第一章特殊的平行四边形 §1,1菱形的性质与判定 、教学目标:.1、菱形的性质定理的运用.2.菱形的判定定理的运用 、教学重点难点:掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导,运用综合法解决菱形的相关题型 三、概念: 菱形性质: 1.两条对角线互相垂直平分 2.四条边都相等 3.每条对角线平分一组对角 4.菱形是一个中心对称图形,也是一个轴对称图形 菱形的判定定理: 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义) 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(根据对角线) 3、四条边都相等的四边形是菱形.(根据四条边) 4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.(对角线和角的关系) 四、讲课过程 1、例题 例1.(2006·大连)已知:如图,四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上一点,F是DB延长线上一点,且DE=BF.请 你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只 须证明一组线段相等即可) (1)连接AF (2)猜想:AF (3)证明:(说明:写出证明过程的重要依据) 考点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质。 专题:几何综合题 分析:观察图形应该是连接AF,可通过证△AFB和△ADE全等来实现AF=AE 解答:解:(1)如图,连接AF (2)AF=AE: (3)证明:四边形ABCD是菱形 AB=AD, ABD=∠ADB, ∠ABF=∠ADE 在△ABF和△ADE中 AB=AD ABF=∠ADE BF=DE
第一章 特殊的平行四边形 §1,1 菱形的性质与判定 一、教学目标：．1、菱形的性质定理的运用．2．菱形的判定定理的运用． 二、教学重点难点：掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导，运用综合法解决菱形的相关题型。 三、概念： 菱形性质： 1． 两条对角线互相垂直平分； 2． 四条边都相等； 3． 每条对角线平分一组对角； 4． 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。 菱形的判定定理： 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（根据对角线） 3、四条边都相等的四边形是菱形．（根据四条边） 4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（对角线和角的关系） 四、讲课过程： 1、例题、 例 1.（2006•大连）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，E 是 BD 延长线上一点，F 是 DB 延长线上一点，且 DE=BF．请 你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只 须证明一组线段相等即可）． （1）连接 AF ； （2）猜想： AF = AE ； （3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据） 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：几何综合题。 分析：观察图形应该是连接 AF，可通过证△AFB 和△ADE 全等来实现 AF=AE． 解答：解：（1）如图，连接 AF； （2）AF=AE； （3）证明：四边形 ABCD 是菱形． ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠ABF=∠ADE， 在△ABF 和△ADE 中
∴△ABF≌△ADE ∴AF=AE 点评:此题考查简单的线段相等,可以通过全等三角形来证明 例2、(2009贵阳)如图,在菱形ABCD中,P是AB上的一个动点(不与A、B重合),连接DP交对角线AC于 E连接BE. (1)证明:∠APD=∠CBE (2)若∠DAB=60°,试问P点运动到什么位置时,△ADP的面积等于菱形ABCD面积的1,为什么? 考点:菱形的性质:全等三角形的判定与性质:等边三角形的性质。 专题:证明题;动点型 分析:(1)可先证△BCE≌△DCE得到∠EBC=∠EDC,再根据AB∥DC即可得到结论 (2)当P点运动到AB边的中点时,S△ADP=1s菱ABCD,证明S△AD=11ABDP=1s菱形ABCD即可 解答:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形 BC=CD,AC平分∠BCD(2分) CE=CE ∵.△BCE≌△DCE(4分) ∴∠EBC=∠EDC 又∵AB∥DC ∠APD=∠CDP(5分) ∴∠EBC=∠APD(6分) (2)解:当P点运动到AB边的中点时,S△ADP=S菱形ABCD.(8分) 理由:连接DB ∠DAB=60°,AD=AB △ABD等边三角形(9分) 是AB边的中点 DP⊥AB(10分 S△ADP=APDP,S菱形ABCD=ABDP(11分) ∵AP=AB ∴S△ADP=三x=AB·DP=S菱形ABCD
∴△ABF≌△ADE， ∴AF=AE． 点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明． 例 2、（2009•贵阳）如图，在菱形 ABCD 中，P 是 AB 上的一个动点（不与 A、B 重合），连接 DP 交对角线 AC 于 E 连接 BE． （1）证明：∠APD=∠CBE； （2）若∠DAB=60°，试问 P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 ，为什么？ 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专题：证明题；动点型。 分析：（1）可先证△BCE≌△DCE 得到∠EBC=∠EDC，再根据 AB∥DC 即可得到结论． （2）当 P 点运动到 AB 边的中点时，S△ADP= S 菱形 ABCD，证明 S△ADP= × AB•DP= S 菱形 ABCD 即可． 解答：（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴BC=CD，AC 平分∠BCD（2 分） ∵CE=CE ∴△BCE≌△DCE（4 分） ∴∠EBC=∠EDC 又∵AB∥DC ∴∠APD=∠CDP（5 分） ∴∠EBC=∠APD（6 分） （2）解：当 P 点运动到 AB 边的中点时，S△ADP= S 菱形 ABCD．（8 分） 理由：连接 DB ∵∠DAB=60°，AD=AB ∴△ABD 等边三角形（9 分） ∵P 是 AB 边的中点 ∴DP⊥AB（10 分） ∴S△ADP= AP•DP，S 菱形 ABCD=AB•DP（11 分） ∵AP= AB ∴S△ADP= × AB•DP= S 菱形 ABCD
即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的.(12分) 点评:此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定,判断当P点运动到AB边的中点时,S△AD=1s菱形ABCD是难 点 例3、(2010·宁洱县)如图,四边形ABCD是菱形,BE⊥AD、BF⊥CD,垂足分别为E、F (1)求证:BE=BF (2)当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时,求BE的长 考点:菱形的性质:全等三角形的判定与性质 分析:(1)根据菱形的邻边相等,对角相等,证明ΔABE与△CBF全等,再根据全等三角形对应边相等即可证明 (2)先根据菱形的对角线互相垂直平分,求出菱形的边长,再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高 两种求法即可求出 解答:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∵AB=CB,∠A=∠C BE⊥AD、BF⊥CD, ∴∠AEB=∠CFB=90°, 在△ABE和△CBF中 ∠A=∠C ∠AEB=∠CFB=90 △ABE≌△CBF(AAS) ∴BE=BF (2)解:如图 对角线AC=8,BD=6 对角线的一半分别为4、3, 菱形的边长 菱形的面积=5BE=18×6, b2=盘 点评:本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明,同时还考查了菱形面积的两种求法
即△ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 ．（12 分） 点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定，判断当 P 点运动到 AB 边的中点时，S△ADP= S 菱形 ABCD 是难 点． 例 3、（2010•宁洱县）如图，四边形 ABCD 是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为 E、F． （1）求证：BE=BF； （2）当菱形 ABCD 的对角线 AC=8，BD=6 时，求 BE 的长． 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。 分析：（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明△ABE 与△CBF 全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明； （2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高 两种求法即可求出． 解答：（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=CB，∠A=∠C， ∵BE⊥AD、BF⊥CD， ∴∠AEB=∠CFB=90°， 在△ABE 和△CBF 中， ∴△ABE≌△CBF（AAS）， ∴BE=BF． （2）解：如图， ∵对角线 AC=8，BD=6， ∴对角线的一半分别为 4、3， ∴菱形的边长为 =5， 菱形的面积=5BE= ×8×6， 解得 BE= ． 点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的两种求法．
例3、(201广安)如图所示,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,DE∥AC交BC的延长线于点E 求证: - -BE 考点:菱形的性质。 专题:证明题 分析:由四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,易得BD⊥AC,∠DBC=30°,又由DE∥AC,即可证得DE⊥BD,由 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得DE=BE 解答:证明: 法一:如右图,连接BD ∴四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°, ∴BD⊥AC,∠DBC=30°, DE∥AC, DE⊥BD 即∠BDE=90°, DE=BE 法二:∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°, ∴AD∥BC,AC=AD, ∵AC∥DE, 四边形ACED是菱形, ∴DE=CE=AC=AD 又四边形ABCD是菱形 ADAB=BC=CD ∴BC=EC=DE,即C为BE中点 ∴DE=BC=BE. 点评:此题考查了菱形的性质,直角三角形的性质等知识.此题难度不大,注意数形结合思想的应用 例4.(2010·益阳)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为 E (1)求∠ABD的度数 (2)求线段BE的长
例 3、（2011•广安）如图所示，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E． 求证：DE= BE． 考点：菱形的性质。 专题：证明题。 分析：由四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°，易得 BD⊥AC，∠DBC=30°，又由 DE∥AC，即可证得 DE⊥BD，由 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得 DE= BE． 解答：证明： 法一：如右图，连接 BD， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴BD⊥AC，∠DBC=30°， ∵DE∥AC， ∴DE⊥BD， 即∠BDE=90°， ∴DE= BE． 法二：∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴AD∥BC，AC=AD， ∵AC∥DE， ∴四边形 ACED 是菱形， ∴DE=CE=AC=AD， 又四边形 ABCD 是菱形， ∴AD=AB=BC=CD， ∴BC=EC=DE，即 C 为 BE 中点， ∴DE=BC= BE． 点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用． 例 4.（2010•益阳）如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=4，O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OE⊥AB，垂足为 E． （1）求∠ABD 的度数； （2）求线段 BE 的长．
考点:菱形的性质。 分析:(1)根据菱形的四条边都相等,又∠A=60°,得到△ABD是等边三角形,∠ABD是60 (2)先求出OB的长和∠BOE的度数,再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出 解答:解:(1)在菱形ABCD中,AB=AD,∠A=60°, △ABD为等边三角形, ∠ABD=60°:(4分) (2)由(1)可知BD=AB=4 又∵O为BD的中点, ∴OB=2(6分), 又∵OE⊥AB,及∠ABD=60° ∴∠BOE=30°, ∵.BE=1.(8分) 点评:本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解,需要熟练掌握 2、巩固练习 1.有一组邻边相等的平行四边形是 2.菱形的两条对角线长分别是8cm和10cm,则菱形的面积是 3.菱形的两邻角之比为1:2,边长为2,则菱形的面积为 4.菱形的面积等于()(20分) A.对角线乘积 一边的平方C.对角线乘积的一半D.边长平方的一半 5.下列条件中,可以判定一个四边形是菱形的是()(20分) A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线相等且垂直 D.两条对角线互相垂直平分 6.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是( ).(20分) A1个B2个C3个D4个 7.如图,四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,AB=6cm,则∠ABD=,·∠DAC的度数为 角线BD AC 菱形ABCD的面积为 (20分) 5、在矩形ABC中,O是对角线AC的中点,EF是线段AC的中垂线,交AD、BC于E、E.求证:四边形AECF是菱形(20 分) A
考点：菱形的性质。 分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°，得到△ABD 是等边三角形，∠ABD 是 60°； （2）先求出 OB 的长和∠BOE 的度数，再根据 30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出． 解答：解：（1）在菱形 ABCD 中，AB=AD，∠A=60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴∠ABD=60°；（4 分） （2）由（1）可知 BD=AB=4， 又∵O 为 BD 的中点， ∴OB=2（6 分）， 又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°， ∴∠BOE=30°， ∴BE=1．（8 分） 点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握． 2、巩固练习 1.有一组邻边相等的平行四边形是__________. 2.菱形的两条对角线长分别是 8 cm 和 10 cm,则菱形的面积是__________. 3.菱形的两邻角之比为 1：2，边长为 2，则菱形的面积为__________. 4.菱形的面积等于（ ）（20 分） A.对角线乘积 B.一边的平方 C.对角线乘积的一半 D.边长平方的一半 5.下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（ ）（20 分） A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线相等且垂直 D.两条对角线互相垂直平分 6.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ）．（20 分） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 7.如图，四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=120°，AB=6cm，则∠ABD=_____，•∠DAC 的度数为______；对角线 BD=_______， AC=_______；菱形 ABCD 的面积为_______．（20 分） 5、在矩形 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，EF 是线段 AC 的中垂线，交 AD、BC 于 E、F.求证：四边形 AECF 是菱形（20 分） A B C D O