数理方程复习指导 2020春数理方程08班 即 (u+hur)l==u1 其中，=会，k和H分别为热传导系数和热交换系数 4.6行波法求解一维无界区域弦振动问题 ∫4=a2u（-o<x<+oo,t>0) u(0,x)=p(x),(0,x)=(x)(-o<x<+oo) 利用上述变量代换法可以求得一维齐次波动方程的通解为 u=f(=-at)+g(z+at) 由所给的初始条件，就有 u(0,x)=f(x+g(x)=p(x) (0,x)=-af(x)+ag(x)=(x) 积分可得 联立上式，解得 Vf)=9-后)越-号 g()=9+六6()d+号 于是，我们得到了 u(t,r)=f(x-at)+g(x+at) --m去+四+egk 2 即为原问题的解
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 即 (u + hur)| r=r2 = u1 其中, h = k H , k 和 H 分别为热传导系数和热交换系数. 4.6 行波法求解一维无界区域弦振动问题 ( utt = a 2uxx (−∞ < x < +∞, t > 0) u(0, x) = φ(x), ut(0, x) = ϕ(x)(−∞ < x < +∞) 利用上述变量代换法可以求得一维齐次波动方程的通解为 u = f(x − at) + g(x + at) 由所给的初始条件，就有 ( u(0, x) = f(x) + g(x) = φ(x) ut(0, x) = −af′ (x) + ag′ (x) = ϕ(x) 积分可得 −f(x) + g(x) = 1 a Z x 0 ψ(ξ)dξ + c 联立上式，解得 f(x) = φ(x) 2 − 1 2a R x 0 ϕ(ξ)dξ − c 2 g(x) = φ(x) 2 + 1 2a R x 0 ϕ(ξ)dξ + c 2 于是，我们得到了 u(t, x) = f(x − at) + g(x + at) = φ(x − at) + φ(x + at) 2 + 1 2a Z x+at x−at ϕ(ξ)dξ 即为原问题的解。 15
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 4.7一维半无界区域的弦振动方程的处理之通解法和延拓 法 首先我们的想法很明确，即基于对行波被法求解一维无界区域弦振动方程的理解，进 行转化。有两类转化目标，即借鉴思想和直接转化为可处理的问题。这道例题的法一和 法二分别是这两种思路的应用。 uut a2ur =0(0<<o,t>0) u(c,0)=p(x) u(x,0)=(x) 、uz(0,t)=0 解：法一 泛定方程的通解为 u(=.t)=fi(z+at)+fa(x-at) 故有 fi(x)+f2(r)=p(r) 进而可得 af(x)一af(x)=(x) 即 io-=厂es+c 其中，C=(0)-(0). f()=()+六6()d返+号 f2()=p(x)-品6()d-号 以上二式均是在0≤x<的前题下推得的.因为x+t总是大于，等于零的，故有 e+a-e++t+9 至于x一at就不一定大于零了。 (1)若x-at≥0，则有 -a四---a-号 6
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 4.7 一维半无界区域的弦振动方程的处理之通解法和延拓 法 首先我们的想法很明确，即基于对行波法求解一维无界区域弦振动方程的理解，进 行转化。有两类转化目标，即借鉴思想和直接转化为可处理的问题。这道例题的法一和 法二分别是这两种思路的应用。 utt − a 2uxx = 0(0 < x < ∞, t > 0) u(x, 0) = φ(x) ut(x, 0) = ψ(x) ux(0, t) = 0 解：法一 泛定方程的通解为 u(x, t) = f1(x + at) + f2(x − at) 故有 f1(x) + f2(x) = φ(x) 进而可得 af′ 1 (x) − af′ 2 (x) = ψ(x) 即 f1(x) − f2(x) = 1 a Z x 0 ψ(ξ)dξ + C 其中, C = f1(0) − f2(0). f1(x) = 1 2 φ(x) + 1 2a R x 0 ψ(ξ)dξ + C 2 f2(x) = 1 2 φ(x) − 1 2a R x 0 ψ(ξ)dξ − C 2 以上二式均是在 0 ≤ x < ∞ 的前题下推得的. 因为 x + at 总是大于, 等于零的, 故有 f1(x + at) = 1 2 φ(x + at) + 1 2a Z x+at 0 ψ(ξ)dξ + C 2 至于 x − at 就不一定大于零了。 (1) 若 x − at ≥ 0, 则有 f2(x − at) = 1 2 φ(x − at) − 1 2a Z x−at 0 ψ(ξ)dξ − C 2 16
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 (②)若x一t<0,则上式不能用。但将边界条件代入通解得 fi(at)+f2(-at)=O 令x=at,并对上式从0到x积分得 f1(x)-f2(-x)=C 即 f2(-x)=1(x)-C(x≥0) 故 f2(x-at)=f2[-(at-z)](at-x 0) =f(at-z)-C 1- =5pat-+ ()dE -C (+at)+p(-at)()de x-at≥0 u(z,t)= (at)+att v(E)de +6-()d,x-at<0 法二： 设想将半无限长的杆，延拓（拼接）成无限长的杆，并将原定解问题的初始条件看成无限 长杆的纵振动的初始条件在0≤x<∞中的部分，即将原定解问题转化为 uH=a2u(-0<x<o,t>0) (x),0≤x<∞ u(x,0]=Φ(x)= f(x),-oo<E≤0 u4(x,0)=亚(x)= (x),0≤x<∞ g(x),-0<x<0 u-(0.t)=0 则由d'Alembert公式立即可写出定解问题的解为 u69-+a+r-a+ 其中，f(x)和g(x)是未知的。 延拓的目标是要用延拓后的解来得到原问题的解，因此要让延拓后的解在原问题的定 义域处的部分和原问题解相同。所以利用原问题的边界条件可以求得的（红，t)在0≤
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 (2) 若 x − at < 0, 则上式不能用。但将边界条件代入通解得 f ′ 1 (at) + f ′ 2 (−at) = 0 令 x = at, 并对上式从 0 到 x 积分得 f1(x) − f2(−x) = C 即 f2(−x) = f1(x) − C(x ≥ 0) 故 f2(x − at) =f2[−(at − x)](at − x ≥ 0) = f1(at − x) − C = 1 2 φ(at − x) + 1 2a Z at−x 0 ψ(ξ)dξ − C u(x, t) = 1 2 [φ(x + at) + φ(x − at)] + 1 2a R x+at x−at ψ(ξ)dξ x − at ≥ 0 1 2 [φ(x + at) + φ(at − x)] + 1 2a hR x+at 0 ψ(ξ)dξ + R at−x 0 ψ(ξ)dξ i , x − at < 0 法二: 设想将半无限长的杆, 延拓 (拼接) 成无限长的杆，并将原定解问题的初始条件看成无限 长杆的纵振动的初始条件在 0 ≤ x < ∞ 中的部分 , 即将原定解问題转化为 utt = a 2uxx(−∞ < x < ∞, t > 0) u(x, 0) = Φ(x) = ( φ(x), 0 ≤ x < ∞ f(x), −∞ < x ≤ 0 ut(x, 0) = Ψ(x) = ( ψ(x), 0 ≤ x < ∞ g(x), −∞ < x < 0 ux(0, t) = 0 则由 d’Alembert 公式立即可写出定解问题的解为 u(x, t) = 1 2 [Φ(x + at) + Φ(x − at)] + 1 2a Z x+at x−at Ψ(ξ)dξ 其中, f(x) 和 g(x) 是未知的。 延拓的目标是要用延拓后的解来得到原问题的解，因此要让延拓后的解在原问题的定 义域处的部分和原问题解相同。所以利用原问题的边界条件可以求得的 u(x, t) 在 0 ≤ 17
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 x<∞中的值即为原定解问题的解 u(0,)=。Φ'0+at)+Φ(0-at +20+a)-0-a=0 即 2⑤)+(-+2（⑤）-(-】=020) 由此有重()=(-)，亚()=亚(-)这说明满足边界条件的重和亚，均为偶函数。即 (x)= p(x),0≤x<0 p(-),-0<x<0 (x),0≤x<0 (x)= 5(-x),-o<x<0 亦即 f(x)=p(-x,g(x)=(-x) 注意到x+t总于大于等于零的，于是有 (+at)=o(+at) (d(d 而x一at有可能大于，等于或小于零。 (1)若x-at≥0，则 (r-at)=p(z-at) 厂ee=es (2)若x-at<0,则 (at)=-(z-at)]=p(at-z) (c-ac emn g= 18
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 x < ∞ 中的值即为原定解问题的解. ux(0, t) = 1 2 [Φ′ (0 + at) + Φ′ (0 − at)] + 1 2a [Ψ(0 + at) − Ψ(0 − at)] = 0 即 1 2 [Φ′ (ξ) + Φ′ (−ξ)] + 1 2a [Ψ(ξ) − Ψ(−ξ)] = 0(ξ ≥ 0) 由此有 Φ(ξ) = Φ(−ξ), Ψ(ξ) = Ψ(−ξ) 这说明满足边界条件的 Φ 和 Ψ, 均为偶函数。即 Φ(x) = ( φ(x), 0 ≤ x < ∞ φ(−x), −∞ < x < 0 Ψ(x) = ( ψ(x), 0 ≤ x < ∞ ψ(−x), −∞ < x < 0 亦即 f(x) = φ(−x), g(x) = ψ(−x) 注意到 x + at 总于大于等于零的, 于是有 Φ(x + at) = φ(x + at) R x+at 0 Ψ(ξ)dξ = R x+at 0 ψ(ξ)dξ 而 x − at 有可能大于, 等于或小于零。 (1) 若 x − at ≥ 0, 则 Φ(x − at) = φ(x − at) Z 0 x−at Ψ(ξ)dξ = Z 0 x−at ψ(ξ)dξ (2) 若 x − at < 0, 则 Φ(x − at) = φ[−(x − at)] = φ(at − x) Z 0 x−at Ψ(ξ)dξ = Z 0 x−at ψ(−ξ)dξ η=−ξ = − Z 0 at−x ψ(η)dη 即 Z 0 x−at Ψ(ξ)dξ = Z at−x 0 ψ(ξ)dξ 18
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 最后得到 (e+at)+p(红-at)+孟tr(s)d x-at≥0 u(,t)= (e+a+pat-x+六[6tp)d +0-()d,x-at<0 即为原问题的解。 4.8可以通过函数变换转化为一维无界区域波动方程问题 求圆锥杆的纵振动问题： ∫是[1-}产器-÷1-)器 u(x,0)=p(c),4(c,0)=(e) 解：泛定方程为： -)（m-=0 我们发现这个方程并不是我们熟悉的方程，不能直接使用行波法求解。但考虑题目提示 为杆的纵振动问题，并且是一维无界区域问题，所以考虑通过函数变换将方程转化为一 维无界区域波动方程问题，进而可以使用行波法求解。（说明，对于这个问题，我们对 方程进行分类后发现，也可以使用积分变换法或者基本解方法。只不过因为行波法求解 比较简单，而且这个问题说明是一维无界区域的纵振动问题，所以考虑尝试一下通过转 化来利用行波法求解。如果不想这样求解也可以直接进行积分变换等。) 考虑到各式的系数只是x的函数，故可令 u(r,t)=w(x)v(z,t) 于是 ut WV.un Wit 代入上式得 -)w=r-3m+r(-别≤-公 +r0-用ag小
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 最后得到： u(x, t) = 1 2 [φ(x + at) + φ(x − at)] + 1 2a R x+at x−at ψ(ξ)dξ x − at ≥ 0 1 2 [φ(x + at) + φ(at − x)] + 1 2a hR x+at 0 ψ(ξ)dξ + R at−x 0 ψ(ξ)dξ i , x − at < 0 即为原问题的解。 4.8 可以通过函数变换转化为一维无界区域波动方程问题 求圆锥杆的纵振动问题: ∂ ∂x h 1 − x h 2 ∂u ∂x i = 1 a 2 1 − x h 2 ∂ 2u ∂t2 u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x) 解: 泛定方程为： 1 − x h uxx − 1 a 2 1 − x h utt − 2 h ux = 0 我们发现这个方程并不是我们熟悉的方程，不能直接使用行波法求解。但考虑题目提示 为杆的纵振动问题，并且是一维无界区域问题，所以考虑通过函数变换将方程转化为一 维无界区域波动方程问题，进而可以使用行波法求解。（说明，对于这个问题，我们对 方程进行分类后发现，也可以使用积分变换法或者基本解方法。只不过因为行波法求解 比较简单，而且这个问题说明是一维无界区域的纵振动问题，所以考虑尝试一下通过转 化来利用行波法求解。如果不想这样求解也可以直接进行积分变换等。） 考虑到各式的系数只是 x 的函数, 故可令 u(x, t) = w(x)v(x, t) 于是 ux = wxv + wvx, uxx = wxxv + 2wxvx + wvxx ut = wvt , utt = wvtt 代入上式得 1 − x h wvtt =a 2 1 − x h wvxx + 2a 2 1 − x h wx − 2a 2 h w vx + a 2 1 − x h wxx − 2a 2 h wx v 19