数理方程复习指导 2020春数理方程08班 令此式中 221-)-2梁。=0 则 告-0而 即 两边积分，可得心的一个特解 ()=h-可 1 从而有 x=己 山x=h2守 班 将山及其各阶导数代入作函数变换后的泛定方程中得到C Un-a2un =0 此方程的通解为 v(x,t)=fi(x+at)+f2(x-at) 于是原问题的泛定方程的通解为 u(红，t)=w(x)u(红，t) [fi(z+at)+f2(z-at)]/(h-x) 将定解条件代入泛定方程通解得 fi(r)+f2()=(h-z)p(z) 和 a[近i(x)-f2(x月/h-x)=(x) 即 h-he--ees+c 联立上式得 f回=@-@+去层h-ed+号 )=-9-去h-w(-号
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 令此式中 2a 2 1 − x h wx − 2a 2 h w = 0 则 wx w = 1 h(1 − x/h) = 1 h − x 即 dw w = dx h − x 两边积分，可得 w 的一个特解 w(x) = 1 (h − x) 从而有 wx = 1 (h−x) 2 wxx = 2 (h−x) 3 将 w 及其各阶导数代入作函数变换后的泛定方程中得到 vn − a 2 vn = 0 此方程的通解为 v(x, t) = f1(x + at) + f2(x − at) 于是原问题的泛定方程的通解为 u(x, t) = w(x)v(x, t) = [f1(x + at) + f2(x − at)] /(h − x) 将定解条件代入泛定方程通解得 f1(x) + f2(x) = (h − x)φ(x) 和 a [f1(x) − f2(x)] /(h − x) = ψ(x) 即 f1(x) − f2(x) = 1 a Z x x0 (h − ξ)ψ(ξ)dξ + C 联立上式得 f1(x) = (h−x)φ(x) 2 + 1 2a R x x0 (h − ξ)φ(ξ)dξ + C 2 f2(x) = (h−x)φ(x) 2 − 1 2a R x x0 (h − ξ)ψ(ξ)dξ − C 2 20
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 所以，定解问题的解为 c,)=2h-可lh--ap+a）+h-x+ac-a+ 4.9通解法求解定解问题 可通过函数变换转化为可直接积分类型的偏微分方程求解 ∫+是=0 u(0,)=(y),u(z,0)=(e) 解：利用函数代换来求解泛定方程。 品（偏+- 两边对x积分一次得 08 +u=9) 其中，9()为任意函数，故上述方程又可写为 两边对，积分得 evu=e"g(y)dy+h(x) 于是得泛定方程的通解为 u(x,)=f()+eh(x) 其中，f()和(x)为任意函数.将定解条件代入通解，构建己知函数和未知函数的联系 了f(y)+evh(O)=p() I f(0)+h(r)=v(r) 故有 h(x)=也(x)-f(O f()=()-eh(0)=p()-e[(0)-f0j 用已知函数表达未知函数并代入通解，得到定解问题的解为 u(x,)=p()+e[w(e)-p(0] 21
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 所以，定解问题的解为 u(x, t) = 1 2(h − x) [(h − x − at)φ(x + at) +(h − x + at)φ(x − at) + Z x+at x−at h − ξ a ψ(ξ)dξ 4.9 通解法求解定解问题 可通过函数变换转化为可直接积分类型的偏微分方程求解 ( ∂ 2u ∂x∂y + ∂u ∂x = 0 u(0, y) = φ(y), u(x, 0) = ψ(x) 解：利用函数代换来求解泛定方程。 ∂ ∂x ∂u ∂y + u = 0 两边对 x 积分一次得 ∂u ∂y + u = g(y) 其中, g(y) 为任意函数, 故上述方程又可写为 ∂ ∂y (e yu) = e y g(y) 两边对 y 积分得 e yu = Z e y g(y)dy + h(x) 于是得泛定方程的通解为 u(x, y) = f(y) + e −yh(x) 其中, f(y) 和 h(x) 为任意函数. 将定解条件代入通解，构建已知函数和未知函数的联系 ( f(y) + e −yh(0) = φ(y) f(0) + h(x) = ψ(x) 故有 h(x) = ψ(x) − f(0) f(y) = φ(y) − e −yh(0) = φ(y) − e −y [ψ(0) − f(0)] 用已知函数表达未知函数并代入通解，得到定解问题的解为 u(x, y) = φ(y) + e −y [ψ(x) − φ(0)] 21
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 第二章综合复习 5.1主要内容 分离变量法的基本概念以及想法来源 分离变量法的适用范围 分离变量法的具体操作 施刘方程的定义以及将一般二阶常微分方程转化为施刘方程的方法 施刘定理的成立条件 施刘定理的具体内容 非齐次方程的定解问题结合分离变量法求解 非齐次边界条件的定解问题结合分离变量法求解 非齐次方程和非齐次边界混合问题的求解 5.2学习目标 理解分离变量法的想法来源，即转化思想 理解分离变量法的适用范围，有界区域，齐次方程，齐次边界 理解分离变量法的本质，把解和定解条件在固有函数系上展开 熟练学握分离变量法的具体流程 熟练掌握固有值问题的书写以及求解，可以记忆不同边界条件对应的固有值问题 的解 熟练掌握形式解的书写 熟练掌握利用正交性求解形式解中的系数的方法 22
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 第二章综合复习 5.1 主要内容 分离变量法的基本概念以及想法来源 分离变量法的适用范围 分离变量法的具体操作 施刘方程的定义以及将一般二阶常微分方程转化为施刘方程的方法 施刘定理的成立条件 施刘定理的具体内容 非齐次方程的定解问题结合分离变量法求解 非齐次边界条件的定解问题结合分离变量法求解 非齐次方程和非齐次边界混合问题的求解 5.2 学习目标 理解分离变量法的想法来源，即转化思想 理解分离变量法的适用范围，有界区域，齐次方程，齐次边界 理解分离变量法的本质，把解和定解条件在固有函数系上展开 熟练掌握分离变量法的具体流程 熟练掌握固有值问题的书写以及求解，可以记忆不同边界条件对应的固有值问题 的解 熟练掌握形式解的书写 熟练掌握利用正交性求解形式解中的系数的方法 22
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 了解施刘方程的定义以及一般二阶常微分方程转化为施刘方程的方法 了解施刘定理的成立条件 理解施刘定理的具体内容及其应用 熟练学握非齐次问题的处理方法 5.3学习方法 理解分离变量法所蕴含的转化思想，了解转化目标和方法 理解分离变量法的适用范围，以及具体操作 理解分离变量法的本质，把解和定解条件在固有函数系上展开 理解施刘定理的重要意义 5.4明确齐次方程的基本概念 程 u-Duz-Bu=000<x<l,t >0) u(0,t)=0,u(l,t)=0 u(z,0)=p(x) 解：遇到定解问题我们要首先明确其类型，进而选择合适的方法进行求解。首先根据x 的定义域是有界区域判断满足分离变量法的要求。进一步看方程和边界条件是否齐次。 这个问题的方程看起来会有一点点迷惑性，但是要注意，这是齐次的方程，只不过有了 原函数项。而边界条件是齐次的。因此，经过分析我们确定，可以采用分离变量法。按 照分离变量法的三步走战略，求解过程如下： (1)写出分离变量形式。令 u(x,t)=X(z)T(t) 代入泛定方程得 X(x)T'(t)-DX"(z)T(t)-BX(x)T(t)=0 两边除DXT得
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 了解施刘方程的定义以及一般二阶常微分方程转化为施刘方程的方法 了解施刘定理的成立条件 理解施刘定理的具体内容及其应用 熟练掌握非齐次问题的处理方法 5.3 学习方法 理解分离变量法所蕴含的转化思想，了解转化目标和方法 理解分离变量法的适用范围，以及具体操作 理解分离变量法的本质，把解和定解条件在固有函数系上展开 理解施刘定理的重要意义 5.4 明确齐次方程的基本概念 ut − Duxx − βu = 0(0 < x < l, t > 0) u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 u(x, 0) = φ(x) 解：遇到定解问题我们要首先明确其类型，进而选择合适的方法进行求解。首先根据 x 的定义域是有界区域判断满足分离变量法的要求。进一步看方程和边界条件是否齐次。 这个问题的方程看起来会有一点点迷惑性，但是要注意，这是齐次的方程，只不过有了 原函数项。而边界条件是齐次的。因此，经过分析我们确定，可以采用分离变量法。按 照分离变量法的三步走战略，求解过程如下： (1) 写出分离变量形式。令 u(x, t) = X(x)T(t) 代入泛定方程得 X(x)T ′ (t) − DX′′(x)T(t) − βX(x)T(t) = 0 两边除 DXT 得 T ′ (t) DT(t) − β D = X′′(x) X(x) =µ 23
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 则得 X"-X(x)=0 T'(e-(B+D)T=0 结合边界条件得 X(0)=0,X()=0 (②)求解固有值问题得 22 X=Ca sin,n=1,2… (③)将4代入关于T的常微分方程并求解 T()+(Dn2r2/2-)Tn()=0,In()=be(a-D2r 于是 u.z,)=ane-rrsn”Tuc,0天∑aea-)sin2 n=1 将初始条件代入得 s血只=6.a-号厂o)naa =1 将求得的4m代入上式，即得原定解问题的解。 5.5对于不满足施刘定理的问题的处理 我们这门课研究的主要是二阶的线性方程，一般分离变量得到的固有值问题都是满 足施刘定理的。但是如果遇到不满足施刘定理的情形，也要了解这类特殊问题的处理方 法。 uu +a2uzrrz =0,0<<l,t >0 u(0,t)=ur(0,t)=0 u(L,t)uzz(l,t)=0 u(r,0)=p(x),(红，0)=(x) 24
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 则得 ( X′′ − µX(x) = 0 T ′ (t) − (β + µD)T = 0 结合边界条件得 X(0) = 0, X(l) = 0 (2) 求解固有值问题得 µ = − n 2π 2 l 2 , Xn(x) = Cn sin nπ l x, n = 1, 2, · · · (3) 将 µ 代入关于 T 的常微分方程并求解 T ′ n (t) + Dn2π 2 /l 2 − β Tn(t) = 0, Tn(t) = bne (β−D2π 2/l 2 )t 于是 un(x, t) = ane (β−Dn2π 2/l 2 )t sin nπ l xu(x, t) = X∞ n=1 ane (β−Dn2π 2/l 2 )t sin nπ l x 将初始条件代入得 X∞ n=1 an sin nπ l x = φ(x), an = 2 l Z l 0 φ(α)sin nπ l αdα 将求得的 an 代入上式, 即得原定解问题的解。 5.5 对于不满足施刘定理的问题的处理 我们这门课研究的主要是二阶的线性方程，一般分离变量得到的固有值问题都是满 足施刘定理的。但是如果遇到不满足施刘定理的情形，也要了解这类特殊问题的处理方 法。 utt + a 2uxxxx = 0, 0 < x < l, t > 0 u(0, t) = uxx(0, t) = 0 u(l, t) = uxx(l, t) = 0 u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x) 24