1:若方程y+p(x)y=0的一个特解为y=cos2x,则该方程满足初值条件y(0)=2的 特解为() A. cos2x+2 B. cos2x+1 C. 2 cos.x D.2 cos2x 答案D 解:将y=cos2x代入方程求出函数p(x)再求解方程得到正确答案为D也可以作 如下分析一阶线性齐次方程 y+p(x)y=0任意两个解只差一个常数因子,所以AB,C三个选项都不是该方程的解 2:微分方程2+2y=1的通解是() A.+c1cos2x+c2sin√2x 1 B C.+C2 sinv2x D. cev2x ++C2e-2x 答案A 解:直接看出y=是方程的一个特解.c1cos√2xc2sin2x是相应的齐次方程 的通解因此应当选A. 3:设二阶线性齐次常系数微分方程y"+by+y=0的每一个解y(x)在区间 0<x<+∞有界则实数b的取值范围是() A.b≥0 B.b≤0 C.b≤4D.b≥4 答案A 解:考察任意一个二阶线性齐次常系数微分方程y"+py+qy=0.欲使该方程的每一个 解都有界,充分必要条件是该方程的特征根 21,-pp2-4q 2 的实部小于或者等于零 对于方程y+by+y=0,特征根为 21,=-b±√b2-4 2 当且仅当b≥0时,两个特征根12的实部都小于或者等于零于是答案为A
1: 若方程 y + p(x)y = 0 的一个特解为 y = cos2x ,则该方程满足初值条件 y(0) = 2 的 特解为( ) A. cos2x + 2 B. cos2x +1 C. 2cos x D. 2cos2x 答案 D 解: 将 y = cos2x 代入方程求出函数 p(x),再求解方程得到正确答案为 D . 也可以作 如下分析:一阶线性齐次方程 y + p(x)y = 0 任意两个解只差一个常数因子,所以 A, B,C 三个选项都不是该方程的解. 2: 微分方程 2 1 2 2 + y = dx d y 的通解是( ) A c cos 2 x c sin 2 x 2 1 . + 1 + 2 x x B c e c e 2 2 2 1 2 1 . − + + + C. c cos 2 x c sin 2 x 1 + 2 x x D c e c e 2 2 2 1 . − + + 答案 A 解: 直接看出 2 1 y* = 是方程的一个特解. c cos 2 x c sin 2 x 1 + 2 是相应的齐次方程 的通解,因此应当选 A . 3: 设二阶线性 齐次 常系数 微分 方程 y + by + y = 0 的每一 个解 y(x) 在区间 0 x + 有界,则实数 b 的取值范围是( ) A.b 0 B. b 0 C.b 4 D. b 4 答案 A 解: 考察任意一个二阶线性齐次常系数微分方程 y + py + qy = 0 .欲使该方程的每一个 解都有界,充分必要条件是:该方程的特征根 2 4 2 1,2 − p p − q = 的实部小于或者等于零. 对于方程 y + by + y = 0,特征根为 2 4 2 1,2 − − = b b 当且仅当 b 0 时,两个特征根 1,2 的实部都小于或者等于零.于是答案为 A
微分方程y”+2y-3y=ex+x的一个特解是( a ae +bxtc B axe+bx+c C axe+x(bx+c) D ae+x(bx +c) 谷案B 解微分方程y"+2y-3y=e-x+x的特解等于下列两个微分方程 y+2y-3y=e,y"+2y-3y=x 的特解之和 根据有关的原理,非齐次微分方程y”+2y-3y=e具有形如axex的特解;非齐 次微分方程y”+2y-3y=x具有形如bx+c的特解因此非齐次微分方程 y"+2y-3y=e-+x具有形如axe+bx+c的特解于是应当选B 5设y1(x),y2(x)是二阶线性齐次微分方程y”+p(x)y+g(x)y=0的两个特解 问能够由y1(x),y2(x)的线性组合构成该方程的通解的充分必要条件为 A.y1(x)y2(x)-y2(x)y(x)=0B.y1(x)y2(x)-y2(x)y1(x)≠0 C.y1(x)·y2(x)+y2(x).y(x)=0D.y1(x):y2(x)+y2(x)y(x)≠0 谷案B 解题思路考虑y1(x),y2(x)的朗斯基行列式 解法1作为二阶线性齐次微分方程两个解,y1(x),y2(x)的线性组能否构成该方程的 通解,充分必要条件是这两个函数线性无关;另一方面这两个函数线性无关的充分必要条件 是它们的朗斯基行列式 1(x)y2(x yI(x)y2(x) 恒等于零(也等价于朗斯基行列式至少在一点等于零)这就是选项B 解法2如果有的读者不熟悉朗斯基行列式可以按照下述方法直接考察y1(x),y2(x) 是否线性无关,即是否存在常数C,使得 y2(x) C y1(x) 如果y1(x),y2(x)线性相关则存在常数C使得
4: 微分方程 y y y e x x + − = + − 2 3 的一个特解是( ) A ae bx c x + + − . B axe bx c x + + − . C axe x(bx c) x + + − D. ae x(bx c) x + + 答案 B 解: 微分方程 y y y e x x + − = + − 2 3 的特解等于下列两个微分方程: x y y y e − + 2 − 3 = , y + 2y − 3y = x 的特解之和. 根据有关的原理, 非齐次微分方程 x y y y e − + 2 − 3 = 具有形如 x axe − 的特解; 非齐 次微分方程 y + 2y − 3y = x 具有形如 bx + c 的特解 . 因 此 非 齐 次 微 分 方 程 y y y e x x + − = + − 2 3 具有形如 axe bx c x + + − 的特解.于是应当选 B . 5 设 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 是二阶线性齐次微分方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个特解. 问能够由 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的线性组合构成该方程的通解的充分必要条件为: A. y1 (x) y2 (x) − y2 (x) y1 (x) = 0 B. y1 (x) y2 (x) − y2 (x) y1 (x) 0 C. y1 (x) y2 (x) + y2 (x) y1 (x) = 0 D. y1 (x) y2 (x) + y2 (x) y1 (x) 0 答案 B 解题思路: 考虑 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的朗斯基行列式. 解法 1 作为二阶线性齐次微分方程两个解, ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的线性组能否构成该方程的 通解,充分必要条件是这两个函数线性无关;另一方面,这两个函数线性无关的充分必要条件 是它们的朗斯基行列式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 y x y x y x y x 恒等于零(也等价于朗斯基行列式至少在一点等于零).这就是选项 B . 解法 2 如果有的读者不熟悉朗斯基行列式,可以按照下述方法直接考察 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 是否线性无关,即是否存在常数 c ,使得 c y x y x ( ) ( ) 1 2 . 如果 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 线性相关,则存在常数 c 使得
y2(x) y1(x) (因为是齐次方程所以y和-y1都是方程的解因此如有必要,可以改变y1(x)的符号,使 0)即 In y2(x)=In y,(x)+Inc 两端求导数得到 y2(x)y1(x) 这与B冲突所以条件B能推出y1(x),y2(x)线性无关因而是问题的充分条件 反之若y1(x),12(x)线性无关上2(≠C,即1ny2(x)+mn(x)+nC求导数 y1(x) 得到 y2(x)y1(x) y2(x)y1( 由此立即得到B因此也是y1(x),y2(x)线性无关的必要条件 6验证y1=x与y2=sinx是二阶微分方程(y)2-y”=1的两个解问由 y1(x),y2(x)的线性组合能否构成该方程的通解? 解:不能!虽然两个解y1=x与y2=sinx线性无关但是由于这个方程不是线性方程, 所以y1(x),y2(x)的线性组合不能构成该方程的通解 7:(91209)求微分方程y”+y=x+cosx的通解 解题思路:在用比较系数法求该方程的特解时,注意此方程右端是两个函数x和coSx之 和所以需要分别求出方程y+y=x的特解y1和y"+y=cosx的特解y2.然后得到原 方程的一个特解y=y+y2 首先求出对应的齐次方程的通解y=c1cosx+C2Snx 然后用比较系数法求非齐次方程y”+y=x的特解y1因为0不是特征根所以该方程 具有形如y=Ax+B的特解,将其代入方程求出A=1,B=0,y1=x
c y x y x ( ) ( ) 1 2 (因为是齐次方程,所以 1 1 y 和− y 都是方程的解.因此如有必要,可以改变 ( ) 1 y x 的符号,使 c 0 )即 ln y (x) ln y (x) ln c 2 = 1 + 两端求导数得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 y x y x y x y x = (*) 这与 B 冲突.所以条件 B 能推出 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 线性无关,因而是问题的充分条件 反之若 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 线性无关,则 c y x y x ( ) ( ) 1 2 ,即 ln y (x) ln y (x) lnc 2 1 + 求导数 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 y x y x y x y x 由此立即得到 B .因此也是 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 线性无关的必要条件. 6: 验 证 y = x 1 与 y sin x 2 = 是 二阶微分方程 ( ) 1 2 y − yy = 的两个解 . 问 由 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的线性组合能否构成该方程的通解? 解: 不能!虽然两个解 y = x 1 与 y sin x 2 = 线性无关,但是由于这个方程不是线性方程, 所以 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的线性组合不能构成该方程的通解. 7 : (91209) 求微分方程 y + y = x + cos x 的通解. 解题思路: 在用比较系数法求该方程的特解时,注意此方程右端是两个函数 x 和 cos x 之 和,所以需要分别求出方程 y + y = x 的特解 1 y 和 y + y = cos x 的特解 2 y . 然后得到原 方程的一个特解 * 1 2 y = y + y . 解: 首先求出对应的齐次方程的通解: y c cos x c sin x = 1 + 2 . 然后用比较系数法求非齐次方程 y + y = x 的特解 1 y . 因为 0 不是特征根,所以该方程 具有形如 y1 = Ax + B 的特解,将其代入方程求出 A = B = y = x 1 1, 0,
再用比较系数法求非齐次方程y”+y=c0sx的特解y2由于纯虚数i是特征根所以该 方程具有形如y2= Ax cos x+ Bx sin x的特解将其代入方程求出A=0,B=,所以 V2=siNx 因此原方程的一个特解为y,=H=y2=x+2xsx,原方程的通解是 V=C coSx+C, sinxtxt sIn x 8:(97205)设y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xe2+e2x+e-x是某个二阶 线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程 解题思路:设所求方程为y”+py+qy=∫(x).先求p,q,即确定齐次微分方程 y"+py+qy=0.由题目所给的非齐次微分方程的三个解可以求出齐次微分方程 y"+py3+qy=0的两个解进而确定P,q.然后求f(x) 解:题目所给的非齐次微分方程的三个解求出齐次方程的两个解 y3-y1=e,y3-y2=e 于是特征方程2+p+q=0两个根为A1=-1,l2=2,由此确定p=-1,q=-2.于 是所求方程为y-y-2y=f(x)将非齐次微分方程的解y1=xe+e代入方程(用 y2,y3代入亦可得f(x)=ex-2xe 9:已知二阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个特解为 y1=x,y2=ex,y3=e2x,试求方程满足初值条件y(0)=1,y()=3的特解 解题思路:根据线性微分方程解的理论,非齐次微分方程 y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的通解可以表示为 非齐次方程通解齐次方程通解+非齐次方程特解 题目已经给出非齐次方程的特解,剩下的问题是求出齐次微分方程 y"+p(x)y+q(x)y=0的两个线性无关解以构成齐次方程的通解
再用比较系数法求非齐次方程 y + y = cos x 的特解 2 y .由于纯虚数 i 是特征根,所以该 方程具有形如 y Ax cos x Bx sin x 2 = + 的特解,将其代入方程求出 2 1 A = 0, B = ,所以 y x sin x 2 1 2 = . 因此原方程的一个特解为 y y y x x sin x 2 1 * = 1 = 2 = + ,原方程的通解是 y c cos x c sin x = 1 + 2 x x sin x 2 1 + + 8: (97205) 设 x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e − − = + = + = + + 2 2 3 2 1 , , 是某个二阶 线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程. 解题思路: 设所求方程为 y + py + qy = f (x) .先求 p, q ,即确定齐次微分方程 y + py + qy = 0 ..由题目所给的非齐次微分方程的三个解可以求出齐次微分方程 y + py + qy = 0 的两个解,进而确定 p, q . 然后求 f (x). 解: 题目所给的非齐次微分方程的三个解求出齐次方程的两个解: x x y y e y y e 2 3 1 3 2 − = , − = − 于是特征方程 0 2 + p + q = 两个根为 1 = −1, 2 = 2 ,由此确定 p = −1, q = −2 .于 是所求方程为 y − y − 2y = f (x).将非齐次微分方程的解 x x y xe e 2 1 = + 代入方程(用 2 3 y , y 代入亦可)得 x f (x) = e x − 2xe . 9: 已知二阶线性非齐次微分方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的三个特解为 x x y x y e y e 2 1 2 3 = , = , = ,试求方程满足初值条件 y(0) =1, y (0) = 3 的特解. 解题思路 : 根据线性微分方程解的理论 , 非 齐 次 微 分 方 程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的通解可以表示为 非齐次方程通解=齐次方程通解+非齐次方程特解 题 目 已 经 给 出 非 齐 次 方 程 的 特 解 , 剩 下 的 问 题 是 求 出 齐 次 微 分 方 程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关解,以构成齐次方程的通解
解根据线性微分方程解的理论,非齐次微分方程y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的任 意两个解之差是齐次微分方程y”+p(x)y+q(x)y=0的解因此立即得到齐次微分方程 的两个解:e-x,已X-x,可以验证这两个解线性无关解,于是齐次微分方程的通解是 非齐次微分方程的通解是 y=x+c1(e2-x)+c2(e-x) 利用初值条件y(0)=1,y(0)=3可以求出C1=-1,c2=2.于是所求特解为 yo 2 10(94109)设全微分方程[x(x+y)-f(x)ydx+[x2y+f(x)kh=0,其中 f(x)有二阶连续导数且f(O)=0,f(0)=1.求f(x)以及全微分方程的通解 解题思路:这是一到综合题,其中涉及到全微分和二阶线性常系数方程如果 aP a0 P(x,y)dx+Q(x,y)dhy是某个二元函数l(x,y)的全微分,那么必有 由这个条 ax 件可以推出f(x)满足的微分方程然后利用题目给出的初值条件求解微分方程得到f(x) M: P(x, y)=xy(x+y)-f(x)y, @(x,y)=x y+f(x) aP 由于P(x,y)dx+Q(x,y)a是某个二元函数l(x,y)的全微分,所以 即有 c[xy(x+y)-f(x)y]=2[x2y+f'(x)] 由此f(x)满足的微分方程 f"(x)+f(x)=x2 齐次方程f∫"(x)+f(x)=0的通解为y=c1COSx+c2sinx又用比较系数法求的非齐次 方程的一个特解y0=x2-2因此方程∫(x)+f(x)=x2的通解是 y=cIcosx+C2 Sinx+x-2 利用题目给出的初值条件f(0)=0,f(0)=1可以得到C1=2,C2=1于是
解: 根据线性微分方程解的理论, 非齐次微分方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的任 意两个解之差是齐次微分方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解.因此立即得到齐次微分方程 的两个解: e x e x x x − − 2 , ,可以验证这两个解线性无关解,于是齐次微分方程的通解是 ( ) ( ) 2 1 2 y c e x c e x x x = − + − 非齐次微分方程的通解是 ( ) ( ) 2 1 2 y x c e x c e x x x = + − + − 利用初值条件 y(0) =1, y (0) = 3 可以求出 c1 = −1, c2 = 2 .于是所求特解为 x x y = e − e 2 0 2 10: (94109) 设 全 微 分 方程 [xy(x y) f (x)y]dx [x y f (x)]dy 2 + − + + = 0 , 其 中 f (x) 有二阶连续导数且 f (0) = 0, f (0) =1.求 f (x) 以及全微分方程的通解. 解题 思路 : 这是一到 综合 题, 其中 涉及 到全 微分 和二阶 线性 常系 数方 程. 如果 P(x, y)dx + Q(x, y)dy 是某个二元函数 u(x, y) 的全微分,那么必有 x Q y P = .由这个条 件可以推出 f (x) 满足的微分方程,然后利用题目给出的初值条件求解微分方程,得到 f (x) . 解: ( , ) ( ) ( ) , ( , ) ( ) 2 P x y = xy x + y − f x y Q x y = x y + f x . 由于 P(x, y)dx + Q(x, y)dy 是某个二元函数 u(x, y) 的全微分,所以 x Q y P = ,即有 [ ( ) ( ) ] [ ( )] 2 x y f x x xy x y f x y y + + − = 由此 f (x) 满足的微分方程: 2 f (x) + f (x) = x 齐次方程 f (x) + f (x) = 0 的通解为 y c cos x c sin x = 1 + 2 .又用比较系数法求的非齐次 方程的一个特解 2 2 y0 = x − .因此方程 2 f (x) + f (x) = x 的通解是 y c cos x c sin x = 1 + 2 2 2 + x − 利用题目给出的初值条件 f (0) = 0, f (0) =1 可以得到 c1 = 2 , c2 =1.于是