《数学分析》第十八讲 Newton－Leibniz 公式与定积分的计算

第七章定积分 第七章定积分 (The definite integration 7-1定积分概念与性质 72可积性与可积函数类 63 Newton- Leibniz公式 7-3-1变上限定积分 7-3-2N-L公式 7-4定积分的计算方法 7-4-1变量置换法 7-4-2分部积分法 7-4-3计算举例积分 7-5定积分的应用 7-5-1定积分应用的两种思想 7-5-2定积分在几何方面的应用 7-5-3定积分在物理方面的应用 7-6广义积分 7-6-1在无穷区间上的广义积分 7-6-2在无穷区间上的广义积分 7-6-3应用 第十八讲 Newton- Leibniz公式与定积分的计算 课后作业 阅读:第七章74:256--262;7.5:pp263--268; 预习:7.6:pp269--285:7.7:pp.288--295 练习pp.262--263:习题74 复习题全部习题1,(1),(2);2,(1);3,单数题号 5(1),(2) pp268-269:习题75 习题1,(1)2),(3)(5),(62,(1),(2)(3)(5)(7); 3,(1)(2); 作业pp.262--263:习题74 习题1,(3),(4);2,(2);3,双数题号;5,(3),(4) pp268--269:习题75 习题1,(4),(7),(8)9)(10);2,(4)(6)(8)(9)(10); 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 第七章 定积分 ( The definite integration ) 7-1 定积分概念与性质 7-2 可积性与可积函数类 6-3 Newton－Leibniz 公式 7-3-1 变上限定积分 7-3-2 N－L 公式 7-4 定积分的计算方法 7-4-1 变量置换法 7-4-2 分部积分法 7-4-3 计算举例积分 7-5 定积分的应用 7-5-1 定积分应用的两种思想 7-5-2 定积分在几何方面的应用 7-5-3 定积分在物理方面的应用 7-6 广义积分 7-6-1 在无穷区间上的广义积分 7-6-2 在无穷区间上的广义积分 7-6-3 应用 第十八讲 Newton－Leibniz 公式与定积分的计算 课后作业： 阅读：第七章 7.4: 256---262; 7.5: pp263---268; 预习：7.6: pp269---285; 7.7: pp.288---295 练习 pp.262---263: 习题 7.4 复习题全部 习题 1,(1), (2); 2,(1); 3, 单数题号 ; 5,(1),(2) pp.268---269: 习题 7.5 习题 1,(1),(2),(3),(5),(6); 2,(1),(2),(3),(5),(7); 3,(1),(2); 作业 pp.262---263: 习题 7.4 习题 1,(3), (4); 2,(2); 3, 双数题号 ; 5,(3),(4) pp.268---269: 习题 7.5 习题 1,(4),(7),(8),(9),(10); 2,(4),(6),(8),(9),(10);

第七章定积分 4;5;6 6-3牛顿( Newton)莱布尼兹( Leibnitz)公式 7-3-1变上限定积分 变上限积分 设f∈R[a ab],F(x)=f()d是定义在[ab]上 的一个函数,称之为变上限积分 这里有一个十分重要的结果:变上限积分总是连续函数。 定理若f∈ab]→F(x)=f 证明:∫∈R[a,b]→∫在[a,b]上有界,设界为A, la,b], AF(x)=f(dt-If(r)dt AF(x)=J(dr s 进一步,若加强条件,则有另一个重要结论 定理:设∫∈Cab则F(x)=「f(h,(a≤x≤b)可导,且: [a,b],F'(x)=f(x) 这样F(x)=()在区间b上是f(x)的一个原函数 证明:x∈(a,b),有 F'(x=lim F(+Ax)-F(x) △x f(o)dr-5(x)dx] f() 因∫(x)在[x,x+Δx]连续,由积分中值定理,存在ξ∈[x,x+△x],使 ()Ax,5在x和x+△x之间 F(x lm f()=f(x) 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 4; 5; 6 6-3 牛顿(Newton)－莱布尼兹(Leibnitz)公式 7-3-1 变上限定积分 一 变上限积分 设 f  R[a, b],  x [a, b] ,  = x a F(x) f (t)dt 是定义在 [a, b] 上 的一个函数, 称之为变上限积分. 这里有一个十分重要的结果：变上限积分总是连续函数。 定理: 若 f  R[a, b] F(x) f (t)dt C[a,b] x a  =   。 证明： f  R[a, b]  f 在 [a,b] 上有界，设界为 A ,      = − + x a x x a x [a,b], F(x) f (t)dt f (t)dt , ( ) ( ) 0  =  =  ⎯⎯→⎯0→ + +   x x x x x x x F x f t dt A dt A x . 进一步，若加强条件，则有另一个重要结论。 定理: 设 f C[a, b],则  = x a F(x) f (t)dt , ( a  x  b )可导，且:  x [a,b], F(x) = f (x) ； 这样  = x a F(x) f (t)dt 在区间 [a,b] 上是 f (x) 的一个原函数. 证明:  x (a, b), 有 x F x x F x F x x  +  −  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 = = [ ( ) ( ) ] 1 lim 0   −  +  → x a x x x a f t dt f x dx x  +  →  = x x x x f t dt x ( ) 1 lim 0 因 f (x) 在 [x, x + x] 连续,由积分中值定理, 存在  [x, x + x] ,使 f t dt f x x x x =   + ( ) () ,  在 x 和 x + x 之间, F(x) = 0 lim x→ f t dt f x x x x x =    + ( ) ( ) 1  lim ( ) ( ) 0 f f x x = =  → 

第七章定积分 当x为a,b时,可以。分别用右、左导数定义类似地证明 显然地,有以下结果:若f∈CIa,b],x∈[a,b] f(dt=f(x) f(odt =f(x)d on)=-(.d10)=-(x)h /(dr)=f( ) u(). d(o' r(od =5(du(e) (x)f(ndt v(x) f(t)=f()(x)-f()y(x) tdt 例1:求极限lin 解:由洛比塔法则 lin x→0 1 (o tdn)21业 In x.coSx 3x0(x2)6 COS x =lim ∫rcoy1 cos(sin x 7-3-2N-L公式 定理:(牛顿一莱布尼茨公式)设∫∈Ca,b,G(x)是f(x) 在[a,b]上的一个原函数,则有 f(x)dx=G(b)-G(a 证明:因f∈C[ab],则变上限积分F(x)=「f()在区间[ab 上是f(x)的一个原函数,并且按照F(x)的定义有 f(xdx= F(b)-Fla) 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 当 x 为 a, b 时,可以。分别用右、左导数定义类似地证明。 显然地，有以下结果：若 f C[a, b], x [a,b], ⚫ f (t)dt f (x) x a =         , d f t dt f x dx x a ( )  = ( )       ⚫ f (t)dt f (x) b x = −         , d f t dt f x dx b x ( )  = − ( )       ⚫ f t dt f u u (x) u x a =          ( ) ( ) ( ) , d f t dt f u du(x) u x a ( ) ( ) ( )  =        ⚫        = +           ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x a a v x u x v x f t dt f t dt f t dt =        −   ( ) ( ) ( ) ( ) u x a v x a f t dt f t dt = f (u)u (x)− f (v)v (x) 例 1: 求极限 3 0 0 sin 0 lim x tdt dy x y x         → 解:由洛比塔法则, 3 0 0 sin 0 lim x tdt dy x y x         → = ( )                 → 3 0 0 sin 0 lim x tdt dy x y x 6 sin cos 1 6 1 ( ) ( ) lim 3 1 3 lim 2 0 sin 0 2 0 sin 0 =  =   = =   → → x x x x tdt x tdt x x x x x x x tdtdy x x x x x cos(sin ) lim 6 1 ( ) ( cos ) lim 3 cos lim 0 2 0 sin →0 →0 → =   =  7-3-2 N－L 公式 定理 : ( 牛顿—莱布尼茨公式) 设 f C[a,b], G(x) 是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数, 则有 f (x)dx G(b) G(a) b a  = − . 证明：因 f C[a, b], 则变上限积分  = x a F(x) f (t)dt 在区间 [a,b] 上是 f (x) 的一个原函数, 并且按照 F(x) 的定义有 f (x)dx F(b) F(a) b a  = −

第七章定积分 今G(x)是f(x)在[a,6上另一个原函数,则存在常数c,使得 F(x)≡G(x)+c 再利用条件F(a)=「f(t=0,确定常数c F(a=G(a)+c=0=c=-G(a 于是,F(x)=G(x)-G(a) SS()dx= F()-F(a)=G(b)-G(a 写成 f(x)dx=G(b)-G(a)=G(x) 这就是 Newton-- Leibniz公式,又称微积分基本公式 牛顿一莱布尼茨公式又可以写成 「dF(x)=F(b)-F(a) 这个公式是由牛顿和莱布尼茨独立完成的,所以称之为牛顿一莱布 尼茨公式.这个公式把计算定积分与求原函数,这两个看来不太有关的 问题联系在一起,从而给出了计算定积分的一个有效的方法。这是数学 历史发展中的重大发现。G(b)-G(a)=F(b)-F(a),因此对于∫(x) 在[a,b]上的任何一个原函数都有 牛顿一莱布尼茨公式又可以写成 ∫dF(x)=F(b)-F(a) 例2:计算定积分 解:因为√1+x2在区间[,是被积函数 一个原函数,根 据牛顿一莱布尼茨公式得到 dx=√l+x2=√ l+0 最好与不定积分求原函数结合起来 x 02√1+x 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 今 G(x) 是 f (x) 在 [a, b] 上另一个原函数, 则存在常数 c ,使得 F(x)  G(x) + c。 再利用条件 ( ) = ( ) = 0  a a F a f t dt , 确定常数 c : F(a) = G(a) + c = 0  c = −G(a), 于是, F(x)  G(x) − G(a), f (x)dx F(b) F(a) G(b) G(a) b a = − = −  写成： b a b a f (x)dx = G(b) − G(a) = G(x)  这就是 Newton---Leibniz 公式，又称微积分基本公式。 牛顿—莱布尼茨公式又可以写成 dF(x) F(b) F(a) b a  = − 这个公式是由牛顿和莱布尼茨独立完成的, 所以称之为牛顿—莱布 尼茨公式. 这个公式把计算定积分与求原函数, 这两个看来不太有关的 问题联系在一起, 从而给出了计算定积分的一个有效的方法。这是数学 历史发展中的重大发现。 G(b) −G(a) = F(b) − F(a),因此对于 f (x) 在 [a, b] 上的任何一个原函数都有 牛顿—莱布尼茨公式又可以写成 dF(x) F(b) F(a) b a  = − . 例 2:计算定积分  + 1 0 2 1 dx x x 解: 因为 2 1+ x 在区间 [0,1] 是被积函数 2 1 x x + 一个原函数，根 据牛顿—莱布尼茨公式得到  + 1 0 2 1 dx x x 1 1 1 1 0 2 1 1 0 2 = + x = + − + = − . 最好与不定积分求原函数结合起来：  + 1 0 2 1 dx x x = ( ) = + +  1 0 2 2 2 1 1 x d x 1 1 1 1 0 2 1 1 0 2 = + x = + − + = −

第七章定积分 例2:计算定积分「1- cosxdx 0≤x 解:1-cosx=2sm2x <0 1- cos xdx=-√2「snax+ 2√2cos cOs =4(√2-1 例3计算[ cos x sin x d cos'xsin xdx=kcos'xd(cos x)= OS x coS 例4:计算「 dx= I+xdx= 11+ actg 1+ dx actg t arcing ((2)m(m2 √2(2 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 例 2:计算定积分  − − 2 2 1 cos   xdx 解:        − −     − = = 0 2 , 2 2 sin 2 , 0 2 2 sin 2 1 cos 2sin 2 x x x x x x    − − 2 2 1 cos   xdx = − + =   − 2 0 0 2 2 2 sin 2 2 sin   dx x dx x = 4( 2 1) 2 2 2 cos 2 2 2 cos 2 0 0 2 − = − −   x x 例 3: 计算  2 0 5 cos sin  x x dx 解: = ( ) =   2 0 2 5 0 5 cos sin cos cos   x xdx x d x 6 1 cos 0 2 cos 6 1 cos 6 1 6 6 2 0 6  =      = − = − −   x . 例 4: 计算 − + 1 + 1 4 2 1 1 dx x x . 解: ( ) ( )   − − − − − − − − + − = + + = + + 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 4 2 2 1 1 1 x x d x x dx x x x dx x x = 0 2 2 1 1 1 1 = − − − x x arctg ;    + + + + + = + + − − 1 0 4 2 0 1 4 2 1 1 4 2 1 1 1 1 1 1 dx x x dx x x dx x x = =         − + − − − − 1 0 1 0 1 1 2 2 2 1 x x arctg x x arctg = =                 − −        − − → − → − + 2 lim 2 lim 2 1 1 0 1 0 x x arctg x x arctg x x (? ) = 2 2 2 2 1     =      +