USTC概率论习题课讲义第1章基本内容6对面坐的概率：P(Ai*.AiA+**.AS)=P(Ai,)P(AizA,)..P(Ai/Ai,*.Aik-)P(Ai....AAi**+Ai)11(n-k)nn-ln-(k-1)(n - k)! p(n-k)0n!故有"=k (-1)i≥) (n - k)! p(n-k) -P(n) - P(Ai,.AiA.A)k!n!i!i-0i<<ike-1p(n) _注我们发现，limP，该值即为参数为1的泊松分布的随机变量取<值的概率（后续章节会讲k!+0到).练习1.1证明Bonferroni不等式：t≥P(Ar) - P(ArAk).Arr=ll≤r<k≤n1.3条件概率的应用条件概率的应用，关键在于如何利用已知的在给定某些事件下另一些事件发生概率的”这个条件（放大说就是利用已知的信息之间的关系）去搭建桥梁，进而解决概率问题.相对常用的工具有：引理1.4（全概率公式）设 B1,**,Bn 为 Q 的一个划分, 且 Vi,P(Bi) > 0, 则nP(A) =P(B,)P(A IB,)i=1引理1.5（贝叶斯公式）设 A1,A2,*,An 为 Q 的一个划分, P(A;)> 0, Vi, 则当 P(B)> 0 时有:P(A,)P(B |A,)P(A)P(BA,)P(Ai |B) =-I P(A)P(BIA)P(B)V引理1.6设 P(A1A2 .. An-1)>0,则有P(A)A2***An) =P(A)P(A2|A)P(A3|AA2)+-P(An|AA2**+An-1)注若涉及到未知的含参整变量，常常利用条件概率得到递推关系，转化成数列递推方法求解例题1.7A与B两个小孩从自已装有红与黄两种颜色积木的袋子里各摸出一块，A摸出红色与黄色的概率分别是0.8与0.2,B摸出红色与黄色的概率分别是0.9与0.1.现有一块红色积木，求其为A取出的概率解记事件X表示积木是由A摸出的，事件Y表示摸出的积木是红色的.则有80.8-0.5P(YX)P(X)P(XY) = :P(YIX)P(X) + P(Y|XC)P(X)= 170.8.0.5+0.9.0.5
USTC 概率论习题课讲义 第 1 章 基本内容 6 对面坐的概率: P(𝐴𝑖1 · · · 𝐴𝑖𝑘 𝐴 𝑐 𝑖𝑘+1 · · · 𝐴 𝑐 𝑖𝑛 ) = P(𝐴𝑖1 )P(𝐴𝑖2 |𝐴𝑖1 ) · · · P(𝐴𝑖𝑘 |𝐴𝑖1 · · · 𝐴𝑖𝑘−1 )P(𝐴𝑖 𝑐 𝑘+1 · · · 𝐴 𝑐 𝑖𝑛 |𝐴𝑖1 · · · 𝐴𝑖𝑘 ) = 1 𝑛 1 𝑛 − 1 · · · 1 𝑛 − (𝑘 − 1) 𝑃 (𝑛−𝑘) 0 = (𝑛 − 𝑘)! 𝑛! 𝑃 (𝑛−𝑘) 0 故有 𝑃 (𝑛) 𝑘 = ∑ 𝑖1<···<𝑖𝑘 P(𝐴𝑖1 · · · 𝐴𝑖𝑘 𝐴 𝑐 𝑖𝑘+1 · · · 𝐴 𝑐 𝑖𝑛 ) = 𝑛 𝑘 (𝑛 − 𝑘)! 𝑛! 𝑃 (𝑛−𝑘) 0 = 1 𝑘! ∑𝑛−𝑘 𝑖=0 (−1) 𝑖 𝑖! . 注 我们发现, lim 𝑛→+∞ 𝑃 (𝑛) 𝑘 = e −1 𝑘! , 该值即为参数为 1 的泊松分布的随机变量取 𝑘 值的概率 (后续章节会讲 到). 练习 1.1 证明 Bonferroni 不等式: P Ø𝑛 𝑟=1 𝐴𝑟 ! ⩾ ∑𝑛 𝑟=1 P(𝐴𝑟 ) − ∑ 1⩽𝑟<𝑘⩽𝑛 P(𝐴𝑟 ∩ 𝐴𝑘 ). 1.3 条件概率的应用 条件概率的应用, 关键在于如何利用已知的” 在给定某些事件下另一些事件发生概率的”这个条件 (放大说就是利用已知的信息之间的关系) 去搭建桥梁, 进而解决概率问题. 相对常用的工具有: 引理 1.4 (全概率公式) ♥ 设 𝐵1, · · · , 𝐵𝑛 为 Ω 的一个划分, 且 ∀𝑖, P(𝐵𝑖) > 0, 则 P(𝐴) = ∑𝑛 𝑖=1 P(𝐵𝑖)P(𝐴 | 𝐵𝑖) 引理 1.5 (贝叶斯公式) ♥ 设 𝐴1, 𝐴2, · · · , 𝐴𝑛 为 Ω 的一个划分, P(𝐴𝑖) > 0, ∀𝑖, 则当 P(𝐵) > 0 时有: P(𝐴𝑖 | 𝐵) = P(𝐴𝑖)P(𝐵 | 𝐴𝑖) P(𝐵) = P(𝐴𝑖)P(𝐵 | 𝐴𝑖) ∑𝑛 𝑗=1 P(𝐴𝑗)P(𝐵 | 𝐴𝑗) 引理 1.6 ♥ 设 P(𝐴1𝐴2 · · · 𝐴𝑛−1) > 0, 则有 P(𝐴1𝐴2 · · · 𝐴𝑛) = P(𝐴1)P(𝐴2|𝐴1)P(𝐴3|𝐴1𝐴2) · · · P(𝐴𝑛|𝐴1𝐴2 · · · 𝐴𝑛−1) 注 若涉及到未知的含参整变量, 常常利用条件概率得到递推关系, 转化成数列递推方法求解. 例题 1.7 𝐴 与 𝐵 两个小孩从自己装有红与黄两种颜色积木的袋子里各摸出一块, 𝐴 摸出红色与黄色的概 率分别是 0.8 与 0.2, 𝐵 摸出红色与黄色的概率分别是 0.9 与 0.1. 现有一块红色积木, 求其为 𝐴 取出的概 率. 解 记事件 𝑋 表示积木是由 𝐴 摸出的, 事件 𝑌 表示摸出的积木是红色的. 则有 P(𝑋|𝑌) = P(𝑌 |𝑋)P(𝑋) P(𝑌 |𝑋)P(𝑋) + P(𝑌 |𝑋𝑐 )P(𝑋𝑐 ) = 0.8 · 0.5 0.8 · 0.5 + 0.9 · 0.5 = 8 17
USTC概率论习题课讲义第1章基本内容7例题1.8设有甲和乙两个罐子，甲罐中有m个红球和n个黑球，乙罐中有n个红球和m个黑球，且m>n.随机选取一个罐子再从中随机抽取一球，发现为红球，将其放回后并摇若再次在该罐中随机抽取一球，问该球仍为红色的概率是否比；大？解记事件X表示球是由甲取出的，事件R1表示第一次取出的球是红球，事件R2表示第二次取出的球是红球.则有P(RR2)_ P(RiR2/X)P(X)+P(RiR2/Xc)P(X)_((mn)2+(mn))m2+n21P(R2|R1) =(m+n)2>2P(RI)-P(Ri|X)P(X) + P(Ri|Xc)P(XC)1(mn +mn)这里不能取等是因为m>n.例题1.9平面上有n个不同的点，编号分别为1,2，.·，n.现有一个质点在这些点上做随机游动，假设每次它在某点上停留片刻之后就会在其余所有点中等概率选择一个并移动到该点上设其初始位置为点1上，求它在第一次返回此点之前访问过点2的概率，解设所求概率对应的事件C1，事件A；表示在初始位置为点i下，第一次返回点1之前访问过点2（访问过的点包括初始位置），事件Bi表示初始位置为点i下首次到j.则有P(C1) = P(B12)P(Ci|B12) + P(B1k)P(CI|B1k) = P(B12)P(A2) + P(B1k)P(Ak)k=3k=3P(A2) + n-2h1P(Akn-1n-l/n-2P(A3).n-1n-1n由对称性知,P(A3)=P(AS)=所以P(A1)=22(n - 1)例题1.10甲乙两坛子中各装一只白球和一只黑球，从两坛中各取出一球交换后放入另一坛中，记事件An，Bn,Cn分别表示第n次交换后甲坛的白球数是2,1,0,记pn,qn，rn表示其对应的概率，求pn，qn,rn的关系式，并讨论当n一+oo时的情形解我们有P(Bn) = Pn+1 = P(An+1) = P(An+1/An)P(An) +P(An+1|Bn)P(Bn) +P(An+1/Cn)P(Cn) =49折4类似地，有qn+1 = P(Bn+1) = P(Bn+1/An)P(An)+ P(Bn+1|Bn)P(Bn)+P(Bn+1/Cn)P(Cn)=P(An)+2P(Bn)+P(Cn)1=pn+jqn+rn.rn+1 = IP(An+1) = P(Cn+1/An)P(An) + P(Cn+1/Bn)P(Bn) + P(Cn+1/Cn)P(Cn) :P(Bn)=4qn41，消去pn，rn，得将上述三式联立，利用Q0=1,91=211(1-(2(n =4n-1) = n=qn+1-qn=PF进而pn =rn=(-(-))
USTC 概率论习题课讲义 第 1 章 基本内容 7 例题 1.8 设有甲和乙两个罐子, 甲罐中有 𝑚 个红球和 𝑛 个黑球, 乙罐中有 𝑛 个红球和 𝑚 个黑球, 且 𝑚 > 𝑛. 随机选取一个罐子再从中随机抽取一球, 发现为红球, 将其放回后并摇匀. 若再次在该罐中随机抽取一 球, 问该球仍为红色的概率是否比 1 2 大? 解 记事件 𝑋 表示球是由甲取出的, 事件 𝑅1 表示第一次取出的球是红球, 事件 𝑅2 表示第二次取出的球 是红球. 则有 P(𝑅2|𝑅1) = P(𝑅1𝑅2) P(𝑅1) = P(𝑅1𝑅2|𝑋)P(𝑋) + P(𝑅1𝑅2|𝑋 𝑐 )P(𝑋 𝑐 ) P(𝑅1|𝑋)P(𝑋) + P(𝑅1|𝑋𝑐 )P(𝑋𝑐 ) = 1 2 ( ( 𝑚 𝑚+𝑛 ) 2 + ( 𝑛 𝑚+𝑛 ) 2 ) 1 2 ( 𝑚 𝑚+𝑛 + 𝑛 𝑚+𝑛 ) = 𝑚 2 + 𝑛 2 (𝑚 + 𝑛) 2 > 1 2 . 这里不能取等是因为 𝑚 > 𝑛. 例题 1.9 平面上有 𝑛 个不同的点, 编号分别为 1, 2, · · · , 𝑛. 现有一个质点在这些点上做随机游动, 假设每 次它在某点上停留片刻之后就会在其余所有点中等概率选择一个并移动到该点上. 设其初始位置为点 1 上, 求它在第一次返回此点之前访问过点 2 的概率. 解 设所求概率对应的事件 𝐶1, 事件 𝐴𝑖 表示在初始位置为点 𝑖 下, 第一次返回点 1 之前访问过点 2 (访问 过的点包括初始位置), 事件 𝐵𝑖 𝑗 表示初始位置为点 𝑖 下首次到 𝑗. 则有 P(𝐶1) = P(𝐵12)P(𝐶1|𝐵12) +∑𝑛 𝑘=3 P(𝐵1𝑘 )P(𝐶1|𝐵1𝑘 ) = P(𝐵12)P(𝐴2) +∑𝑛 𝑘=3 P(𝐵1𝑘 )P(𝐴𝑘 ) = 1 𝑛 − 1 P(𝐴2) + 𝑛 − 2 𝑛 − 1 P(𝐴𝑘 ) = 1 𝑛 − 1 + 𝑛 − 2 𝑛 − 1 P(𝐴3). 由对称性知, P(𝐴3) = P(𝐴 𝑐 3 ) = 1 2 . 所以 P(𝐴1) = 𝑛 2(𝑛 − 1) . 例题 1.10 甲乙两坛子中各装一只白球和一只黑球, 从两坛中各取出一球交换后放入另一坛中. 记事件 𝐴𝑛, 𝐵𝑛, 𝐶𝑛 分别表示第 𝑛 次交换后甲坛的白球数是 2, 1, 0, 记 𝑝𝑛, 𝑞𝑛, 𝑟𝑛 表示其对应的概率, 求 𝑝𝑛, 𝑞𝑛, 𝑟𝑛 的关系式, 并讨论当 𝑛 → +∞ 时的情形. 解 我们有 𝑝𝑛+1 = P(𝐴𝑛+1) = P(𝐴𝑛+1|𝐴𝑛)P(𝐴𝑛) + P(𝐴𝑛+1|𝐵𝑛)P(𝐵𝑛) + P(𝐴𝑛+1|𝐶𝑛)P(𝐶𝑛) = 1 4 P(𝐵𝑛) = 1 4 𝑞𝑛 类似地, 有 𝑞𝑛+1 = P(𝐵𝑛+1) = P(𝐵𝑛+1|𝐴𝑛)P(𝐴𝑛) + P(𝐵𝑛+1|𝐵𝑛)P(𝐵𝑛) + P(𝐵𝑛+1|𝐶𝑛)P(𝐶𝑛) = P(𝐴𝑛) + 1 2 P(𝐵𝑛) + P(𝐶𝑛) = 𝑝𝑛 + 1 2 𝑞𝑛 + 𝑟𝑛. 𝑟𝑛+1 = P(𝐴𝑛+1) = P(𝐶𝑛+1|𝐴𝑛)P(𝐴𝑛) + P(𝐶𝑛+1|𝐵𝑛)P(𝐵𝑛) + P(𝐶𝑛+1|𝐶𝑛)P(𝐶𝑛) = 1 4 P(𝐵𝑛) = 1 4 𝑞𝑛 将上述三式联立, 利用 𝑞0 = 1, 𝑞1 = 1 2 , 消去 𝑝𝑛, 𝑟𝑛, 得 𝑞𝑛+1 − 𝑞𝑛 = − 1 2 (𝑞𝑛 − 𝑞𝑛−1) =⇒ 𝑞𝑛 = 2 3 1 − − 1 2 𝑛+1 ! 进而 𝑝𝑛 = 𝑟𝑛 = 1 6 1 − − 1 2 𝑛
USTC概率论习题课讲义第1章基本内容8令n→+00，可得=limPn=.r:=lim.rn=，q:=,lim.qn=练习1.2甲、乙两人轮流抛掷一枚均匀的殷子甲先掷，一直到掷出了1点，交给乙掷，而到乙掷出了1点，再交给甲掷，并如此一直下去.求第n次抛掷时由甲掷的概率练习1.3100名乘客登上一架正好有100个座位的飞机，每名乘客对应一个座位.第一位乘客先随机选择一个座位坐.第二位乘客如果自己的座位空着就坐自己的座位.否则就在其他空余的座位中随机选择一个座位坐.第三位乘客如果自己的座位空着就坐自已的座位，否则就在其他空余的座位中随机选择一个座位坐.这个过程一直持续到所有的100名乘客都登机为止.求最后一名乘客坐自己的座位的概率1.4随机变量与分布函数定义1.2(2,F,P),X:Q - R,若 Vx ER 有 (W EQ : X(w) ≤x) EF,则称 X 为 (2,F,P) 上的一个随机变量.注一般用（X≤x)表示（wE2：X（w）≤x),但是我们不能“忘记”样本空间定义1.3设X为（,F,P）上随机变量，则称函数Fx(x)=P（(X≤x))为X的（概率）分布函数区分随机变量&分布函数：若已知随机变量，我们必然能得到其分布函数.反之存在性也满足（见后）但不能唯一确定！分布函数会“忘记”样本空间！下面一个简单的例子即可说明：例题1.11掷一枚均匀硬币.2=(H,T),随机变量X,Y满足X(H)=1,X(T)=-1,Y(H)=-1,Y(T)=1我们有0.x<-1,Fx(x) = Fy(x) =-1≤x<1,2x≥1,但是X+Y.回顾一下分布函数的性质：引理1.7设X是随机变量，F(x）为其分布函数，则有(1) 单调逆增: 若x<y,则 F(x)≤ F(y),(2)lim F(x) = 0, lim F(x) = 1,(3)右连续: F(x+0)= F(x),M事实上，满足上述三条引理的一元函数称为分布函数F(x)，可以找到一个概率空间及随机变量X，使得X的分布函数是F(x).X~U(0,1)(O,I)上均匀分布),当分布函数F严格递增时,Y=F-1(X)有分布函数F.P(Y≤) = P(F-(X) ≤)=P(X ≤ F(0) (R)E(0 F()
USTC 概率论习题课讲义 第 1 章 基本内容 8 令 𝑛 → +∞, 可得 𝑝 := lim 𝑛→+∞ 𝑝𝑛 = 1 6 , 𝑟 := lim 𝑛→+∞ 𝑟𝑛 = 1 6 , 𝑞 := lim 𝑛→+∞ 𝑞𝑛 = 2 3 . 练习 1.2 甲、乙两人轮流抛掷一枚均匀的骰子. 甲先掷, 一直到掷出了 1 点, 交给乙掷, 而到乙掷出了 1 点, 再交给甲掷, 并如此一直下去. 求第 𝑛 次抛掷时由甲掷的概率. 练习 1.3 100 名乘客登上一架正好有 100 个座位的飞机, 每名乘客对应一个座位. 第一位乘客先随机选 择一个座位坐. 第二位乘客如果自己的座位空着就坐自己的座位, 否则就在其他空余的座位中随机选择 一个座位坐. 第三位乘客如果自己的座位空着就坐自己的座位, 否则就在其他空余的座位中随机选择一 个座位坐. 这个过程一直持续到所有的 100 名乘客都登机为止. 求最后一名乘客坐自己的座位的概率. 1.4 随机变量与分布函数 定义 1.2 ♣ (Ω, F, P), 𝑋 : Ω → R, 若 ∀𝑥 ∈ R 有 {𝜔 ∈ Ω : 𝑋(𝜔) ≤ 𝑥} ∈ F, 则称 𝑋 为 (Ω, F, P) 上的一个随机变 量. 注 一般用 {𝑋 ≤ 𝑥} 表示 {𝜔 ∈ Ω : 𝑋(𝜔) ≤ 𝑥}, 但是我们不能 “忘记” 样本空间. 定义 1.3 ♣ 设 𝑋 为 (Ω, F, P) 上随机变量, 则称函数 𝐹𝑋 (𝑥) = P ({𝑋 ≤ 𝑥}) 为 𝑋 的(概率) 分布函数. 区分随机变量 & 分布函数: 若已知随机变量, 我们必然能得到其分布函数. 反之存在性也满足 (见后), 但不能唯一确定! 分布函数会 “忘记” 样本空间! 下面一个简单的例子即可说明: 例题 1.11 掷一枚均匀硬币.Ω = {𝐻, 𝑇}, 随机变量 𝑋, 𝑌 满足 𝑋(𝐻) = 1, 𝑋(𝑇) = −1, 𝑌 (𝐻) = −1, 𝑌 (𝑇) = 1. 我们有 𝐹𝑋 (𝑥) = 𝐹𝑌 (𝑥) = 0, 𝑥 < −1, 1 2 , −1 ⩽ 𝑥 < 1, 1, 𝑥 ⩾ 1, 但是 𝑋 ≠ 𝑌. 回顾一下分布函数的性质: 引理 1.7 ♥ 设 𝑋 是随机变量, 𝐹(𝑥) 为其分布函数, 则有 (1) 单调递增: 若 𝑥 < 𝑦, 则 𝐹(𝑥) ≤ 𝐹(𝑦), (2) lim 𝑥→−∞ 𝐹(𝑥) = 0, lim 𝑥→+∞ 𝐹(𝑥) = 1, (3) 右连续: 𝐹(𝑥 + 0) = 𝐹(𝑥). 事实上, 满足上述三条引理的一元函数称为分布函数 𝐹(𝑥), 可以找到一个概率空间及随机变量 𝑋, 使得 𝑋 的分布函数是 𝐹(𝑥). 𝑋 ∼ 𝑈(0, 1)((0,1) 上均匀分布), 当分布函数 𝐹 严格递增时, 𝑌 = 𝐹 −1 (𝑋) 有分布函数 𝐹. P(𝑌 ≤ 𝑦) = P(𝐹 −1 (𝑋) ≤ 𝑦) = P(𝑋 ≤ 𝐹(𝑦)) 𝐹 (R) ⊆ (0,1) ============= 𝐹(𝑦)
USTC概率论习题课讲义第1章 基本内容9更一般地，对分布函数F(x),定义F-1() = sup(x / F(x) <y), y (0, 1)显然F-1()单调递增，且我们有如下事实：设F为分布函数，X~U(O,1),则Y=F-1(X)的分布函数为F.问题: P(F-1(X) ≤) 二 P(X≤F(y))提示只需验证F-1(y)>x一y>F(x).一：3xo,使得x<xo<F-1(y).利用F-1(y)上确界的定义知,xo E (x |F(x) <y).再利用F的单调性知,F(x)≤F(xo)<y：利用F的右连续性知，3>0.使得y>F(x+0).再利用F-1的定义知,F-(y)≥x+>x.注此结论表明均匀分布可用来产生其他分布，在随机模拟中相当重要，蒙特卡洛模拟：g：[0,1]→[0,1]连续函数，要计算1=g(x)dx,其中(X,Y)为[0,1]×[0,1]上均匀分布,A=(x,y):0≤y≤g(x),xE[0,1]).向[0,1]?上随机投点N次,落入A的次数记为NA,即Y≤g(x)时（X,Y)“成功”.频率稳定性建议：NA→I = P(A),N例题1.12（Buffon问题）平面上有间距为2平行线，投长为1的针，试求针与线相交的概率？解x表示针的中点与最近一条平行线的距离，表示针与线夹角，明显0≤x≤1,0≤≤元，G = ((0,x) : e [0, 元],x E [0, 1]]1A表示针与线相交：A=(a.x) e G : xs2sin)[AI11dxde =P(A) =GI定义1.4以连续型为例.设随机向量(X,Y)联合密度f(x,y),则X的边缘密度：fx(x) =f(x, y)dy,边缘分布：Fx(x) = lim F(x,y) =f(x, v)dv给定X=x(fx(x)>0)下Y的条件密度：(xs兴(关于y构成密度函数)frix(y /x) =fx(x)条件分布：yf(x.dvFyix(y I x)fx(x)
USTC 概率论习题课讲义 第 1 章 基本内容 9 更一般地, 对分布函数 𝐹(𝑥), 定义 𝐹 −1 (𝑦) = sup{𝑥 | 𝐹(𝑥) < 𝑦}, 𝑦 ∈ (0, 1) 显然 𝐹 −1 (𝑦) 单调递增, 且我们有如下事实: 设 𝐹 为分布函数, 𝑋 ∼ 𝑈(0, 1), 则 𝑌 = 𝐹 −1 (𝑋) 的分布函数为 𝐹. 问题: P(𝐹 −1 (𝑋) ≤ 𝑦) ? === P(𝑋 ≤ 𝐹(𝑦)) 提示 只需验证 𝐹 −1 (𝑦) > 𝑥 ⇐⇒ 𝑦 > 𝐹(𝑥). =⇒: ∃𝑥0, 使得 𝑥 < 𝑥0 < 𝐹−1 (𝑦). 利用 𝐹 −1 (𝑦) 上确界的定义知, 𝑥0 ∈ {𝑥 | 𝐹(𝑥) < 𝑦} . 再利用 𝐹 的单调性知, 𝐹(𝑥) ⩽ 𝐹(𝑥0) < 𝑦. ⇐=: 利用 𝐹 的右连续性知, ∃𝛿 > 0, 使得 𝑦 > 𝐹(𝑥 + 𝛿). 再利用 𝐹 −1 的定义知, 𝐹 −1 (𝑦) ⩾ 𝑥 + 𝛿 > 𝑥. 注 此结论表明均匀分布可用来产生其他分布, 在随机模拟中相当重要. 蒙特卡洛模拟: 𝑔 : [0, 1] → [0, 1] 连续函数, 要计算 𝐼 = ˆ 1 0 𝑔(𝑥)d𝑥, 其中 (𝑋, 𝑌) 为 [0, 1] × [0, 1] 上均 匀分布, 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) : 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑔(𝑥), 𝑥 ∈ [0, 1]}. 向 [0, 1] 2 上随机投点 𝑁 次, 落入 𝐴 的次数记为 𝑁𝐴, 即 𝑌 ⩽ 𝑔(𝑥) 时 (𝑋, 𝑌) “成功” . 频率稳定性建议: 𝑁𝐴 𝑁 → 𝐼 = P(𝐴). 例题 1.12 (Buffon 问题) 平面上有间距为 2 平行线, 投长为 1 的针, 试求针与线相交的概率？ 解 𝑥 表示针的中点与最近一条平行线的距离, 𝜃 表示针与线夹角, 明显 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 1, 0 ⩽ 𝜃 ⩽ 𝜋, 𝐺 = {(𝜃, 𝑥) : 𝜃 ∈ [0, 𝜋], 𝑥 ∈ [0, 1]} 𝐴 表示针与线相交: 𝐴 := (𝜃, 𝑥) ∈ 𝐺 : 𝑥 ≤ 1 2 sin 𝜃 P(𝐴) = |𝐴| |𝐺| = 1 𝜋 ˆ 𝜋 0 ˆ 1 2 sin 𝜃 0 1d𝑥d𝜃 = 1 𝜋 定义 1.4 ♣ 以连续型为例. 设随机向量 (𝑋, 𝑌) 联合密度 𝑓 (𝑥, 𝑦), 则 𝑋 的边缘密度: 𝑓𝑋 (𝑥) = ˆ +∞ −∞ 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑦, 边缘分布: 𝐹𝑋 (𝑥) = lim 𝑦→+∞ 𝐹(𝑥, 𝑦) = ˆ 𝑥 −∞ ˆ +∞ −∞ 𝑓 (𝑥, 𝑣)d𝑣. 给定 𝑋 = 𝑥( 𝑓𝑋 (𝑥) > 0) 下 𝑌 的条件密度: 𝑓𝑌 |𝑋 (𝑦 | 𝑥) = 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑓𝑋 (𝑥) (关于𝑦构成密度函数) 条件分布: 𝐹𝑌 |𝑋 (𝑦 | 𝑥) = ˆ 𝑦 −∞ 𝑓 (𝑥, 𝑣) 𝑓𝑋 (𝑥) d𝑣
USTC概率论习题课讲义第1章基本内容10离散型下定义类似。由此可知，对随机变量X,Y，若已知Fx,r(x,y)，我们可以求得Fx(x),Fy(y)Fxy(xly),Fyix(y/x).反之Fx(x),Fy(y)书Fx,y(x,y),Fx(x),Fyix(ylx)=Fx,r(x,y)注 P(A),P(B) P(AB) = P(B)P(A|B).例题1.13二元函数1-e-x-xe-y,0<x≤y,F(x,y) =1-e-y-ye-y,0≤y≤x,(0,else是否为某随机向量（X，Y）的联合分布函数？若是，分别求出X和Y的分布函数；若不是，请说明理由解F(x,y)连续且limF(x,y)=0,limF(x,y)=1. 而x,y-→+ox,y-e"ya?Fo≤x≤y,axdy0O<y<x.a2F≥0.因此F(x.V)是一个联合分布，并有axoy1-e-x, x≥0,-e-y-ye-y, y≥0,Fx(x) = lim F(x,y) =Fr(y) = lim F(x,y) =0,X<0.0,y<0.练习1.4定义实数m成为分布函数F的中位数，若F(m-0)≤≤F(m)(1)给出[0,1]上均匀分布和二项分布Bn,的中位数：2(2）证明分布函数至少有一个中位数，且中位数集合构成一个闭区间.1.5离散型及期望方差Bernoulli分布P(X = 1) = p,P(X = 0) = 1 -p, 则E[X] = p.1 +(1-p)-0= p,B[x1 = p·12 +(1-p) ·02 = p,= Var(X)= p(1 -p)
USTC 概率论习题课讲义 第 1 章 基本内容 10 离散型下定义类似. 由此可知, 对随机变量 𝑋, 𝑌, 若已知 𝐹𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦), 我们可以求得 𝐹𝑋 (𝑥), 𝐹𝑌 (𝑦), 𝐹𝑋 |𝑌 (𝑥|𝑦), 𝐹𝑌 |𝑋 (𝑦|𝑥). 反之, 𝐹𝑋 (𝑥), 𝐹𝑌 (𝑦) ⇏ 𝐹𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦), 𝐹𝑋 (𝑥), 𝐹𝑌 |𝑋 (𝑦|𝑥) ⇒ 𝐹𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦). 注 P(𝐴), P(𝐵) ⇏ P(𝐴𝐵) = P(𝐵)P(𝐴|𝐵). 例题 1.13 二元函数 𝐹(𝑥, 𝑦) = 1 − e −𝑥 − 𝑥e −𝑦 , 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 𝑦, 1 − e −𝑦 − 𝑦e −𝑦 , 0 ⩽ 𝑦 ⩽ 𝑥, 0, else 是否为某随机向量 (𝑋, 𝑌) 的联合分布函数? 若是, 分别求出 𝑋 和 𝑌 的分布函数; 若不是, 请说明理由. 解 𝐹(𝑥, 𝑦) 连续且 lim 𝑥,𝑦→−∞ 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0, lim 𝑥,𝑦→+∞ 𝐹(𝑥, 𝑦) = 1. 而 𝜕 2𝐹 𝜕𝑥𝜕𝑦 = e −𝑦 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 𝑦, 0 0 ⩽ 𝑦 ⩽ 𝑥. 𝜕 2𝐹 𝜕𝑥𝜕𝑦 ⩾ 0. 因此 𝐹(𝑥, 𝑦) 是一个联合分布, 并有 𝐹𝑋 (𝑥) = lim 𝑦→+∞ 𝐹(𝑥, 𝑦) = 1 − e −𝑥 , 𝑥 ⩾ 0, 0, 𝑥 < 0. 𝐹𝑌 (𝑦) = lim 𝑥→+∞ 𝐹(𝑥, 𝑦) = 1 − e −𝑦 − 𝑦e −𝑦 , 𝑦 ⩾ 0, 0, 𝑦 < 0. 练习 1.4 定义实数 𝑚 成为分布函数 𝐹 的中位数, 若 𝐹(𝑚 − 0) ⩽ 1 2 ⩽ 𝐹(𝑚). (1) 给出 [0, 1] 上均匀分布和二项分布 𝐵 𝑛, 1 2 的中位数; (2) 证明分布函数至少有一个中位数, 且中位数集合构成一个闭区间. 1.5 离散型及期望方差 Bernoulli 分布 P(𝑋 = 1) = 𝑝, P(𝑋 = 0) = 1 − 𝑝, 则 E[𝑋] = 𝑝 · 1 + (1 − 𝑝) · 0 = 𝑝, E[𝑋 2 ] = 𝑝 · 1 2 + (1 − 𝑝) · 0 2 = 𝑝, =⇒ Var(𝑋) = 𝑝(1 − 𝑝)