几个需要注意的地方: 1)AB一般不等于BA 2)两个非零矩阵的积可能等于零,例如 01 00 00八(00 3)AB=AC不能推出B=C
AI5¿/µ 1¤AB Ø u BA. 2¤ü"Ý ÈU u"§~Xµ 0 1 0 0 0 1 0 0 = 0 0 0 0 . 3) AB = AC ØUíÑ B = C. 6
矩阵A的转置记作A或A 性质: 1)(A)=A 2)(A+B)=A+B. 3)(cA)=c(A) 4)(AB)=BA 证明:设A是m×p矩阵,B是p×m矩阵。 AB的(,j元素是∑=1akbk.因此(AB)y 的(,j)元素是∑k=1aib B′的(,)元素是bA的(,)元素是ai 因此BA的(,j)元素是∑=1bak,口
Ý A =P A0 ½ AT . 5µ 1) (A0 ) 0 = A. 2) (A + B) 0 = A0 + B0 . 3) (cA) 0 = c(A0 ). 4) (AB) 0 = B0A0 . y²µ A ´ m×p Ý §B ´ p×n Ý " AB (i, j)´ Pp k=1 aikbkj. Ïd (AB) 0 (i, j)´ Pp k=1 ajkbki. B0 (i, j) ´ bji. A0 (i, j) ´ aji. Ïd B0A0 (i, j) ´ Pp k=1 bkiajk. ✷ 7
定义1.若A=A,则A称为对称矩阵。若A A,则A称为反对称(或斜对称)矩阵 定义2.如果一个矩阵A=(a)中的元素a 全是复(实、整)数,则A称为一个复(实 整)矩阵。记A=(可),称为A的共轭
½Â1. e A0 = A, K A ¡é¡Ý "e A0 = −A, K A ¡é¡£½é¡¤Ý " ½Â2. XJÝ A = (aij) ¥ aij ´E£¢!¤ê§KA ¡E£¢! ¤Ý "PA = (aij), ¡ A Ý" 8
例:(p.61:10)证明任一n阶方阵A可表示成 个对称阵和一个反对称阵的和。 证明:令 B=(A+A),C=(4-A) 则 B=+A)=B,C≈1 因此B是对称阵,而C是反对称阵。 然而A=B+C.口
~µ(p.61:10) y²? n A L«¤ é¡ Úé¡ Ú" y²µ- B = 1 2 (A + A 0 ), C = 1 2 (A − A 0 ). K B 0 = 1 2 (A 0 + A) = B, C0 = 1 2 (A 0 − A) = −C. Ïd B ´é¡ § C ´é¡ " , A = B + C. ✷ 9
作业: p.61:5,6.8,9,12,15 10
µ p.61: 5,6,8,9,12,15 10