缚的微观粒子的共同特性，即量子效应：（a）粒子可存在多种运动状态虹；（b）能量量子化，（c）存在零点能；（d）粒子按几率分布，不存在运动轨道：（e）波函数可为正值、负值和签值，为零值的节点多：能量高。对在长、宽、高分别为a，b，c的三维势箱中运动的粒子，其Schrodinger方程为：a2h2iaa2一E8元ml元2+ay2az?解此方程得：8nr(n,"yin元zsinb：sinsinabe!bO（8+#+)E式中量子数nr.n，均可分别等于1.2，3，整数。对于a=bc的三维势箱，有时量子数n，n，不同的状态，具有相同的平方和，能量相同。这种能量相同的各个状态，称为体系的简并态。由箱中粒子的实例可见，量子力学处理微观体系的一般步骤如下：（1）根据体系的物理条件，写出它的势能函数，进一-步写出H算符及Schtodinger方程。（2）解Schrodinger方程，根据边界条件求得中，和E。（3）描绘中，「中！？等的图形，讨论它的分布特点。（4）由所得的邮，求各个对应状态的各种力学量的数值，了解体系的性质。（5）联系实际问题，对所得结果加以应用。习题解析[1.1]实验测定金属钠的光电效应数据如下：
照射光波长（入/nm）312.5365.0404.7546.12.561. 950.75光电子最大动能（E/10-19J）3.41作“动能-频率”图，从图的斜率和截距计算Planck常数h、钠的临阈频率和脱出功。解：将各照射光波长换算成频率，并将各频率与对应的光电子的最大动能E列于下表：^/nm312.5365.0404.7546.1v/101*s-19.595.498.217.41Ex/10-18J2.561.953. 410.75由表中数据作E-图示于图1.1中。3ft-o1/e1057689104v/1014s-1图 1. 1金禹钠的E-V图由式hy = hvo + Ek推郑EkAEkh=Av即Planck常数等于E-v图的斜率。选取两合适点，将E和值代人上式，即可求出h。例如：6
(2.70 1. 05) X 10-19 Jh6.60X10-34J.S(8.50-6.00)×1011s-1图中直线与横坐标的交点所代表的即金属钠的临阈频率，由图可知，%=4.36×101+s"1。因此，金属钠的脱出功为：W= hv= 6.60 × 10 34J s× 4.36× 101s-1= 2.88 × 10-19J【1.2】将锂在火焰上燃烧，发出红光，波长入670.8nm，这是Li原子由电子组态（1s）2（2p）-→（1s）（2s）1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以kJ·mol-1为单位的能量。-2.998×10°ms解：V二 4.469 × 1014s-1670.8nm11V== 1.491 × 10+cm1元±670.8×10-cmE=hvN-- 6.626X 10-34J.sX 4.469 X 1014gX 6.023 × 1023mol-1± 178.4kJ mol-1].3]个100W的钠蒸气灯发射波长为590.0nm的黄光，计算每秒发射的光子数。解：设该钠蒸气灯1秒钟发射出的总能量为E，每个光子的能量为E，1秒钟发射的光子数为，则：E = ne nhv = nh 号XE入100WX1s×590.0X10-9mhc=6.626×10-34J.sX2.998×108m.s-1- 2. 97 X 1020【1.4】金属钾的临阐频率为5.464×10"s，用它作光电池的阴极，当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射的光电子的最大动能是多少？1解： h = hve +m7
[2h(-0)271 2.998×10°mms2×6.626×1034J-s5.464×10l4s-300X10m9.109 × 10-31kg2X6.626X10-34J-5X4.529×10s9.109×10-31kg=8.12×105m.s-1【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为200kV，计算电子加速后运动时的波长。解：根据deBroglie关系式：hhh力mV2mev6.626 X 10-34JV2×9.109X10-31kg×1.602×10-19C×2×105V-2,742×10-12m[1. 6]算下述粒子的德布罗意波的波长：(a）质量为10-10kg，运动速度为0.01m·s"）的尘埃；（b）动能为0.1eV的中子；（c）动能为300eV的自由电子。解：根据deBroglie关系式：h6.626 X 10-3J.$(a)入10-10kgx0.01m.s-mu=6.626×10-22mhh(b) apV2mT6.626 X10-343 - SV2 X1. 675 X 10-27 kg × 0. 1eV × 1. 602 × 10-19J : (eV)-)9.043×10-11mhh(c) ap2mev8
6.626 X 10-34J -s2×9.109X10-31kg×1.602×10-19CX300V=7.08X10-11m[1.7]对一个运动速度<光速）的自由粒子，有人作了如下推导：D②h?hy团?E1muXmuA2zU1结果得出mv一mV的结论。错在何处？说明理由。2解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：Ehv巴h/α式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：p=m知，①，②和①三步都是正确的。微粒波的波长入服从下式：.A=u/v式中，u是微粒的传播速度·它不等于微粒的运动速度"、但中用了=/,显然是错的。u-在①中，E一hv无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量，但1中Em仅仅是微粒的动能部分，两个能量是不等的，因此2也是错误的（若将E视为动能，则③对④错）。【1.8】子弹（质量0.01kg，速度1000m·s-1）、尘埃（质量10-9kg，速度10m·s-1）、作布朗运动的花粉（质量10-13kg，速度1m·s-1）原子中电子（速度1000m·s-1）等，速度的不确定度均为速度的10%，判断在确定这些质点位置时，测不准关系是否有实际意义？9