《数学分析》第十六讲 定积分的计算方法

第六章定积分 第六章定积分 (The definite integration) 第十六讲定积分的计算方法 课后作业: 阅读:第六章64,6.5,6.6:pp176--193. 预习:第七章7.1,7.2,7.3:pp19-210 练习pp.182-184:习题6.4:1;2;3,7,8中的单数序号小题:11; 17;20 p6-1886.5:12;3中的单数序号小题;4;6; 8;9;11;24;26;27 作业pp82--184:习题6.4:3,中的双数序号小题;5;6; 7,(6),(8),(10);8,(2),(4);9;10;15;16;18;21 17;20. pp16-88865:3,中的双数序号小题;6;7;10;12 14;18;20,(1),(2);21,(3);22;25;29 6-4定积分的计算方法 6-4-1变量置换法 定理:设f∈C[A,B](连续),如果函数x=u(t)满足下列条件: (1)u(t)在[a,]上连续可导,且u([a,)[a,b][A,B] (2)u(a)=a,u(B)=b; a a 由于保证了两边被积函数的连续性,因而直接利用N--L公式即可证 明。 定理:设f∈Ra,b](可积),如果函数x=u(t)满足下列条件: (1)u(t)在[a,]上连续可导,且单调; (2)u(a)=a,u()=b 则f(x)d=f(u)( a 这个证稍麻烦,要把两边化成积分和,对△x1=u(t)-u(t-1) 用有限增量公式来证明,有兴趣者可尝试之。 1,若f(x)是[-aa]上的可积的奇函数f(x)dx=0 a 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 第六章 定积分 (The definite integration ) 第十六讲 定积分的计算方法 课后作业： 阅读：第六章 6.4, 6.5, 6.6: pp176---193. 预习：第七章 7.1, 7.2, 7.3: pp199---210. 练习 pp.182---184: 习题 6.4 : 1; 2; 3, 7, 8 中的单数序号小题; 11; 17; 20. pp.186---188: 习题 6.5 : 1; 2; 3,中的单数序号小题; 4; 6; 8; 9; 11; 24; 26; 27. 作业 pp.182---184: 习题 6.4 : 3,中的双数序号小题; 5; 6; 7, (6), (8), (10); 8,(2), (4); 9; 10; 15; 16; 18; 21. 17; 20. pp.186---188: 习题 6.5 : 3,中的双数序号小题; 6; 7; 10; 12; 14; 18; 20, (1), (2); 21, (3); 22; 25; 29. 6-4 定积分的计算方法 6-4-1 变量置换法 定理：设 f C[A, B] (连续), 如果函数 x = u(t) 满足下列条件： (1) u(t) 在 [, ] 上连续可导, 且 u([,]) [a,b] [A,B] ; (2) u() = a, u() = b ; 则   =    f x dx f u t u t dt b a ( ) ( ( )) ( ) . 由于保证了两边被积函数的连续性，因而直接利用 N--L 公式即可证 明。 定理：设 f  R[a,b] (可积), 如果函数 x = u(t) 满足下列条件： (1) u(t) 在 [, ] 上连续可导, 且单调 ; (2) u() = a, u() = b ; 则   =    f x dx f u t u t dt b a ( ) ( ( )) ( ) . 这个证稍麻烦，要把两边化成积分和, 对 ( ) ( )  i = i − i−1 x u t u t 用有限增量公式来证明，有兴趣者可尝试之。 例 1, 若 f (x) 是 − a,a 上的可积的奇函数  ( ) = 0  − a a f x dx ;

5六章定积分 若(x)是ad上的可积的偶函数→∫八x=2(x 例2,证明:若∫∈C[O,1,则 o fr(sin xdr=r(cos xdo (2)jx/mxx=∫/(smx 证:令x=丌-1,d=-dt, ∫x/mnx=(x-)/(sm-m) =「πf(sn)t-「1/(sn)t →2「x/(smx)d=「π/(imt)dt xsIn dx πrd(cosx dx dh 1+cosx I+cos-x X=其 telcos x) 例3:若∫∈C[A,B],[a,b]c[A,B求极限 f(x+h)-f(x) 〔(+)-/( 解:lim f(x+h)-f(x) dx=lim h→0 (x+b()2)1(广0 lim((+h)-f(a+h)=f(b)-f(a 例4,若函数∫(x)是以T为周期的可积周期函数,证明: (1)Va, f(x)ax= f(x)dx 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 若 f (x) 是 − a,a 上的可积的偶函数 ( ) ( )    = − a a a f x dx f x dx 0 2 例 2, 证明 : 若 f C[0,1], 则 (1) ( ) ( )   = 2 0 2 0 sin cos   f x dx f x dx ; (2) ( ) ( )      = 0 0 sin 2 xf sin x dx f x dx 证：令 x =  − t , dx = −dt , ( ) ( ) ( )( )     =  − − 0 0 xf sin x dx t f sin t dt = = ( ) ( )      − 0 0 f sin t dt t f sin t dt  ( ) ( )     =  0 0 2 x f sin x dx f sin t dt . 求: ( )       +  = − +  = + 0 2 0 2 0 2 1 cos cos 1 cos 2 sin 1 cos 2 sin x d x dx x x dx x x x = ( ) 4 cos 2 2 0  =  − = = x x arctg x 例 3: 若 f C[A, B], [a,b]  [A, B] 求极限  + − → b h a dx h f (x h) f (x) lim 0 . 解：  + − → b h a dx h f (x h) f (x) lim 0 = ( ) ( ) h h b a h h f x h f x dx         + −  → ( ) ( ) lim 0 = ( )        + − →  h b h a lim f (x h) f (x) dx 0 = ( )         + → + h b h h a h lim f (t) dt 0 = lim ( ( ) ( )) ( ) ( ) 0 f b h f a h f b f a h + − + = − → 例 4, 若函数 f (x) 是以 T 为周期的可积周期函数, 证明： (1) a ,   = a+T T a f x dx f x dx 0 ( ) ( ) ;

5六章定积分 (2)研究函数F(x)=|f(1)a是否也是周期函数? (1)f(x)dx=If(x)dx+If(x)cx+If(x)dx 做变换:x=t+T, f(x)d=」f(t+n)=」f(nlt a+r ∫/(x)=丁(x)+(x)+∫f(xh-fx)d (2)F(x)=「f()d是否是周期函数,要看 x,F(x+)-F(x)=0 是否成立。而 F(x+7)-F(x)=j/(0÷JMt 结论是:若被积函数f(x)是T周期函数,则F(x)=∫ 是周期函数的充要条件是:f()d=0。 若∫()=/≠0,则F(x)=周期函数+线性函数 因为d=1,这样函数g(x)=f(x)-是周期函数,且有 g(x)x=f(xddx--dx=0 则G(x)=g()是周期函数。这样 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 (2) 研究函数  = x F x f t dt 0 ( ) ( ) 是否也是周期函数？ 证明： (1)     + + = + + 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a T a T T a T a f x dx f x dx f x dx f x dx 做变换： x = t +T ,    = + = a+T a a T f x dx f t T dt f t dt 0 0 ( ) ( ) ( ) ;     = − + + a+T a T a a f x dx f x dx f x dx f x dx 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) =  T f x dx 0 ( ) (2)  = x F x f t dt 0 ( ) ( ) 是否是周期函数，要看 x, F(x +T)− F(x) = 0 是否成立。而 ( )   + − = = x+T T x F x T F x f t dt f t dt 0 ( ) ( ) ( ) . 结论是： 若被积函数 f (x) 是 T 周期函数，则  = x F x f t dt 0 ( ) ( ) 是周期函数的充要条件是： ( ) 0 0 =  T f t dt 。 若 ( ) 0 0 =   f t dt I T , 则 F(x) =周期函数 + 线性函数. 因为 dt I T I T =  0 , 这样函数 T I g(x) = f (x) − 是周期函数，且有 ( ) ( ) 0 0 0 0 = − =    dx T I g x dx f x dx T T T ; 则  = x G x g t dt 0 ( ) ( ) 是周期函数。这样：

5六章定积分 =F( F(x)=f(dt=G(x)+x 例5:计算[snx-sin3xah 解:∫√smx-m3x在=、mx10 =[A、smx:cosx+[√smx(- cos xdx =2√smxc=2”√ sin xdsin x 、 sin x cos xo=2 sin xsinx 例6:计算smx=sm2x 解1:[snx-sn2xd √mx(-snx)dx= n x cos cOS -1·cost-sin f V(cos1 + sin ()2-1. d( cos t + sin 1)=4 u2-Idu 1+h 1‖=2√2-2hn1+√2 Inax+ 解2: /2cosx√smnx-Sm-x sin x-sin-x dx=2 COS x 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 x T I dt F x T I G x f t x  = −      = −  ( ) ( ) ( ) 0 , x T I F x f t dt G x x = = +  ( ) ( ) ( ) 0 . 例 5: 计算  −  0 3 sin x sin x dx . 解:  −  0 3 sin x sin x dx =    0 sin x cos x dx = ( )    +  −    2 2 0 sin x cos xdx sin x cos x dx =    =  2 0 2 0 2 sin cos 2 sin sin   x xdx x d x =    =  2 0 2 0 2 sin cos 2 sin sin   x xdx x d x = ( ) 3 4 sin 3 4 2 0 3 =  x 例 6: 计算  −  0 2 sin x sin x dx . 解1：  −  0 2 sin x sin x dx = = ( )         − = −   0 2 0 2 sin 2 sin 1 sin sin cos dx x x x x dx x =    −  0 2 sin 2 cos 2 cos 2 2sin dx x x x x = ( )  + −  − 2 0 2 2 cos sin 1 cos sin  t t t t dt = ( ) ( )   + −  + = − 2 1 2 4 0 2 4 cost sin t 1 d cost sin t 4 u 1du  = ( ( )) 2 1 2 2 1 ln 1 2 4 u u − + u − u − = 2 2 − 2ln (1+ 2) ( (x x a ) c a x − a dx = x x − a − + − +  2 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 1 ) 解2：  −  0 2 sin x sin x dx =2  2 − 0 2 cos  cos sin sin dx x x x x

5六章定积分 sIn x-sin sIn x du +1-1 1+l √1+t2+hn+√1+t2)-n+√l+t 1+t2--n+√1+t =22-h+√2) +u →l dt 1+ -du= 2 r-2t 2dt dv 6-4-2分部积分法 由不定积分的分部积分到定积分的分部积分没有什么特别之处,只 是可随式的推导及时代入积分限即可: u(x)dv(x) =u(x)v(x)-v(xdu(x) 对于分部积分的计算同样有三种情形:化简型;循环型及递推型。特别 是递推型用得多。 例7计算xe2ax 解:先求xe2的原函数.令l=-x2,则xx=-dht,于是 ∫xe2ax=-∫e"dh=-e“+c=-e2+c 第六章定积分

第六章 定积分 第六章 定积分 = ( )   − − = − − 1 0 2 2 2 0 2 2 1 sin 2 1 sin sin sin 2 du u u u d x x x x  =   + + − = + 1 0 1 0 1 1 1 4 1 2 d u u u du u u =          + + − 1 0 2 2 1 1 4 1 dt t t = ( ) ( ) 1 0 2 2 2 ln 1 ln 1 2 1 1 2 4       + t + t + + t − t + + t t = ln ( 1 ) 2( 2 ln (1 2)) 2 1 1 2 4 1 0 2 2  = − +      + t − t + + t t = 2( 2 − ln (1+ 2)) ⚫   + = + 1 0 1 0 1 2 1 2 du u u du u u , 令 1 1 2 2 2 −  = + = t t u u u t , ( ) 2 2 1 2 − − = t t dt du , ( ) ( )    − + − − + = − − = + 0 2 2 2 0 2 2 2 1 0 1 1 1 4 1 2 2 1 2 dv t t t t dt du u u 6-4-2 分部积分法 由不定积分的分部积分到定积分的分部积分没有什么特别之处，只 是可随式的推导及时代入积分限即可:   = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 对于分部积分的计算同样有三种情形：化简型；循环型及递推型。特别 是递推型用得多。 例 7 计算  − 1 0 2 1 2 xe dx x 解: 先求 2 2 1 x xe − 的原函数.令 2 2 1 u = − x ,则 xdx = −du ,于是 xe dx e du e c e c x u u x  = − = − + = − + − − 2 2 2 1 2 1