《数学分析》第十九讲 定积分的应用（二）

第七章定积分 第七章定积分 (The definite integration 7-1定积分概念与性质 7-2可积性与可积函数类 6-3 Newton- Leibniz公式 7-4定积分的计算方法 7-5定积分的应用 7-5-1定积分应用的两种思想 7-5-2定积分在几何方面的应用 7-5-3定积分在物理方面的应用 7-6广义积分 7-6-1在无穷区间上的广义积分 7-6-2在无穷区间上的广义积分 7-6-3应用 第十九讲定积分的应用 课后作业: 阅读:第七章7.6:pp269-285;77:pp.288-295 预习:78:pp.296--310 练习p.286-287:习题7.6 全部复习题,习题1,(1)、(2);2,、(1);3(1)2);4:6; 7(1),(2):8;9(1);10.1)2(2);1l(1) pp.295--296:习题7.7 1;2(1);3;5;7 作业:pp286--287:习题76 习题1,(3),(4)(5);2,(2),(3),(4);3;5;7(3) 9(2);10(3);11(2);12 pp295-296:习题77 习题2(2);4;6;9 75定积分的应用 7-5-1定积分应用的两种思想 定积分问题的持征 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 第七章 定积分 ( The definite integration ) 7-1 定积分概念与性质 7-2 可积性与可积函数类 6-3 Newton－Leibniz 公式 7-4 定积分的计算方法 7-5 定积分的应用 7-5-1 定积分应用的两种思想 7-5-2 定积分在几何方面的应用 7-5-3 定积分在物理方面的应用 7-6 广义积分 7-6-1 在无穷区间上的广义积分 7-6-2 在无穷区间上的广义积分 7-6-3 应用 第十九讲 定积分的应用 课后作业： 阅读：第七章 7.6: pp269---285; 7.7: pp.288---295 预习：7.8: pp. 296---310 练习 pp.286---287: 习题 7.6 全部复习题，习题 1,(1),(2); 2,(1); 3,(1),(2);4;6; 7(1),(2);8;9(1);10,(1),(2);11(1) pp.295---296: 习题 7.7 1; 2(1);3; 5; 7 作业: pp.286---287: 习题 7.6 习题 1, (3),(4),(5); 2, (2),(3),(4); 3; 5;7(3) 9(2); 10(3);11(2);12 pp.295---296: 习题 7.7 习题 2(2); 4; 6; 9 7-5 定积分的应用 7-5-1 定积分应用的两种思想 ⚫ 定积分问题的持征：

第七章定积分 定积分量F是区间I的函数:F(),具有对区间的可加性 即,若l1和l2内部之交为空集,则有 F(1∪1)=F(1)+F(l) 解决定积分问题的两种思路: 元素相加法:利用定积分定义一个量 (1)分小取近似:M≈f(Ax (2)求和取极限 =m∑f()Ax=f(x) 微元分析法:通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 (1)分小取微分:M≈d=f(x)k (2)积分求增量:=「f(x)x=F(b)-F(a) 7-5-2定积分在几何方面的应用 求平面图形的面积 1)平面图形的面积是什么 看作己知面积的图形对该图形“度量”的结果。可称之为“测度”。 设欲度量的图形为G,通常做法是用两种多边形P和Q,其面积分别为 Sp,S,使得: PCGCO:取S,=Sp(S),S=(S) 如果有S,=S=S,显然可认为图形G的面积是S 2)各种坐标系下的计算公式? 在直角坐标系下: 可x △S≈f(x)-g(x)Ax S=[(x)-g(x)k, 其中,b≥a 在参数方程表示下: d xi kr+4x b 0 x=x y=yo p() S=CI(x()-g(x()x(dr AS 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 定积分量 F 是区间 I 的函数: F(I) ，具有对区间的可加性: 即，若 1 I 和 2 I 内部之交为空集, 则有 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 F I I = F I + F I 。 ⚫ 解决定积分问题的两种思路： 元素相加法： 利用定积分定义一个量。 (1) 分小取近似: ( )i i I  f  x ; (2) 求和取极限:   =  = = → b a n i I lim f ( i ) xi f (x)dx 1 0   微元分析法: 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 (1) 分小取微分: I  dI = f (x)dx ; (2) 积分求增量: I f (x)dx F(b) F(a) b a = = −  . 7-5-2 定积分在几何方面的应用 ⚫ 求平面图形的面积： 1)平面图形的面积是什么？ 看作己知面积的图形对该图形“度量”的结果。可称之为“测度”。 设欲度量的图形为 G ，通常做法是用两种多边形 P 和 Q , 其面积分别为 : S P SQ , , 使得 : P  G  Q : 取 ( ) P P S* = Sup S , ( ) Q Q S = Inf S * . 如果有 S = S = S * * , 显然可认为图形 G 的面积是 S . 2)各种坐标系下的计算公式？ 在直角坐标系下： S  f (x) − g(x)x ; S f x g x dx b a = ( ) − ( ) , 其中， b  a 在参数方程表示下： ( )  ( )   = = y y t x x t , S = f x t g x t x (t)dt t t −   2 1 ( ( )) ( ( )) y y=f(x) ΔS y=g(x) a x x+Δx b 0 x  = () ρ+dρ ΔS φ ρ

第七章定积分 在极坐标系下: △S≈p2()△p;a≤φ≤B ( 例1:双曲线,x2-y2=a2 求双曲线弧 MNM'OM 所围图形的面积 xdx x√x2-a2-「 x-a +a d x x d x S22-y-2-)--(=) 所求面积S=xy-S1=a2h+y 进一步:S=xy-S1=a2hnx+y→x+y=ae 由x ae x= a 解出 x= c2=a2-b2,椭圆渐屈线所围面积 S=4 In t coS tsIn t d t sint(l-cos 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 在极坐标系下：    ( ) 2 2 1 S ;       ( )    S d  = 2 2 1 3)例 1 : 双曲线, 2 2 2 x − y = a , 求双曲线弧 MNM’0M 所围图形的面积。  = − x a S x a dx 2 2 1 2  − = − − = x a x x a x a x dx x x a 2 2 2 2 2  − − + = − − x a dx x a x a a x x a 2 2 2 2 2 2 2   − = − − − x a x a dx x a a x y x a dx 2 2 2 2 2  = − x a S x a dx 2 2 1 2         + − = − a x x a x y a 2 2 2 ln       + = − a x y x y a ln 2 所求面积 a x y S xy S a + = − = ln 2 1 进一步： a x y S xy S a + = − = ln 2 1  2 a S x + y = a e , 由 2 2 2 x − y = a  2 a S x y a e − − = ; 解出：                = − =        = + =  − − 2 2 2 2 2 2 2 2 a S a sh e e y a a S a ch e e x a a S a S a S a S 例 2:        = = t b c y t a c x 3 2 3 2 sin cos , 2 2 2 c = a − b , 椭圆渐屈线所围面积。 ( )   =  = − 2 0 2 0 4 2 4 2 2 3 2 sin 1 cos 12 cos sin 3 4 sin   t t dt ab c t t dt a c t b c S y M 0 N x a x

第七章定积分 12c4(31x5·3·1x 3Tc b(4.226.4.2 8ab 例3,求叶形线x3+y3=3axy在第一象限中的面积 basin 化成极坐标。 0≤≤x y=psin sin t cos p sn +cos p 设t=gq,利用广义积分可得: s:9a2 tdt 9a2 求曲线的弧长: 曲线的长度是什么? 非封闭曲线的弧长可作为其内折线长,在子弧最大直径趋于零时的极限 2,各种坐标系下的计算公式? 在直角坐标系下: △=(△x)2+(4y) L dx 在参数方程表示下: (t)2+(dy) p() L=vEx )+(2 )'dr t1≤t≤t2 在极坐标系下: M≈V(a△)+(△)2 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 = ab c ab c 8 3 6 4 2 2 5 3 1 4 2 2 12 3 1 4 4     =            −    例 3, 求叶形线 x y 3axy 3 3 + = 在第一象限中的面积。 化成极坐标。    = =     sin cos y x , 2 , 0 sin cos 3 sin cos 3 3          + = a . S =           + = 2 0 2 3 3 2 0 2 sin cos 3 sin cos 2 1 2 1          d a d 设 t = tg , 利用广义积分可得： S = ( ) ( ) 2 3 31 1 lim 2 9 2 1 9 2 0 3 2 0 2 3 2 2 a t a t a t dt b b = + − = + →= +  ⚫ 求曲线的弧长： 1, 曲线的长度是什么？ 非封闭曲线的弧长可作为其内折线长, 在子弧最大直径趋于零时的极限。 2, 各种坐标系下的计算公式？ 在直角坐标系下： ( ) ( ) 2 2 l  x + y ; x x y          = + 2 1 dx dx dy L b a       = + 2 1 在参数方程表示下： ( )  ( )   = = y y t x x t , ( ) ( )  = + b a L dx dy 2 2 ( ) ( )  =  +  2 1 2 2 t t L xt xt dt 1 2 t  t  t 在极坐标系下： ( ) ( ) 2 2 l   +  ;  = () ρ+dρ ΔS φ ρ

第七章定积分 L=CV(0)+(n(o)d,a≤≤B e+e 例1,悬链线y=ach 的弧长 2 ∠=+-==a 例2,星形线 的弧长 y=asn t L=∫√ah)+()=43 asin t costar=60 例3,蜗线p= a cos+b的弧长 (0)+(p()=a2+2 ab cos o+b2=(a+b)|1 L=CV(0)+(()d=+ 4ab =2(a+b) 11- 4ab sin2t dt=2(a+bE 2√abp a+b 例3,椭圆 1的弧长 x= a cost a-+ 用参数方程 y=bsn t √(x)+(x)2=√a2cos21+b2sm2t=a小-a2smnt L=4a√1-E2sm2td=4E|, 求特殊图形的体积 若体积的截面积函数己知A=A(x),则 例,两个半径为的园柱体,其轴垂直相交 求相交部分之体积 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分  () ( ())    L d  = +  2 2 ,      3)例: 例 1, 悬链线 2 a x a x e e a a x y a ch − + = = 的弧长. ( )        =       =      = +  =   a x a sh a x dx a sh a x L y x dx ch x x x 0 0 0 2 1 ( ) . 例 2, 星形线     = = y a t x a t 3 3 sin cos 的弧长. ( ) ( )  = + b a L dx dy 2 2 =  = 2 0 4 3 sin cos 6  a t tdt a 例 3, 蜗线  = a cos + b 的弧长. ( ) ( ( )) ( ) ( )         + +  = + + = + − 2 sin 4 2 cos 1 2 2 2 2 2 2 2       a b ab a ab b a b  () ( ())    L d  = +  2 2 = ( ) ( )  + + −    0 2 2 2 sin 4 1 d a b ab a b = ( ) ( ) ( )         + = + + + −  2 , 2 sin 2 4 2 1 2 0 2 2   a b ab t dt a b E a b ab a b 例 3, 椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的弧长. 用参数方程    = = y b t x a t sin cos , a a b 2 2 +  = (x ) (x ) a t b t a t t t 2 2 2 2 2 2 2 2  +  = cos + sin = 1− sin       = − =  2 4 1 sin 4 , 2 0 2 2     L a t dt aE ⚫ 求特殊图形的体积: 若体积的截面积函数己知 A = A(x), 则  = b a V A(x)dx . 例，两个半径为的园柱体，其轴垂直相交， 求相交部分之体积。 X r