解：按测不准关系，诸粒子坐标的不确定度分别为：h6.626 X 10~34J - s子弹：4=0.01kg× 1000 × 10%m.s-im.Ao-6.63×10-34mh6.626X10-34Js尘埃：△α一m:△=10-9kg×10×10%m.s-1=6.63X10-25mh6.626X10-34J·S花粉：4r=m.A=10-13kg×1×10%m.s-1=6.63×10-20mh6.626X10-34J·s电子：Ar=m.△9.109×10-31kg×103×10%m.-1=7.27X10-6m由计算结果可见，前三者的坐标不确定度与它们各自的大小相比可以忽略。换言之，由测不准关系所决定的坐标不确定度远远小于实际测量的精确度（宏观物体准确到10-°m就再好不过了）。即使质量最小、运动最慢的花粉，由测不准关系所决定的Ar也是微不足道的。此即意味着，子弹、尘埃和花粉运动中的波性可完全忽略，其坐标和动量能同时确定，测不准关系对所讨论的问题实际上不起作用。而原子中的电子的情况截然不同。由测不谁关系所决定的坐标不确定度远远大于原子本身的大小（原子人小数量级一般为儿十到几百个Pm），显然是不能忽略的，即电子在运动中的波动效应不能忽略，其运动规律服从量子力学，测不准关系对讨论的问题有实际意义.由此可见，测不准关系为检验和判断经典力学适用的场合和限度提供了客观标准。凡是可以把Planck常数看作零的场合都是经典场合，粒子的运动规律可以用经典力学处理；凡是不能把Planck常数看作零的场合都是量子场合，微粒的运动规律必须用量子力学处理。【1.9】电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子10
运动速度的不确定度△为速度的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？解：在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标的不确定度为：hhhAx-m .Avm V2eV/m X 10%V2mevX10%6.626X10-34J-S X 102×9.109×10-31kg×1.602×10-19C×103V=3.88×10-10m这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。【1.10】试用测不准关系说明光学光栅（周期约10-"m）观察不到电子衍射（若用10000V电压加速电子）。解：根据测不准关系，电子位置的不确定度为hh1Ar-1.226 × 10-9YAph/x1= 1.226 X 10-9aV10000=1.226 X 10-11m这不确定度约为光学光栅周期的10-5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10-5倍，显然，用光学光栅观察不到电子衍射。亦可作如下理解：若电子位置的不确定度为10-m，则由测不准关系决定的动量不定度为：h- 6.626 × 10-34J : sAp.=Ar10-6m=6.626X10~28J.s-m-1在10"V加速电压下，电子的动量为：11
p,=m=2meV=2×9.109X1031kgX1.602X10-1CX10V5.402×10-23J.$*m-1由A力。和P估算出现第一衍射极小值的偏离角为：Ap:8-arcsin=arcsinpr6.626×10-26J :$m一arcsin5.402×10-23Js.m arcsin10-sα0°这说明电子通过光栅狭缝后“沿直线前进，落到同一个点上”。因此，用光学光栅观察不到电子衍射。[1.11]请指出下列算符中的线性算符。dd2+&d, log sin, v由线性算符的定义：解：A(+）=A+Ad.d2知品为线性算符。= re-a?(—4a**）的本征函数，求本征值。(1.2]是算符y解：应用量子力学基本假设I（算符）和I（本征函数、本征值和本征方程），得：d?d24a2r24a22da2d.r2d2dre- - 4d'r( er)d(e- - 2arec-] - 4are-- 2axre-- 4axe ""+ 4a"re-ux- 4a?r'ear12
6are"ur?--6uy因此，本征值为一6α.d2【1.13]下列函数哪几个是算符的本征函数？若是，求出本征da值。et,sinr,2cosr,r,sinr+cosr解：d2d2- lXe".e易drer的本征函数，本征值为1；d.2d2-1 × sinr,sina 是dresinr -的本征函数，本征值为一1；da2d2d2dr22c0s =2cosr.2cos.r是的本征函数，本征值为一1；d2d2d?6元c不是dra的本征函数；drzd2d?(sinz + cos)=-(sin + cos),sin +cos 是d的本征函数，本征值为一1。a【1.14]m和cosm对算符i品是否为本征函数?若是，求出其本征值。d解：indiemim-meingdgd所以eim是算符i品的本征函数，本征值为一m。d而dgcosmg = i(- sinmg) · m =- imsinmg +ccosmgd所以cosm不是算符i品的本征函数。【1.15】若两函数和的积分dr=0，则称这两函数互相正13
交。试证明在一维势箱中运动的各粒子的波函数互相正交。证：在长度为1的一维势箱中运动的粒子的波函数为：2.nr中()二Vsin0<xln12.3,1令n和n表示不同的量子数，积分：1()()dr22nranRxsinsin1112n'nrdrn元xsinsin111J.(n -n')r(n+n)元sinsin3211一n')元(n+n）元(n2 X2 X11一 n)元(n +n')r,(nsinsint1n）元(n(n+n）元sin(n n')元sin(n+n')元(n - n)元(n+n)n和n皆为正整数，因而（n--n）和(n+n）皆为整数，所以积分：(x)(r)dt=0根据定义，中（）和中（x）互相正交。【1.16】已知一维势箱中粒子的归一化波函数为：12nTXd(r)n=1,2.3,-sin1式中1是势箱的长度，是粒子的坐标（01）。计算：14