《数学分析》第十九讲 定积分的计算（一）

第七章定积分 第七章定积分 The definite integration 7-1定积分概念与性质 7-2可积性与可积函数类 6-3 Newton- Leibniz公式 7-4定积分的计算方法 7-4-1变量置换法 7-4-2分部积分法 7-4-3计算举例积分 7-5定积分的应用 7-5-1定积分应用的两种思想 7-5-2定积分在几何方面的应用 7-5-3定积分在物理方面的应用 -6广义积分 7-6-1在无穷区间上的广义积分 7-6-2在无穷区间上的广义积分 7-6-3应用 第十九讲定积分的计算 课后作业: 阅读:第七章7.5:pp263-268; 预习:7.6:pp269285;7.7:pp.288—295 练习pp.268-269:习题7.5 习题1,(1),(2),(3),(5),(6); 2,(1),(2),(3),(5),(7); 3,(1),(2); 作业:pp.268-269:习题7.5 习题1,(4),(7),(8),(9),(10); 2,(4),(6),(8),(9),(10); 4;5;6 7-4定积分的计算方法 7-4-1变量置换法 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 第七章 定积分 ( The definite integration ) 7-1 定积分概念与性质 7-2 可积性与可积函数类 6-3 Newton－Leibniz 公式 7-4 定积分的计算方法 7-4-1 变量置换法 7-4-2 分部积分法 7-4-3 计算举例积分 7-5 定积分的应用 7-5-1 定积分应用的两种思想 7-5-2 定积分在几何方面的应用 7-5-3 定积分在物理方面的应用 7-6 广义积分 7-6-1 在无穷区间上的广义积分 7-6-2 在无穷区间上的广义积分 7-6-3 应用 第十九讲 定积分的计算 课后作业： 阅读：第七章 7.5: pp263---268; 预习：7.6: pp269---285; 7.7: pp.288---295 练习 pp.268---269: 习题 7.5 习题 1,(1),(2),(3),(5),(6); 2,(1),(2),(3),(5),(7); 3,(1),(2); 作业: pp.268---269: 习题 7.5 习题 1,(4),(7),(8),(9),(10); 2,(4),(6),(8),(9),(10); 4; 5; 6 7-4 定积分的计算方法 7-4-1 变量置换法

第七章定积分 定理:设∫∈C[A,B](连续),如果函数x=l(0)满足下列条件: (1)()在[a,月上连续可导,且(a,<[ab<[AB; (2)l(a)=a,u(B)=b 则|f(x)dx=f(u()a()dt 由于保证了两边被积函数的连续性,因而直接利用N-L公式即可证 明 定理:设∫∈R[a,b](可积),如果函数x=l(m)满足下列条件 (1)a(1)在[a,月上连续可导,且单调 (2)(a)=a,u(B) Ju f(x)dx=l f(u()u (r)dr 这个证稍麻烦,要把两边化成积分和,对Δx1=l(1)-(1-)用有限增量 公式来证明,有兴趣者可尝试之 例1,证明:若∫∈C0,则x/( f(sin xk 证:令x=丌-1,d xf lsn x lax n)f(sin d 丌/(int)d-「/m) x/(inx)x=「π/int)dt OSx 求 dx d x 例2:若∫∈C[A,B],[a,bc[A,B求极限 f(x+h)-f(x) 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 定理：设 f C[A, B] (连续), 如果函数 x = u(t) 满足下列条件： (1) u(t) 在 [, ] 上连续可导, 且 u([,]) [a,b] [A,B] ; (2) u() = a, u() = b ; 则   =    f x dx f u t u t dt b a ( ) ( ( )) ( ) . 由于保证了两边被积函数的连续性，因而直接利用 N--L 公式即可证 明。 定理：设 f  R[a,b] (可积), 如果函数 x = u(t) 满足下列条件： (1) u(t) 在 [, ] 上连续可导, 且单调 ; (2) u() = a, u() = b ; 则   =    f x dx f u t u t dt b a ( ) ( ( )) ( ) . 这个证稍麻烦，要把两边化成积分和, 对 ( ) ( )  i = i − i−1 x u t u t 用有限增量 公式来证明，有兴趣者可尝试之。 例 1, 证明 : 若 f C[0,1], 则 ( ) ( )      = 0 0 sin 2 xf sin x dx f x dx . 证：令 x =  − t , dx = −dt , ( ) ( ) ( )( )     =  − − 0 0 xf sin x dx t f sin t dt = = ( ) ( )      − 0 0 f sin t dt t f sin t dt  ( ) ( )     =  0 0 2 x f sin x dx f sin t dt . 求: ( )       +  = − +  = + 0 2 0 2 0 2 1 cos cos 1 cos 2 sin 1 cos 2 sin x d x dx x x dx x x x = ( ) 4 cos 2 2 0  =  − = = x x arctg x 例 2: 若 f C[A, B], [a,b]  [A, B] 求极限  + − → b h a dx h f (x h) f (x) lim 0

第七章定积分 f(x+h)-f(x)a女= f(x+h)-f(x)dx ((x+h)-f(x) f(ok f(b+h)-f(a+h))=f(b)-f(a 例3,若函数f(x)是以T为周期的可积周期函数,证明: (2)研究函数F(x)=f()d是否也是周期函数? (1)「f(x)dx=f(x)x+f(x)x+「f(x)d 做变换: +T, f(x)dk=「f(+T)dt=「f(h (x)k=」(x+f(x)+∫f(x)h f(x) 2)F(x)=f()d是否是周期函数,要看 是否成立。而 7)-F(x)=(=(t 结论是:若∫/()h=0,则F(x)是周期函数 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 解：  + − → b h a dx h f (x h) f (x) lim 0 = ( ) ( ) h h b a h h f x h f x dx         + −  → ( ) ( ) lim 0 = ( )        + − →  h b h a lim f (x h) f (x) dx 0 = ( )         + → + h b h h a h lim f (t) dt 0 = lim ( ( ) ( )) ( ) ( ) 0 f b h f a h f b f a h + − + = − → 例 3, 若函数 f (x) 是以 T 为周期的可积周期函数, 证明： (1) a ,   = a+T T a f x dx f x dx 0 ( ) ( ) ; (2) 研究函数  = x F x f t dt 0 ( ) ( ) 是否也是周期函数？ 证明： (1)     + + = + + 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a T a T T a T a f x dx f x dx f x dx f x dx 做变换： x = t +T ,    = + = a+T a a T f x dx f t T dt f t dt 0 0 ( ) ( ) ( ) ;     = − + + a+T a T a a f x dx f x dx f x dx f x dx 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) =  T f x dx 0 ( ) . (2)  = x F x f t dt 0 ( ) ( ) 是否是周期函数，要看 x, F(x +T)− F(x) = 0 是否成立。而 ( )   + − = = x+T T x F x T F x f t dt f t dt 0 ( ) ( ) ( ) . 结论是：若 ( ) 0 0 =  T f t dt , 则 F(x) 是周期函数

第七章定积分 若「f()=≠0,因为d=1, 这样函数g(x)=f(x)-是周期函数,且有 g(xdx=lf( 则G(x)=|g(r)d是周期函数。这样 G(x)=() F(x) F(x)=「f(h=G(x)+x 7-4-2分部积分法 由不定积分的分部积分到定积分的分部积分没有什么特别之处,只 是可随式的推导及时代入积分限即可 (x)(x)=(x)(x)2-J(x)x 对于分部积分的计算同样有三种情形:化简型;循环型及递推型。特别 是递推型用得多。 例4计算xe2dx 解:先求xc2”的原函数令=-1x2,则x=-hm,于是 xe 于是 dx 例5计算e“ sin xdx=e"snx e cos xdx= cos xde= e cos xo -hole e sin xdx 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 若 ( ) 0 0 =   f t dt I T , 因为 dt I T I T =  0 , 这样函数 T I g(x) = f (x) − 是周期函数，且有 ( ) ( ) 0 0 0 0 = − =    dx T I g x dx f x dx T T T ; 则  = x G x g t dt 0 ( ) ( ) 是周期函数。这样： x T I dt F x T I G x f t x  = −      = −  ( ) ( ) ( ) 0 , x T I F x f t dt G x x = = +  ( ) ( ) ( ) 0 . 7-4-2 分部积分法 由不定积分的分部积分到定积分的分部积分没有什么特别之处，只 是可随式的推导及时代入积分限即可:   = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 对于分部积分的计算同样有三种情形：化简型；循环型及递推型。特别 是递推型用得多。 例 4 计算  − 1 0 2 1 2 xe dx x 解: 先求 2 2 1 x xe − 的原函数.令 2 2 1 u = − x ,则 xdx = −du ,于是 xe dx e du e c e c x u u x  = − = − + = − + − − 2 2 2 1 2 1 于是  − 1 0 2 1 2 xe dx x e e x 1 1 1 0 2 1 2 = − = − − 例 5 计算   = −    0 0 0 cos 1 sin 1 sin e xdx a e x a e xdx ax ax ax = =   − = − −    0 2 0 2 0 2 sin 1 cos 1 cos 1 e xdx a e x a xde a ax ax ax

第七章定积分 sin xdx 例6:计算n=|sm"xdr 解:n sin xa cosx n x cOs d x =(n-1)sin"-2xdx-(n-1)sin"xd 0=,l1=1, 可证:I=sn"xdx= xdx= 1g 1g ∫eglg)-∫eg2ndx= z J 2n-1(2n-3 (- (-1)y 例7,台劳公式的积分形式: f(x)-f(a)=f(dt=-r(d(r-t) f()x-)-6+(x-o)f()d fla(x-a)+s(d(r-i) 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 = ( )  − − − −   0 2 2 sin 1 1 1 e xdx a e a a ax 1 1 sin 2 0 + + =  a e e xdx a ax   例 6: 计算  = 2 0 sin  I xdx n n 解:  − = − 2 0 1 sin cos  I xd x n n =  −  + −  − − 2 0 2 2 2 0 1 cos ( 1) sin cos   sin x x n x xdx n n =   − − − − 2 0 2 0 2 ( 1) sin ( 1) sin   n xdx n xdx n n . , 1 2 I 0 = I 1 =  , 2 1 − − n = n I n n I ,. 可证:    − = = = 1 0 2 2 0 2 0 1 sin cos x x dx I xdx xdx n n n n   . ( )   = = − − 4 0 2 2 2 4 0 2 sec 1   J tg xdx tg x dx n n n = ( )   − − − 4 0 2 2 4 0 2 2   tg d tgx tg dx n n = 1 2 1 1 − − − n J n 4 0  J = , 1 2 1 1 − − − n = n J n J ,       − − − − = −2 2 3 1 2 1 1 n n J n n J = ( ) ( )         − − − += n k k n 1 2k 1 1 4 1  例 7, 台劳公式的积分形式: ( )   − =  = −  − x a x a f (x) f (a) f (t)dt f (t)d x t = ( ) ( )  −  − + −  = = x a t x t a f (t) x t x t f (t)dt = ( ) ( )   − −  − + x a f a x a f t d x t 2 ( ) 2! 1 ( )