（a）粒子的能量：（b）粒子坐标的平均值；（c）粒子动量的平均值。解：（a）由于已经有了箱中粒子的归一化波函数，可采用下列两种方法计算粒子的能量：①将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：h2d2[2nTEHe,(r) =sin8元mdxzNNh2d12n元n元aX-cosdx8元mINT1Laih?nin 7)XXXN8元m2h?n2元2nrasinXX22V118元mn'h?8ml24.(r)即n2h?E=8mlz②将动量平方的算符作用于波函数，所得常数即为好：2h?d?nTap3()=-sin4元zdx2111n2h?412()郎p-nh?412将此式代人粒子的能量表达式，得：15
E=T+Vnh?11ETE力24122m2mn"h?8ml2若不知道粒子的波函数，则可采用下列两种方法求算能量：①解箱中粒子的Schrodinger方程，在求解过程中会自然得到与上述结果相同的能级表达式（参见周公度、段连运编著《结构化学基础》第二版，P27.北京大学出版社）。若只求粒子最低能量（零点能）的近似值，则亦可根据变分法的思路，选=一？为变分函数，用式：HydtFy"ydr进行计算，所得结果是用上述能级表达式计算所得结果的1.0132倍。②根据受一定势能场束缚的微粒所具有的量子效应和箱中粒子的边界条件（0）二（）二0]，箱长应该等于半波长的整数倍，即：入将此式代入deBroglie关系式，得：hnh岁2将此式代粒子能量的一般表达式，得：玲=T￥V-T1-×nhi2mb212mnh8ml:16
读者可根据一维箱中粒子的能级表达式，分析E及△E，随n，m及1等的变化关系，从而加深对束缚态微观粒子的量子特征的理解。（b）由于（）（（），工无本征值，只能求粒子坐标的平均值：()一y(x)r中(r)dx22n元xnrrdxsinsin11.nnrdrrsin12cos2nTa22t2n元2n元tarsinsin2n元12n元JoL12粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左，右两个半边出现的几率各为0.5，即112图形对势箱中心点是对称的。（c）由于（）c（a），无本征值。可按下式计算的平均值。<p)=(x)()d2ih d2nTrnEd美sinsin112元d元1tihr!nrrnrrntdsincosJ.1tnihtn元.rn元dx渊sinCOS121-011.17)-一维势箱中粒子的归一化波函数为2nasin中(r)n-1,2,3,VT17
式中1是势箱的长度，是粒子的坐标（0<1）（a）分别画出"1和n一2时粒子在势箱中的几率密度分布图；（b）计算粒子在0.491到0.511区间内出现的几率；（c）对照图形，讨论计算结果是否合理。解：22元37sinrsin(a)d(.r)距(x)71122元X2Fsin22元中(x)sin(x) =V71：1由上述表达式计算好（）和（），并列表如下：11-831-310z/l482(2)/1-100.2931.0001.5001.7262.000归()/l-)01.0002.0001.0001.500052-3372/!10A8(α))1.7261.5001.00000.293好()/1-)1.0001.5002.00001.000根据表中所列数据作归（）-图示于图1.17中。（b）粒子在状态时，出现在0.49/和0.511间的几率为：1.51P-r(α)dzCo.5112元.d.asin110.45a.5112nadxsin?11J.43!2m:70.5112[1sinTL24元1.19118
2元元70.51起-sin2元0.491=0.02(sin1.02元—sin0.98元)2元=0.03992. 02. 01.61. 61-7/-1/(2)71. 21. 2(r)0.80.80.40.4?0000.20.40.60.81.000.20.40.60.81.0r/lrh-图 1. 17一维势箱中粒子（x）-x图粒子在，状态时，出现在0.491和0.511间的几率为：0.514P,(a)dr0,49420.3112-12元元d.xsinNt0.491Co.51122元元sinzda110.4912170.5124元个-sin218元rma0.51114nxsinI14元0.1910.51114元×0.51sin14元19