《数学分析》第十八讲 Green 公式、平面有势场

第五章向量分析 第五章向量分析 5-2 Green公式、平面有势场 5-2-1 Green公式 5-2-2第二型曲线积分与路径无关性 5-2-3势函数与有势场 第十八讲 Green公式、平面有势场 课后作业: 阅读:第五章第二、三节: Green公式pp.152---164 预习:第五章第四节:第二型曲面积分16--172 作业:习题2:pp.158-159:1,(2),(4),(6),(7);2;4;5 习题3:pp.164--165:1,(3),(4);;45. 5-2 Green公式、平面有势场 本节专门讨论平面向量场: F(x,y)=X(x, y)+Y(x,y)] 5-2-1 Green公式 设F:DCR2→R2,F(x,y)=(x,y)i+y(x,y) 其中D是一个有界区域, 域与边界定向的关系:边界D是逐段光滑的简单有向闭曲线(曲 线不自相交),其正向是为使区域D总在左侧 定理(Green公式):设 (1)DCR是一个有界闭区域,其边界D是逐段光滑的有向 的简单闭曲线; 2)F(x,y)=X(x,y)i+(x,y)在D上连续、在内部连续 可微 则有,Fdi=xx+dy=xy -)dxdy aD 证明:根据结论: rOX Y=0= Xdx =-r, dxdy, y(x) B aY =0= fYdy =-dxdy, () a x a bx 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 第五章 向量分析 5-2 Green 公式、平面有势场 5-2-1 Green 公式 5-2-2 第二型曲线积分与路径无关性 5-2-3 势函数与有势场 第十八讲 Green 公式、平面有势场 课后作业： 阅读：第五章 第二、三节: Green 公式 pp. 152---164 预习：第五章 第四节: 第二型曲面积分 pp. 165---172 作业: 习题 2: pp.158---159 : 1, (2), (4), (6), (7); 2; 4; 5. 习题 3: pp.164---165 : 1, (3), (4); ; 4; 5. 5-2 Green 公式、平面有势场 本节专门讨论平面向量场: F x y X x y i Y x y j    ( , ) = ( , ) + ( , ) 5-2-1 Green 公式 ⚫ 设 2 2 F : D  R → R  , F x y X x y i Y x y j    ( , ) = ( , ) + ( , ) 其中 D 是一个有界区域, 域与边界定向的关系：边界 D 是逐段光滑的简单有向闭曲线(曲 线不自相交), 其正向是为使区域 D 总在左侧. ⚫ 定理 (Green 公式): 设 (1) D  R 2 是一个有界闭区域,其边界 D 是逐段光滑的有向 的简单闭曲线; (2) F x y X x y i Y x y j    ( , ) = ( , ) + ( , ) 在 D 上连续、在内部连续 可微. 则有, dxdy y X x Y F dl Xdx Ydy D D D ( )       = + = −       证明: 根据结论:   =  = − D D dxdy y X Y Xdx    0 ,   =  = − D D dxdy x Y X Ydy    0 , y y=y2(x) L2 A B y=y1(x) L1 a b x

第五章向量分析 因此只须分别证明以下两式 ax=-a,地y dxdy 以下只证明其中的第一式 先考虑一种简单情形,即区域D可以表示为下面的形式 <y< y()y≤n2(x) 其中y(x)y2(x)是[a,6上的连续可微函数 边界D由光滑曲线L1,L2组成 将[xd化成累次积分可以得到 dxdy dv)dx [X(xy2(x))-X(xy2(x))Jd X(xy2(x)dx-X(xy(x)x 在一般情形,即D为任意区域时,可以用辅助线将D分成几个小区 域DA3…D.其中每个区域都是上述简单情形.定理得证 等式称为Gren公式 例1:利用Grem公式用曲线积分表示平面图形的面积: xay- yar kxdh=‖do= D aa 例如对于椭圆D:x+)≤1,如果令x= acos e, y=bsmB则 σ=4xdhy=| ab cos2a=mb 例2:计算积分/=(2-2xysm(x2)+cosx2) 其中L为椭圆立+=1的右半部分.(x20) 正向为逆时针方向. 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 因此只须分别证明以下两式:     = − = D D D D dxdy x Y dxdy Ydy y X Xdx       , . 以下只证明其中的第一式. 先考虑一种简单情形,即区域 D 可以表示为下面的形式:              = ( ) ( ) ( , ) | 1 2 y x y y x a x b D x y 其中 y (x) y (x) 1 2 , 是 [a,b] 上的连续可微函数. 边界 D 由光滑曲线 1 2 L ,L 组成. 将 dxdy y X D    化成累次积分可以得到 dy dx y X dxdy y X D b a y x y x ( ) ( ) ( ) 2 1    =     = X x y x X x y x dx b a [ ( . ( )) ( . ( ))]  2 − 2 =     = + − = − 1 2 ( . ( )) ( . ( )) 2 1 D L L b a b a X x y x dx X x y x dx Xdx 在一般情形,即 D 为任意区域时,可以用辅助线将 D 分成几个小区 域 D1 ,...,Dk .其中每个区域都是上述简单情形. 定理得证. 等式称为 Green 公式. 例 1: 利用 Green 公式用曲线积分表示平面图形的面积： dxdy d D y X x Y xdy ydx D D D − = − = =          ( ) 2 1 2 1 例如对于椭圆 D : 2 2 2 2 1 x a y b +  ,如果令 x = acos, y = bsin , 则 cos . 2 0 2 xdy ab d ab D       = = =   例 2:计算积分  = − + L I (y 2xysin( x )dx cos(x )dy, 2 2 2 其中 L 为椭圆 2 2 2 2 1 x a y b + = 的右半部分.(x  0) , 正向为逆时针方向

第五章向量分析 解:设L是起,终点分别为A(0,-b),B(0,b)的直线 D表示右半椭圆x+2≤1(x≥0).则由Gren公式得到 J(2-2xysin(x2)dr+cos(x2)dy & os(2-o (--2xysin( x lardy ∫j2b=-2 b[brsin eabrdrde 2ab sin 00 r2dr=o 2 是1=0y2-2ym(x)+ox)==21 例3:计算积分「 xdy- ydx 其中L为任何包含原点的光滑简单 闭曲面,逆时针方向 解:设L为圆周x2+y2=r2,逆时针为正r为充分小而使其位于L 之内。记X= x+1,显然有:除原点外 aX a 对于L与L所夹环形区域D及其边界,用 Green公式得到 xdy-ydx 2x r(cos+sin 0) d6=2x 例4:设平面流场,流速向量 U(x.,_((x d C是一条闭的光滑的有向曲线 正方是逆时钟方向 求流出这闭曲线之流量 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 解:设 L1 是起,终点分别为 A(0,−b),B(0,b) 的直线. D 表示右半椭圆 2 2 2 2 1 x a y b +  (x  0) . 则由 Green 公式得到 y x y x dxdy y x x y x y x dx x dy D L L [ cos( ) ( 2 sin( ))] ( 2 sin( ) cos( ) 2 2 2 2 2 2 1 = − − − +   −     =   − = − D D 2ydxdy 2ab brsin abrdrd.   − = − = 2 2 1 0 2 2 2 sin 0   ab d r dr 于是 ( 2 sin( )) cos( ) 2 . 2 2 2 1   − = − + = = b L b I y x y x dx x dy dy b 例 3:计算积分  + − L x y xdy ydx 2 2 .其中 L 为任何包含原点的光滑简单 闭曲面,逆时针方向. 解: 设 L1 为圆周 2 2 2 x +y = r ,逆时针为正.r 为充分小而使其位于 L 之内。记 X y x y Y x x y = − + = + 2 2 2 2 , , 显然有：除原点外     X y Y x − = 0. 对于 L 与 L1 所夹环形区域 D 及其边界，用 Green 公式得到 0 .  2 2   2 2 + − = + + − L D L x y xdy ydx dxdy x y xdy ydx = 2 . 2 (cos sin ) 0 2 2 2 2      = +  d r r 例 4: 设平面流场，流速向量 ( ) ( ) ( )         = v x y u x y U x y , , ,  , C 是一条闭的光滑的有向曲线， 正方是逆时钟方向. 求流出这闭曲线之流量。 y dl dn D x

第五章向量分析 解:流过小弧段而=j-di J·而=J-(x,y+ (u,y)dx - dx 直观的解释: 没过边长为dx,dy的长方形的流量 au av →Q= 5-2-2第二型曲线积分与路径无关性 平面曲线积分与路线无关 设F=X(x,y)+Y(x,y)j.平面区域D上的连续向量场。 如果曲线积分「Fd只与曲线的起点和终点有关,而与曲 线L本身的路线无关,则称该积分与路线无关 积分与路线无关的向量场称为有势场或保守场 ·定理:DR为区域,F=X(x,y)+Y(x,y)是D上的连续 可微的向量场,则以下命题互相等价 1).积分Fd与路线无关 (2).对于D中的任意闭曲线C,有M+地=0. (3).F=X(x,y)+Y(x,y)在D上有单值的势函数 即存在可微函数∫(x,y),使得 Vx,y)=x(x, y)i+Y(x,y)j 证明:(1)◇(2)是十分明显的。留给读者 现证:(1)→(3) (3)→(1):今有函数∫(x,y),使得 vfx,y)=x(x,yi+Y(x,y)j 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 解：流过小弧段 dn dx j dy i    = − ( ) ( )   =  = − + C C Q U dn v x, y dx u x, y dy   =            +   D dxdy y v x u 直观的解释： 没过边长为 dx,dy 的长方形的流量： dxdy y v x u dy dx y v dx dy x u dQ           +   =            +        = ,             +   = D dxdy y v x u Q 5-2-2 第二型曲线积分与路径无关性 ⚫ 平面曲线积分与路线无关: 设 F X x y i Y x y j    = ( , ) + ( , ) .平面区域 D 上的连续向量场。 如果曲线积分   L F dl   只与曲线的起点和终点有关, 而与曲 线 L 本身的路线无关, 则称该积分与路线无关. 积分与路线无关的向量场称为有势场或保守场. ⚫ 定理: D  R 2 为区域, F X x y i Y x y j    = ( , ) + ( , ) 是 D 上的连续 可微的向量场,则以下命题互相等价: (1). 积分   L F dl   与路线无关; (2). 对于 D 中的任意 闭曲线 C ,有  + = C Xdx Ydy 0. (3). F X x y i Y x y j    = ( , ) + ( , ) 在 D 上有单值的势函数, 即存在可微函数 f (x, y), 使得 f (x y) X(x y)i Y(x y)j    , = , + , . 证明: (1)  (2)是十分明显的。留给读者。 现证：(1)  (3) (3)  (1): 今有函数 f (x, y), 使得 f (x y) X(x y)i Y(x y)j    , = , + , 即     f x X x y f y = ( , ), = Y(x, y). v + dy y v   dy (u ,v) dx u+ dx x u  

第五章向量分析 对于任意一条起点A和终点B的逐段光滑有向闭曲线L 假定它们参数方程为 (y=yo(asts By 并且A=(x(a),y(a),B=(x(),y().则有 xx+2=J[x(x()y()x()+V(x)y()yojd dt=f(B)-f(A 因此积分与路线无关 (3)←(1)在区域D中任意取定一点M(xo,y) 对于D中任意一点M(x,y),L是D中以M0,M为起终点的中 任一光滑曲线:定义 M(x, y) f(M)=xx+h=「xax+hy Mo(xo, yo) 由于积分与路线无关,所以函数∫在D上是确定的 下面证明对任意M(x,y)∈D有: Vf(x, y)=X(x,y,)i+y(x,y)j f(x+△x,y+△y)-f(x,y) (x+Ax, y: Ay) L Xdx+Ydv- Xdx+Yd Xdx+ Yd >风彡 由于积分与路线无关,可以按照如图方式取L=L1∪L2,只要 Δx,△y充分小,这是可行的。 这样以来,我们有 f(x+Ax,yAy)-f(x, y)=Xdx+Ydy y+Ay ∫x+=」x+j(+AxA =X(x+B△x,y)x+Y(x+△x,y+24y)y 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 对于任意一条起点 A 和终点 B 的逐段光滑有向闭曲线 L , 假定它们参数方程为 ( )  ( )   = = y y t x x t , (  t   ) 并且 A = (x(), y()),B = (x(), y()). 则有 Xdx Ydy X x t y t x t Y x t y t y t dt L + = [ ( ( ), ( )) ( ) + ( ( ), ( )) ( )]     =  = −   dt f (B) f (A). dt df 因此积分与路线无关. (3)  (1) 在区域 D 中任意取定一点 0 0 M x y0 ( , ). 对于 D 中任意一点 M (x , y ), L 是 D 中以 M0 ,M 为起终点的中 任一光滑曲线: 定义 ( )   = + = + ( , ) , 0 0 0 ( ) M x y L M x y f M Xdx Ydy Xdx Ydy 由于积分与路线无关,所以函数 f 在 D 上是确定的. 下面证明对任意 M(x, y) D 有： f (x, y) = X x y i Y x y j   ( , ,) + ( , ) . f (x + x, y + y) − f (x, y) =   + − + + + ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 x y x y x x y y x y Xdx Ydy Xdx Ydy = ( ) ( )  + + + x x y y x y Xdx Ydy , , 由于积分与路线无关,可以按照如图方式取 L = L1  L2 , 只要 x,y 充分小，这是可行的。 这样以来,我们有 f (x + x, y + y) − f (x, y) = ( ) ( )  + + + x x y y x y Xdx Ydy , , =   + L1 L2 Xdx Ydy = X (t y)dt Y(x x t)dt y y y x x x   + + , + +  , = X(x + x y)x +Y(x + x y + y)y 1 2  , ,  (x + x, y + y) L2 (x, y) L1