定方法,今天我们就要学习菱形的判定。(板书课题) (二)、创设情境,引入新课 1、合作学习 学生拿出准备好的长方形纸片,按大屏幕展示的方法对折两次,并沿(3) 中的斜线剪开,展开剪下的部分,猜想这个图形是哪一种四边形?一定是菱 形吗?为什么? 剪出的图形四条边都相等,根据这个条件首先证它是平行四边形,再证一组 邻边相等,依定义即知为菱形
五．小结：1、通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些困惑？ 2、本节课的主要内容是：一个定义（菱形的定义），二条定理 （菱形的性质定理），二个结论（菱形是轴对称图形，又是中心对称图形）。 六．作业： 教学反思： §1.1 菱形的性质与判定（第二课时） 教学目标 1．经历菱形的判定定理的发现过程。 2．掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”。 3．掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。 4．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．并根据 平行四边形、矩形、菱形的从属关系，向学生渗透集合思想． 教学重点、难点 重点：菱形的判定定理． 难点：菱形判定方法的综合应用．课本“合作学习”既需要一定的空间 想象力，又要有较强的逻辑思维能力． 教学过程 (一)、复习引入 1、 提问 菱形的定义和性质。 定义：一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形。 性质：除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等， 对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角 判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？ 定义，此外还有两种判定方法，今天我们就要学习菱形的判定。（板书课题） (二)、创设情境，引入新课 1、合作学习： 学生拿出准备好的长方形纸片，按大屏幕展示的方法对折两次，并沿（3） 中的斜线剪开，展开剪下的部分，猜想这个图形是哪一种四边形？一定是菱 形吗？为什么？ 剪出的图形四条边都相等，根据这个条件首先证它是平行四边形，再证一组 邻边相等，依定义即知为菱形．
结论:菱形判定定理1:四边都相等的四边形是菱形(板书) 三)、交流互动,探求新知 1、已知:如图,在口ABCD中,BD⊥AC,0为垂足。 求证:口ABCD是菱形 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=C0(平行四边形的对角线互相平分) BD⊥AC, D=CD ∴□ABCD是菱形(菱形的定义) 结论:菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、猜想:对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形? 启发:通过四个直角三角形的全等得到四条边相等 结论:对角线互相垂直平分的四边形是菱形 (四)、应用新知,巩固练习 1、课本“课内练习” 2、思考题:如图,△ABC中,∠A=90°,∠B的平分线交AC于D,AH、 DF都垂直于BC,H、F为垂足,求证:四边形AEFD为菱形 (五)、课堂小结,布置作业 1、本节的主要内容是: 菱形常用的判定方法 A 1).一组邻边相等的平行四边形 B 2).四条边相等的四边形 3).对角线互相垂直的平行四边形 4).对角线互相垂直平分的四边形 2、作业 教学反思
结论：菱形判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形（板书） (三)、 交流互动，探求新知 1、已知：如图，在 ABCD 中，BD⊥AC，O 为垂足。 求证： ABCD 是菱形 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO＝CO（平行四边形的对角线互相平分）。 ∵BD⊥AC， ∴AD＝CD ∴ ABCD 是菱形（菱形的定义）。 结论：菱形判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、猜想：对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？ 启发：通过四个直角三角形的全等得到四条边相等。 结论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 (四)、应用新知，巩固练习 1、 课本 “课内练习” 2、思考题：如图，△ABC 中，∠A=90°, ∠B 的平分线交 AC 于 D，AH、 DF 都垂直于 BC ， H 、 F 为垂足，求证：四边形 AEFD 为菱形。 A B C D E H F (五)、课堂小结，布置作业 1、本节的主要内容是： 菱形常用的判定方法 1）．一组邻边相等的平行四边形． 2）．四条边相等的四边形． 3）.对角线互相垂直的平行四边形． 4）.对角线互相垂直平分的四边形 2、作业： 教学反思
补充练习: 、选择题。 1、已知菱形两个邻角的比是1:5,高是8cm,则菱形的周长是( A. 16cm 2、已知菱形的周长为40cm,两对角线长的比是3:4,则两对角线的长分别 是()。 A.6cm、8cm B.3cm、4cm C.12cm、16cm D.24cm、 3、如图:在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,且E、F分别为BC、CD的中点, 那么∠EAF等于() B D A.75° B C.45° D.30° 4、棱形的周长为8.4cm,相邻两角之比为5:1,那么菱形一组对边之间的 距离为( A、1.05cmB、0.525cmC、4.2cmD、2.1cm 5、菱形具有而矩形不具有的性质是( A.对角相等B.四边相等C.对角线互相平分D.四角相等 6、口ABCD的对角线AC、BD相交于点O,下列条件中,不能判定口ABCD是 菱形的是() A. ABAD B.AC⊥BD C.∠∠D D.CA平分∠BCD 7、下列命题中,真命题是( A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B.有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形。 C.对角线互相垂直的矩形是菱形 D.菱形的对角线相等 8、菱形是轴对称图形,对称轴有() A.1条 3条 D.4条 9、已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm,那么这个菱形的周长为 面积为 10、将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起,使之成60度角,那么 重叠部分的面积的最大值为 11、一个菱形面积为80,周长为40,那么两条对角线长度之和为 A 12、已知:如图,在菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且CE=CF H E
补充练习： 一、选择题。 1、已知菱形两个邻角的比是 1:5，高是 8cm，则菱形的周长是（ ）。 A. 16cm B. 32cm C. 64cm D. 128cm 2、已知菱形的周长为 40 cm，两对角线长的比是 3:4，则两对角线的长分别 是（ ）。 A. 6cm、8cm B. 3cm、4cm C. 12cm、16cm D. 24cm、 32cm 3、如图：在菱形 ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，且 E、F 分别为 BC、CD 的中点， 那么∠EAF 等于（ ）。 A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 4、棱形的周长为 8.4cm，相邻两角之比为 5：1，那么菱形一组对边之间的 距离为（ ） A、1.05cm B、0.525cm C、4.2cm D、2.1cm 5、菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A．对角相等 B．四边相等 C．对角线互相平分 D．四角相等 6、 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件中，不能判定 ABCD 是 菱形的是（ ）。 A. AB=AD B. AC⊥BD C. ∠A=∠D D.CA 平分∠BCD 7、下列命题中，真命题是（ ）。 A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形。 B. 有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形。 C. 对角线互相垂直的矩形是菱形。 D. 菱形的对角线相等。 8、菱形是轴对称图形，对称轴有（ ）。 A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 9、已知菱形的两条对角线长为 10cm 和 24cm, 那么这个菱形的周长为 _______, 面积为______. 10、将两张长 10cm 宽 3cm 的长方形纸条叠放在一起, 使之成 60 度角, 那么 重叠部分的面积的最大值为________________. 11、一个菱形面积为 80, 周长为 40, 那么两条对角线长度之和为 __________. 12、已知：如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 CE=CF。 H G F E D C B A