USTC概率论习题课讲义第 1章 基本内容11二项分布X ~ B(n,p),P(X = k) =kgn-k,k=0,1,*,n这里pe(0,1),p+q=1.X服从参数为(n,p)的二项分布.其中B(1,p)即为Bernoulli分布.n!n!(-kgn-k.k+Iqn-1-B[X] =kk!(n-1-k)!k-0k=0n-1-k = np,npk=0pkq"-k = n(n- 1)p2,B[X(X - 1)] = k(k - 1)k=0E[X2] = np(np + q), Var(X) = npq = np(1 - p)注1.二项分布具有可加性：设X~B(M,p),Y~B(N,p)且X,Y相互独立，则有X+Y~B(M+N,p)(对任意有限个均成立）.M-kgN-n+kP(X+Y=n)=P(X= k,Y=n-k)=)>k=0-M+N-npnaMM+N-n2.二项分布可分解：X～B(n,p)可以分解成n个相互独立且参数为p的Bernoulli分布之和,即X=Xi+X2+...+Xn,X,i.i.d ~B(1,p), r=1,...,n.因此，我们有E[X] = E[Xi + X2 + ... + Xn] = B[X,] = nB[XI] = np,k=1Var(X) = Var(X+ +X2 +.+X.) var(Xx)=nVar(X)=np(1-).k=l上例可知，期望的线性性非常重要.对于随机变量X,Y,有时X+Y的分布较为复杂，而X和Y的分布相对好入手.转化成如下形式即可：IdFx+r(0) = B[X + Y] = B[X] +B[Y] =tdFx(t) +tdFy(t)同时注意到，期望只与分布有关.若X，Y同分布，则两者期望相同
USTC 概率论习题课讲义 第 1 章 基本内容 11 二项分布 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝), P(𝑋 = 𝑘) = 𝑛 𝑘 𝑝 𝑘 𝑞 𝑛−𝑘 , 𝑘 = 0, 1, · · · , 𝑛 这里 𝑝 ∈ (0, 1), 𝑝 + 𝑞 = 1. 𝑋 服从参数为 (𝑛, 𝑝) 的二项分布. 其中 𝐵(1, 𝑝) 即为 Bernoulli 分布. E[𝑋] = ∑𝑛 𝑘=0 𝑘 𝑛 𝑘 𝑝 𝑘 𝑞 𝑛−𝑘 = ∑𝑛 𝑘=0 𝑘 𝑛! 𝑘!(𝑛 − 𝑘)! 𝑝 𝑘 𝑞 𝑛−𝑘 = ∑𝑛−1 𝑘=0 𝑛! 𝑘!(𝑛 − 1 − 𝑘)! 𝑝 𝑘+1 𝑞 𝑛−1−𝑘 = 𝑛𝑝∑𝑛−1 𝑘=0 𝑛 − 1 𝑘 𝑝 𝑘 𝑞 𝑛−1−𝑘 = 𝑛𝑝, E[𝑋(𝑋 − 1)] = ∑𝑛 𝑘=0 𝑘 (𝑘 − 1) 𝑛 𝑘 𝑝 𝑘 𝑞 𝑛−𝑘 = 𝑛(𝑛 − 1)𝑝 2 , E[𝑋 2 ] = 𝑛𝑝(𝑛𝑝 + 𝑞), Var(𝑋) = 𝑛𝑝𝑞 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝). 注 1. 二项分布具有可加性: 设 𝑋 ∼ 𝐵(𝑀, 𝑝), 𝑌 ∼ 𝐵(𝑁, 𝑝) 且 𝑋, 𝑌 相互独立，则有 𝑋 + 𝑌 ∼ 𝐵(𝑀 + 𝑁, 𝑝). (对任意有限个均成立). P(𝑋 + 𝑌 = 𝑛) = ∑𝑛 𝑘=0 P(𝑋 = 𝑘, 𝑌 = 𝑛 − 𝑘) = ∑𝑛 𝑘=0 𝑀 𝑘 𝑝 𝑘 𝑞 𝑀−𝑘 𝑁 𝑛 − 𝑘 𝑝 𝑛−𝑘 𝑞 𝑁 −𝑛+𝑘 = 𝑝 𝑛 𝑞 𝑀+𝑁 −𝑛∑𝑛 𝑘=0 𝑀 𝑘 𝑁 𝑛 − 𝑘 = 𝑀 + 𝑁 𝑛 𝑝 𝑛 𝑞 𝑀+𝑁 −𝑛 . 2. 二项分布可分解: 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝) 可以分解成 𝑛 个相互独立且参数为 𝑝 的 Bernoulli 分布之和, 即 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 + · · · + 𝑋𝑛, 𝑋𝑟 i.i.d ∼ 𝐵(1, 𝑝), 𝑟 = 1, · · · , 𝑛. 因此, 我们有 E[𝑋] = E[𝑋1 + 𝑋2 + · · · + 𝑋𝑛] = ∑𝑛 𝑘=1 E[𝑋𝑘 ] = 𝑛E[𝑋1] = 𝑛𝑝, Var(𝑋) = Var(𝑋1 + 𝑋2 + · · · + 𝑋𝑛) 独立 ====== ∑𝑛 𝑘=1 Var(𝑋𝑘 ) = 𝑛Var(𝑋1) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝). 上例可知, 期望的线性性非常重要. 对于随机变量 𝑋, 𝑌, 有时 𝑋 + 𝑌 的分布较为复杂, 而 𝑋 和 𝑌 的 分布相对好入手. 转化成如下形式即可: ˆ +∞ −∞ 𝑡d𝐹𝑋+𝑌 (𝑡) = E[𝑋 + 𝑌] = E[𝑋] + E[𝑌] = ˆ +∞ −∞ 𝑡d𝐹𝑋 (𝑡) + ˆ +∞ −∞ 𝑡d𝐹𝑌 (𝑡) 同时注意到, 期望只与分布有关. 若 𝑋, 𝑌 同分布, 则两者期望相同
USTC概率论习题课讲义第1章基本内容12几何分布P(X = k) =pqk-1,k = 1,2, ..*,p e (0, 1),p+q = 1B[X] =kpgk-1 绝对收效(()k=19E[X(X + 1)] =k(k + 1)pgk-1 绝对收效)-()--Eqk+1-k=l1 -pVar(X) =p2注离散情况下，几何分布一无记忆性=：无记忆性：pqm+k-1P(X = m+k)P(X=m+k|X>m)=E=pqkk-1 = P(X = k))P(X >m)qm:记p=P(X= k+1 [ X>k)与k无关,令rk=P(X>k)(ro =1),则P(X = k + 1)rk-rk+1p=P(X>k)rk解得 rk= (1 - p)k. 因此 P(X = k)= rk-1 - rk= p(1 - p)k-1 = pqk-1泊松分布ak..k=0.1.2.....a>0.X ~ P(),P(X = k) =k!+oc[X)=k(X=k)=)=a(k- 1))k=l+o0ak-2k(k - 1)P(X = k) = =入2B[X(X - 1)] = Var(X) = A.=2 (k-2)k=1注1.泊松分布具有可加性：设X~P(a),Y~P(2)且X,Y相互独立，则有X+Y~P(+A2).(对任意有限个均成立）nP(X+=m-F(X=k,Y=n-)-(a2)n-kk!(n - k)k=0k=0e-01-12(a1)k(a2)n-kn!e-4-12(A1 + 12)".n!2.泊松分布亦可分解，泊松分布在随机选择下具有不变性.如下例：泊松翻转：掷硬币N次，N~P(a)P(H)=p,记X,Y为H,T出现次数.则X与Y独立,因为P(X= x,Y = y) =P(X=x,Y =y,N=x+y)Axt)=P(X=x,Y=yIN=x+y)P(N=x+y) =2(x+y)!(ap)e-Ap.(ng))o-x!y!
USTC 概率论习题课讲义 第 1 章 基本内容 12 几何分布 P(𝑋 = 𝑘) = 𝑝𝑞𝑘−1 , 𝑘 = 1, 2, · · · , 𝑝 ∈ (0, 1), 𝑝 + 𝑞 = 1 E[𝑋] = ∑∞ 𝑘=1 𝑘 𝑝𝑞𝑘−1 绝对收敛 ========== 𝑝 ∑∞ 𝑘=1 𝑞 𝑘 !0 = 𝑝 𝑞 1 − 𝑞 0 = 𝑝 (1 − 𝑞) 2 = 1 𝑝 , E[𝑋(𝑋 + 1)] = ∑∞ 𝑘=1 𝑘 (𝑘 + 1)𝑝𝑞𝑘−1 绝对收敛 ========== 𝑝 ∑∞ 𝑘=1 𝑞 𝑘+1 !00 = 𝑝 𝑞 2 1 − 𝑞 00 = 2𝑝 (1 − 𝑞) 3 = 2 𝑝 2 , Var(𝑋) = 1 − 𝑝 𝑝 2 . 注 离散情况下, 几何分布 ⇐⇒ 无记忆性. ⇒: 无记忆性: P(𝑋 = 𝑚 + 𝑘 | 𝑋 > 𝑚) = P(𝑋 = 𝑚 + 𝑘) P(𝑋 > 𝑚) = 𝑝𝑞𝑚+𝑘−1 𝑞𝑚 = 𝑝𝑞𝑘−1 = P(𝑋 = 𝑘). ⇐: 记 𝑝 = P(𝑋 = 𝑘 + 1 | 𝑋 > 𝑘) 与 𝑘 无关, 令 𝑟𝑘 = P(𝑋 > 𝑘) (𝑟0 = 1), 则 𝑝 = P(𝑋 = 𝑘 + 1) P(𝑋 > 𝑘) = 𝑟𝑘 − 𝑟𝑘+1 𝑟𝑘 . 解得 𝑟𝑘 = (1 − 𝑝) 𝑘 . 因此 P(𝑋 = 𝑘) = 𝑟𝑘−1 − 𝑟𝑘 = 𝑝(1 − 𝑝) 𝑘−1 = 𝑝𝑞𝑘−1 . 泊松分布 𝑋 ∼ 𝑃(𝜆), P(𝑋 = 𝑘) = 𝜆 𝑘 𝑘! 𝑒 −𝜆 , 𝑘 = 0, 1, 2, · · · , 𝜆 > 0. E[𝑋] = ∑+∞ 𝑘=1 𝑘P(𝑋 = 𝑘) = 𝜆 ∑+∞ 𝑘=1 𝜆 𝑘−1 (𝑘 − 1)! 𝑒 −𝜆 = 𝜆, E[𝑋(𝑋 − 1)] = ∑+∞ 𝑘=1 𝑘 (𝑘 − 1)P(𝑋 = 𝑘) = 𝜆 2∑+∞ 𝑘=2 𝜆 𝑘−2 (𝑘 − 2)! 𝑒 −𝜆 = 𝜆 2 =⇒ Var(𝑋) = 𝜆. 注 1. 泊松分布具有可加性: 设 𝑋 ∼ 𝑃(𝜆1), 𝑌 ∼ 𝑃(𝜆2) 且 𝑋, 𝑌 相互独立，则有 𝑋 + 𝑌 ∼ 𝑃(𝜆1 + 𝜆2). (对任 意有限个均成立). P(𝑋 + 𝑌 = 𝑛) = ∑𝑛 𝑘=0 P(𝑋 = 𝑘, 𝑌 = 𝑛 − 𝑘) = ∑𝑛 𝑘=0 (𝜆1) 𝑘 𝑘! 𝑒 −𝜆1 · (𝜆2) 𝑛−𝑘 (𝑛 − 𝑘)! 𝑒 −𝜆2 = 𝑒 −𝜆1−𝜆2 𝑛! ∑𝑛 𝑘=0 𝑛 𝑘 (𝜆1) 𝑘 (𝜆2) 𝑛−𝑘 = 𝑒 −𝜆1−𝜆2 𝑛! (𝜆1 + 𝜆2) 𝑛 . 2. 泊松分布亦可分解, 泊松分布在随机选择下具有不变性. 如下例: 泊松翻转: 掷硬币 𝑁 次, 𝑁 ∼ 𝑃(𝜆),P(𝐻) = 𝑝, 记 𝑋, 𝑌 为 𝐻, 𝑇 出现次数. 则 𝑋 与 𝑌 独立, 因为 P(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦) = P(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦, 𝑁 = 𝑥 + 𝑦) = P(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦 | 𝑁 = 𝑥 + 𝑦)P(𝑁 = 𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 𝑥 𝑝 𝑥 𝑞 𝑦 𝜆 𝑥+𝑦 (𝑥 + 𝑦)! 𝑒 −𝜆 = (𝜆𝑝) 𝑥 𝑥! 𝑒 −𝜆𝑝 · (𝜆𝑞) 𝑦 𝑦! 𝑒 −𝜆𝑞
USTC概率论习题课讲义第1章基本内容13因此00(p)e-p, P(Y=y)=(aq)y-P(X=x)=P(X=x,Y=y)= (x!y!J=oX与Y独立,N=X+Y且有X~P(Λp),Y~P(Λq)例题1.14已知随机变量X,Y且X,Y相互独立.求如下两情形的条件概率P(X=k|X+Y=j)：(1) X ~B(m,P),Y~B(n,P);(2) X ~ P(A1),Y ~ P(12)解(1)利用X+Y~B(m+n,p),我们有P(X=k,X+Y=j) _P(X=k)P(Y=j-k)P(X = k|X +Y = j) =P(X +Y = j)P(X +Y = j)-k(1 - p)"-j+kk(1-p)"p (1 - p)m+n-j(K)G-k(m+n)i(2)利用X+Y~P(1+A2,P),我们有P(X = k,X+Y = j) _ P(X = k)P(Y = j -k)P(X = k|X+Y= j) = IP(X+Y= j)P(X +Y = j)e2-美G-k)!ek!(1 + /2))-41+42j!2+12+A思考：求上例两情形的条件期望E[XIX+Y]h练习1.5独立重复伯努利试验中，P为每次试验成功的概率，S，表示第n次试验成功时试验总次数.求(1)条件概率P(Sn+1=k|Sn=j);(2)条件概率P(Sn=k|Sn+1=j).练习1.6有足够多套同类型的卡片组，每套卡片组共n张各不相同的卡片，每花1张券就可以在完整的一套卡片组中随机抽取1张卡片.某人想集齐一套完整的卡片组，设他恰好集齐卡片组时花费的总券数E[X,]为Xn,求limnlnn练习1.7Grimmett 3.5.4,3.11.15.自练习1.8给定b>a>0,离散随机变量X取值于区间[a,b](b-a)2(1)证明：Var(X)≤4的取值范围(2) 求B[X]E[
USTC 概率论习题课讲义 第 1 章 基本内容 13 因此 P(𝑋 = 𝑥) = ∑∞ 𝑦=0 P(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦) = (𝜆𝑝) 𝑥 𝑥! 𝑒 −𝜆𝑝 , P(𝑌 = 𝑦) = (𝜆𝑞) 𝑦 𝑦! 𝑒 −𝜆𝑞 . 𝑋 与 𝑌 独立, 𝑁 = 𝑋 + 𝑌 且有 𝑋 ∼ 𝑃(𝜆𝑝), 𝑌 ∼ 𝑃(𝜆𝑞). 例题 1.14 已知随机变量 𝑋, 𝑌, 且 𝑋, 𝑌 相互独立. 求如下两情形的条件概率 P(𝑋 = 𝑘 |𝑋 + 𝑌 = 𝑗): (1) 𝑋 ∼ 𝐵(𝑚, 𝑝), 𝑌 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝); (2) 𝑋 ∼ 𝑃(𝜆1), 𝑌 ∼ 𝑃(𝜆2). 解 (1) 利用 𝑋 + 𝑌 ∼ 𝐵(𝑚 + 𝑛, 𝑝), 我们有 P(𝑋 = 𝑘 |𝑋 + 𝑌 = 𝑗) = P(𝑋 = 𝑘, 𝑋 + 𝑌 = 𝑗) P(𝑋 + 𝑌 = 𝑗) = P(𝑋 = 𝑘)P(𝑌 = 𝑗 − 𝑘) P(𝑋 + 𝑌 = 𝑗) = 𝑚 𝑘 𝑝 𝑘 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑘 𝑛 𝑗 − 𝑘 𝑝 𝑗−𝑘 (1 − 𝑝) 𝑛−𝑗+𝑘 𝑚 + 𝑛 𝑗 𝑝 𝑗 (1 − 𝑝) 𝑚+𝑛−𝑗 = 𝑚 𝑘 𝑛 𝑗 − 𝑘 𝑚 + 𝑛 𝑗 . (2) 利用 𝑋 + 𝑌 ∼ 𝑃(𝜆1 + 𝜆2, 𝑝), 我们有 P(𝑋 = 𝑘 |𝑋 + 𝑌 = 𝑗) = P(𝑋 = 𝑘, 𝑋 + 𝑌 = 𝑗) P(𝑋 + 𝑌 = 𝑗) = P(𝑋 = 𝑘)P(𝑌 = 𝑗 − 𝑘) P(𝑋 + 𝑌 = 𝑗) = 𝜆 𝑘 1 𝑘! e −𝜆1 𝜆 𝑗−𝑘 2 ( 𝑗 − 𝑘)! e −𝜆2 (𝜆1 + 𝜆2) 𝑗 𝑗! e −𝜆1+𝜆2 = 𝑗 𝑘 𝜆1 𝜆1 + 𝜆2 𝑘 𝜆2 𝜆1 + 𝜆2 𝑗−𝑘 . 思考: 求上例两情形的条件期望 E[𝑋|𝑋 + 𝑌]. 练习 1.5 独立重复伯努利试验中, 𝑝 为每次试验成功的概率, 𝑆𝑛 表示第 𝑛 次试验成功时试验总次数. 求: (1) 条件概率 P(𝑆𝑛+1 = 𝑘 |𝑆𝑛 = 𝑗); (2) 条件概率 P(𝑆𝑛 = 𝑘 |𝑆𝑛+1 = 𝑗). 练习 1.6 有足够多套同类型的卡片组, 每套卡片组共 𝑛 张各不相同的卡片, 每花 1 张券就可以在完整的 一套卡片组中随机抽取 1 张卡片. 某人想集齐一套完整的卡片组, 设他恰好集齐卡片组时花费的总券数 为 𝑋𝑛, 求 lim 𝑛→+∞ E[𝑋𝑛] 𝑛 ln 𝑛 . 练习 1.7 Grimmett 3.5.4, 3.11.15. 练习 1.8 给定 𝑏 > 𝑎 > 0, 离散随机变量 𝑋 取值于区间 [𝑎, 𝑏]. (1) 证明: Var(𝑋) ⩽ (𝑏 − 𝑎) 2 4 . (2) 求 E[𝑋]E[ 1 𝑋 ] 的取值范围
USTC概率论习题课讲义第1章基本内容141.6示性函数与概率论1.WEA,示性函数：IA(w)=是一种随机变量.例子：B(1.P）.先从集合的观点看起：0,wEA.引理1.8对集合 A,B,A,(j E J),有(1) Ik = IA(k e N*).(2) IAnB = IAIB, IAC = 1 - IA, IAUB = IA + IB - IAIB, IA)B = IA(1 - IB),(3) IAAB = [IA - IBI.(4) IU,A, = 1 - II(1 - IA,).jeJA提示(4)利用De.Morgan法则：UJA;=(转化方式：(1)对事件 A,IP(A)=B[IA],且有E[IA] =B[I§](k EN"),算方差时取k=2.(2)分解成其他的随机变量之和例如：对离散型随机变量X,有X=xl(x=x)及xB[X] = xP(X = x) = xB[1(X=x)] = B[x (X=x)]也可以分解成若干示性函数的和。由此可用来计算方差或其他k阶矩(参考作业题3.3.3(a)。动机：利用期望的性质，尤其是线性性，引理1.9对非负整值随机变量X，有E[X] = P(X > n).n=0证明利用Fubini定理，我们有X-1OFubiniB[X] = B[Z1] = B[I(x>n)] B[(x>n)] =ZP(X >n).n=0n=0n=0n=0注求分布列的常见转化方法：P(X = n) = P(X ≥n)-P(X ≥ n + 1)= P(X ≤n)-P(X ≤ n- 1)P(X =m,Y =n)= P(X≥m,Y≥n)- P(X ≥m+ 1,Y≥n)-P(X≥m,Y≥ n+1)+P(X≥m+1,Y≥n+1)= P(X ≥m,Y≤n)- P(X≥m+1,Y≤n)-P(X ≥m,Y≤ n-1)+ P(X ≥m+ 1,Y≤ n- 1)例题1.15利用引理1.8(4)，证明Jordan公式：P(UA)-Z(-1)k-1P(Ai -Ai).K-<ii<...i<n
USTC 概率论习题课讲义 第 1 章 基本内容 14 1.6 示性函数与概率论 示性函数: 𝐼𝐴(𝜔) = 1, 𝜔 ∈ 𝐴, 0, 𝜔 ∉ 𝐴. , 是一种随机变量. 例子: 𝐵(1, 𝑝). 先从集合的观点看起: 引理 1.8 ♥ 对集合 𝐴, 𝐵, 𝐴𝑗( 𝑗 ∈ 𝐽), 有 (1) 𝐼 𝑘 𝐴 = 𝐼𝐴(𝑘 ∈ 𝑁 ∗ ). (2) 𝐼𝐴∩𝐵 = 𝐼𝐴𝐼𝐵, 𝐼𝐴𝑐 = 1 − 𝐼𝐴, 𝐼𝐴∪𝐵 = 𝐼𝐴 + 𝐼𝐵 − 𝐼𝐴𝐼𝐵, 𝐼𝐴\𝐵 = 𝐼𝐴(1 − 𝐼𝐵). (3) 𝐼𝐴Δ𝐵 = |𝐼𝐴 − 𝐼𝐵|. (4) 𝐼 Ð 𝑗 𝐴𝑗 = 1 − ∏ 𝑗 ∈𝐽 (1 − 𝐼𝐴𝑗 ). 提示 (4) 利用 De.Morgan 法则: Ø 𝑖∈𝐼 𝐴𝑖 = Ù 𝑖∈𝐼 𝐴 𝑐 𝑖 ! 𝑐 . 转化方式: (1) 对事件 𝐴, P(𝐴) = E[𝐼𝐴], 且有 E[𝐼𝐴] = E[𝐼 𝑘 𝐴 ] (𝑘 ∈ 𝑁 ∗ ), 算方差时取 𝑘 = 2. (2) 分解成其他的随机变量之和. 例如: 对离散型随机变量 𝑋, 有 𝑋 = ∑ 𝑥 𝑥 𝐼 {𝑋=𝑥 } 及 E[𝑋] = ∑ 𝑥 𝑥P(𝑋 = 𝑥) = ∑ 𝑥 𝑥E[𝐼 {𝑋=𝑥 }] = E[ ∑ 𝑥 𝑥 𝐼 {𝑋=𝑥 }]. 也可以分解成若干示性函数的和. 由此可用来计算方差或其他 𝑘 阶矩 (参考作业题 3.3.3(a)). 动机: 利用期望的性质, 尤其是线性性. 引理 1.9 ♥ 对非负整值随机变量 𝑋, 有 E[𝑋] = ∑∞ 𝑛=0 P(𝑋 > 𝑛). 证明 利用 Fubini 定理, 我们有 E[𝑋] = E[ ∑ 𝑋−1 𝑛=0 1] = E[ ∑∞ 𝑛=0 𝐼 {𝑋>𝑛}] Fubini ======== ∑∞ 𝑛=0 E[𝐼 {𝑋>𝑛}] = ∑∞ 𝑛=0 P(𝑋 > 𝑛). 注 求分布列的常见转化方法: P(𝑋 = 𝑛) = P(𝑋 ⩾ 𝑛) − P(𝑋 ⩾ 𝑛 + 1) = P(𝑋 ⩽ 𝑛) − P(𝑋 ⩽ 𝑛 − 1) P(𝑋 = 𝑚, 𝑌 = 𝑛) = P(𝑋 ⩾ 𝑚, 𝑌 ⩾ 𝑛) − P(𝑋 ⩾ 𝑚 + 1, 𝑌 ⩾ 𝑛) − P(𝑋 ⩾ 𝑚, 𝑌 ⩾ 𝑛 + 1) + P(𝑋 ⩾ 𝑚 + 1, 𝑌 ⩾ 𝑛 + 1) = P(𝑋 ⩾ 𝑚, 𝑌 ⩽ 𝑛) − P(𝑋 ⩾ 𝑚 + 1, 𝑌 ⩽ 𝑛) − P(𝑋 ⩾ 𝑚, 𝑌 ⩽ 𝑛 − 1) + P(𝑋 ⩾ 𝑚 + 1, 𝑌 ⩽ 𝑛 − 1). 例题 1.15 利用引理 1.8 (4), 证明Jordan 公式: P Ø𝑛 𝑖=1 𝐴𝑖 ! = ∑𝑛 𝑘=1 (−1) 𝑘−1 ∑ 1⩽𝑖1<···<𝑖𝑘⩽𝑛 P(𝐴𝑖1 · · · 𝐴𝑖𝑘 )
USTC概率论习题课讲义第1章基本内容15证明利用IU, A, = 1 - II(1 - IA,) =(-1)k-1(-1)k-1M7IA..-IA.IAn,n..nIAikjejk=1k=1<i<...<i<nl≤i<...<i<n两边同时取期望并利用期望的线性性即得，例题1.16一座楼共n层，有一个载有m人的升降电梯在这n层楼里停靠若干次，每个人随机选择一层楼停靠.求电梯平均停靠的总次数，解记T为电梯停靠的次数，直接求T的分布非常困难，但我们可以将其分解成n个示性函数之和：T=IAt+..+IAn.其中事件A，表示第i层楼有人停.故有nn(1-("=))=n(1-(1-}))B[IA,] =P(Ai) = E[TI =1i=1i=1-1练习1.9Grimmett3.11.36.t练习1.10用示性函数的方法证明Waring公式（详见Grimmett1.8.13)1.7条件期望定义1.5设(x) := B[Yx = x] = yfyx(ylx)称(X)为Y关于X的条件期望，记B[YIX]注E[YIXI为一个与X有关的随机变量，由定义知,求条件期望E[YIX]时往往先求E[YIX=x的表达式,再用X代替表达式里的x,得到的新表达式即为B[YIX]定理13设X,Y为离散型随机变量，则有B[B[Y]x]] = B[Y].Vn!.-pkr.1例题.17(多项分布)X= (X,X,)P(Xi = k,,X, =k)=..,ki=lpi=1且pi>0.现对ij，i=(1) 求Cov(Xi, X), p(Xi, X).(2) 求B[X,IX, > 0] 解(1)由题意得,Xi~B(n,pi),Xi+X,~B(n,Pi+pj).故有E[X)] = npi, E[X;+X,] = n(pi+pj), Var(X) =npi(1-pi), Var(X,+X,) = n(pi+pj)(1-Pi-Pj)再利用Var(X,+X,)= Var(X,)+Var(X,)+2Cov(Xi,X,),得-npi-npjpipjCov(Xi,X) =-npipj,p(Xi,X) =(1- pi)(1 -pi)npi(1-pi)npj(1-p))
USTC 概率论习题课讲义 第 1 章 基本内容 15 证明 利用 𝐼 Ð 𝑗 𝐴𝑗 = 1 − ∏ 𝑗 ∈𝐽 (1 − 𝐼𝐴𝑗 ) = ∑𝑛 𝑘=1 (−1) 𝑘−1 ∑ 1⩽𝑖1<···<𝑖𝑘⩽𝑛 𝐼𝐴𝑖1 · · · 𝐼𝐴𝑖𝑘 = ∑𝑛 𝑘=1 (−1) 𝑘−1 ∑ 1⩽𝑖1<···<𝑖𝑘⩽𝑛 𝐼𝐴𝑖1 ∩···∩𝐼𝐴𝑖𝑘 , 两边同时取期望并利用期望的线性性即得. 例题 1.16 一座楼共 𝑛 层, 有一个载有 𝑚 人的升降电梯在这 𝑛 层楼里停靠若干次, 每个人随机选择一层 楼停靠. 求电梯平均停靠的总次数. 解 记 𝑇 为电梯停靠的次数, 直接求 𝑇 的分布非常困难, 但我们可以将其分解成 𝑛 个示性函数之和: 𝑇 = 𝐼𝐴1 + · · · + 𝐼𝐴𝑛 , 其中事件 𝐴𝑖 表示第 𝑖 层楼有人停. 故有 E[𝑇] = ∑𝑛 𝑖=1 E[𝐼𝐴𝑖 ] = ∑𝑛 𝑖=1 P(𝐴𝑖) = ∑𝑛 𝑖=1 1 − 𝑛 − 1 𝑛 𝑚 = 𝑛 1 − 1 − 1 𝑛 𝑚 . 练习 1.9 Grimmett 3.11.36. 练习 1.10 用示性函数的方法证明 Waring 公式(详见 Grimmett 1.8.13). 1.7 条件期望 定义 1.5 ♣ 设 𝜓(𝑥) := E[𝑌 |𝑋 = 𝑥] = ∑ 𝑦 𝑦 𝑓𝑌 |𝑋 (𝑦|𝑥). 称 𝜓(𝑋) 为 𝑌 关于 𝑋 的条件期望, 记 E[𝑌 |𝑋]. 注 E[𝑌 |𝑋] 为一个与 𝑋 有关的随机变量. 由定义知, 求条件期望 E[𝑌 |𝑋] 时往往先求 E[𝑌 |𝑋 = 𝑥] 的表达 式, 再用 𝑋 代替表达式里的 𝑥, 得到的新表达式即为 E[𝑌 |𝑋]. 定理 1.3 ♥ 设 𝑋, 𝑌 为离散型随机变量, 则有 E[E[𝑌 |𝑋]] = E[𝑌]. 例题 1.17 (多项分布) 𝑿 = (𝑋1, · · · , 𝑋𝑟 ). P(𝑋1 = 𝑘1, · · · , 𝑋𝑟 = 𝑘𝑟 ) = 𝑛! 𝑘1! · · · 𝑘𝑟 ! 𝑝 𝑘1 1 · · · 𝑝 𝑘𝑟 𝑟 , ∑𝑟 𝑖=1 𝑘𝑖 = 𝑛, ∑𝑟 𝑖=1 𝑝𝑖 = 1 且 𝑝𝑖 > 0. 现对 𝑖 ≠ 𝑗, (1) 求 Cov(𝑋𝑖 , 𝑋𝑗), 𝜌(𝑋𝑖 , 𝑋𝑗). (2) 求 E[𝑋𝑗 |𝑋𝑖 > 0]. 解 (1) 由题意得, 𝑋𝑖 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝𝑖), 𝑋𝑖 + 𝑋𝑗 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝𝑖 + 𝑝 𝑗). 故有 E[𝑋𝑖] = 𝑛𝑝𝑖 , E[𝑋𝑖 + 𝑋𝑗] = 𝑛(𝑝𝑖 + 𝑝 𝑗), Var(𝑋𝑖) = 𝑛𝑝𝑖(1 − 𝑝𝑖), Var(𝑋𝑖 + 𝑋𝑗) = 𝑛(𝑝𝑖 + 𝑝 𝑗) (1 − 𝑝𝑖 − 𝑝 𝑗). 再利用 Var(𝑋𝑖 + 𝑋𝑗) = Var(𝑋𝑖) + Var(𝑋𝑗) + 2Cov(𝑋𝑖 , 𝑋𝑗), 得 Cov(𝑋𝑖 , 𝑋𝑗) = −𝑛𝑝𝑖 𝑝 𝑗 , 𝜌(𝑋𝑖 , 𝑋𝑗) = −𝑛𝑝𝑖 · 𝑛𝑝 𝑗 p 𝑛𝑝𝑖(1 − 𝑝𝑖)𝑛𝑝 𝑗(1 − 𝑝 𝑗) = − r 𝑝𝑖 𝑝 𝑗 (1 − 𝑝𝑖) (1 − 𝑝 𝑗)