单位列向量: 0 0 0 0 设A是一个m×n矩阵,则Aek等于A的 第k列。 f=(1,0,0,…,0),2=(0,1,0,…,0),…,fn=(0,0,0,…,1) 叫做单位行向量 设A是一个n×p矩阵,则fA等于A的 第k行
ü þµ e1 = 1 0 0 . . . 0 , e2 = 0 1 0 . . . 0 , · · · , en = 0 0 0 . . . 1 . A ´ m × n Ý §K Aek u A 1 k " f1 = (1, 0, 0, . . . , 0), f2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , fn = (0, 0, 0, . . . , 1) ü 1þ" A ´ n × p Ý §K fkA u A 1 k 1" 11
对角阵: d10 00 可记为diag(d1,…,dn).例如dag(1,,1)就 是In 设A是一个n×p矩阵,则DA的第k行是A 的第k行乘以dk 设C是一个p×n矩阵,则CD的第k列 是C的第k列乘以dk 将In的(,)元素换成一个非零数c得到的m 阶方阵称为第二类初等矩阵,记作P(c) 左乘P(c)的效果是将第i行乘c而保持其他 行不变 右乘P(c)的效果是将第列乘c而保持其他 列不变
é µ D = d1 0 · · · 0 0 d2 · · · 0 · · · 0 0 · · · dn , P diag(d1, . . . , dn). ~X diag(1, . . . , 1) Ò ´ In. A ´ n×p Ý §K DA 1 k 1´ A 1 k 1¦± dk. C ´ p × n Ý §K CD 1 k ´ C 1 k ¦± dk. ò In (i, i) ¤"ê c n ¡1aÐ Ý §P Pi(c). ¦ Pi(c) J´ò1 i 1¦ c ±Ù¦ 1ØC" m¦ Pi(c) J´ò1 i ¦ c ±Ù¦ ØC" 12
设i≠j.将n的第讠列和第j列对换后所得 的n阶方阵称为第一类初等矩阵,记作P 左乘P;的效果是将第行和第j行互换 右乘P的效果是将第讠列和第j列互换
i 6= j. ò In 1 i Ú1 j é¤ n ¡1aÐ Ý §P Pij. ¦ Pij J´ò1 i 1Ú1 j 1p" m¦ Pij J´ò1 i Ú1 j p" 13
设i≠j.将In的(1,)元素0换成一个非零 数c得到的n阶方阵称为第三类初等矩阵,记 作T( 左乘T(c)的效果是将第i行乘c后加入第j 行 右乘T(c)的效果是将第j列乘c后加入第i 列
i 6= j. ò In (j, i) 0 ¤" ê c n ¡1naÐ Ý §P Tij(c). ¦ Tij(c) J´ò1 i 1¦ c \\1 j 1" m¦ Tij(c) J´ò1 j ¦ c \\1 i " 14
方阵的行列式 设A是一个方阵,它的行列式记作|A,也可 记成det(A) 例1.设 x2了 则V≠0当且仅当x1,…,xn两两不同。 定理1.设A,B是两个n阶方阵,则|AB AB 证明留在将来。先来讨论应用
1ªµ A ´ §§1ªP |A|, P¤ det(A). ~1. V = 1 x1 x 2 1 · · · x n−1 1 1 x2 x 2 2 · · · x n−1 2 · · · 1 xn x 2 n · · · x n−1 n . K |V | 6= 0 = x1, . . . , xn üüØÓ" ½n1. A, B ´ü n §K |AB| = |A||B|. y²33ò5"k5?ØA^" 15