数理方程复习指导 2020春数理方程08班 解：令u(,t)=X()T()。代入方程得 X(x)T"(t)=-a2X()(r)T(t) 器0 进一步得到固有值问题和其他常微分方程 X④(x)-X2X(x)=0 X(O)=X"(0)=0 X()=X"()=0 T"+a22T()=0 下面求解固有值问题 班 1.若入=0，则 0 X()=C1+Cax+Csx2+C 将边界条件代入得C1=C3=0,所以 X()=Ca+C3 ∫C2+C2=0 6C4l=0 于是得C4=0,C2=0,即，当入=0时X(e)≡0，故入≠0 2.若入>0，则固有值问题的方程有通解 X(z)=C1 ch VXr +C2sh vAr+Cs cos VAx+Casin VAr 将边界条件代入有 「C1+C3=0 Cλ-C3A=0 解得C1=0,C=0, 所以 X(x)=C2sh+Ca sin vXr
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 解: 令 u(x, t) = X(x)T(t)。代入方程得 X(x)T ′′(t) = −a 2X (4)(x)T(t) 即 X(4)(x) X(x) = − T ′′(t) a 2T(t) =λ 2 进一步得到固有值问题和其他常微分方程 X(4)(x) − λ 2X(x) = 0 X(0) = X′′(0) = 0 X(l) = X′′(l) = 0 T ′′ + a 2λ 2T(t) = 0 下面求解固有值问题 1. 若 λ = 0, 则 X(x) = C1 + C2x + C3x 2 + C4x 3 将边界条件代入得 C1 = C3 = 0, 所以 X(x) = C2x + C4x 3 ( C2 + C4l 2 = 0 6C4l = 0 于是得 C4 = 0, C2 = 0, 即, 当 λ = 0 时 X(x) ≡ 0, 故 λ ̸= 0 2. 若 λ > 0, 则固有值问题的方程有通解 X(x) = C1 ch √ λx + C2 sh √ λx + C3 cos √ λx + C4 sin √ λx 将边界条件代入有 ( C1 + C3 = 0 C1λ − C3λ = 0 解得 C1 = 0, C3 = 0, 所以 X(x) = C2 sh √ λx + C4 sin √ λx 25
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 由边界条件得 C2sh v+Ca sin=0 C2sh vAl -Ca sin vAl=0 解得 C2=0,Ca sin=0 所以 sin V=0,=nr(m=1,2,…) 所以固有值为为入=产，固有函数为Xn(c)=Cnsin平x 将入代入T的方程得 T+T.0=0 Tn(t)=An cos t+Bn sin 从而有 e0=立(4m+R血）血咒 12 n=1 将初始条件代入得 4-号am7k&am受 3.若入<0，类似上述讨论。 5.6根据自然语言描述的物理问题书写定解问题并求解 长为l的杆，侧面和x=0端绝热，另一端x=1与外界按Newton冷却定律交换热 量（设外界温度为0），初始时刻杆内温度为常数，求杆内温度分布. 解：其定解问题为 4-a2ur=0,0<x<l,t>0 u(0,t)=0,u+hul==0 u(x,0)=o u(r,t)=X(z)T(t)
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 由边界条件得 ( C2 sh √ λl + C4 sin √ λl = 0 C2 sh √ λl − C4 sin √ λl = 0 解得 C2 = 0, C4 sin √ λl = 0 所以 sin √ λl = 0, √ λl = nπ (n = 1, 2, · · ·) 所以固有值为为 λ = n 2π 2 l 2 , 固有函数为 Xn(x) = Cn sin nπ l x 将 λ 代入 T 的方程得 T ′′ n (t) + a 2n 4π 4 l 2 Tn(t) = 0 Tn(t) = An cos n 2π 2a l 2 t + Bn sin n 2π 2a l 2 t 从而有 u(x, t) = X∞ n=1 An cos n 2π 2a l 2 t + Bn sin n 2π 2a l 2 t sin nπ l x 将初始条件代入得 An = 2 l Z l 0 φ(x)sin nπ l xdx, Bn = 2l n2π 2a Z l 0 ψ(x)sin nπ l xdx 3. 若 λ < 0, 类似上述讨论。 5.6 根据自然语言描述的物理问题书写定解问题并求解 长为 l 的杆, 侧面和 x = 0 端绝热, 另一端 x = l 与外界按 Newton 冷却定律交换热 量 (设外界温度为 0), 初始时刻杆内温度为常数 u0, 求杆内温度分布. 解: 其定解问题为 ut − a 2uxx = 0, 0 < x < l, t > 0 ux(0, t) = 0, [u + hux]x=l = 0 u(x, 0) = u0 令 u(x, t) = X(x)T(t) 26
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 则由方程和边界条件得 T'(t)-ua2T(t)=0 X"(x)-uX(e)=0 X'(o)=0,X()+hX'()=0 求解固有值问题得 ∫固有值=一是 n=1,2,… 固有函数Xn(e)=Ccos”x 其中，n由方程 cot入m=入nh/l 给出。 解其他常微分方程得 工0+号工=0工用=ee9, 进而得到形式解的第n项的表达式 u.任，)=Ane- 叠加得到形式解 结合初始条件解得 1 =2+g原 入n2+号h2+hl 进而得到解 Mc,)=2∑ VP+ 即为原问题的解
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 则由方程和边界条件得 T ′ (t) − µa2T(t) = 0 X′′(x) − µX(x) = 0 X′ (0) = 0, X(l) + hX′ (l) = 0 求解固有值问题得 ( 固有值 µn = − λ 2 n l 2 固有函数 Xn(x) = C ′ n cos λn l x n = 1, 2, · · · 其中，λn 由方程 cot λn = λnh/l 给出。 解其他常微分方程得 T ′ n (t) + λ 2 na 2 l 2 Tn(t) = 0, Tn(t) = A ′ n e −(λ 2 na 2 l 2 ) t 进而得到形式解的第 n 项的表达式 un(x, t) = Ane −(λ 2a 2/t 2 )t cos λn l x 叠加得到形式解 u(x, t) = X∞ n=1 Ane −(λ 2 na 2 )(t 2 )t cos λn l x 结合初始条件解得 An = u0l 2 λn 1 p l 2 + λ 2 nh 2 / l 2 l 2 + λ 2 nh 2 + hl l 2 + λ 2 nh 2 = 2u0 λn p l 2 + λ 2 nh 2 l 2 + λ 2 nh 2 + hl 进而得到解 u(x, t) = 2u0 X∞ n=1 p l 2 + λ 2 nh 2 l 2 + λ 2 nh 2 + hl e −(λ 2 na 2/l 2 )t cos λnx l 即为原问题的解。 27
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 5.7验证固有值问题是否满足施刘定理使用条件 将一般方程转化为施刘方程以验证固有值问题是否满足施刘定理条件。 注意，转化为施刘方程形式只是为了判断是否固有值问题满足施刘定理条件，而不是为 了求解。求解的时候仍然按照求解常微分方程的一般方法求解原方程。 解固有值问题 ∫x2"+x+Ay=0(1<x<e) y()=(e)=0 解：题中方程不是施-刘型的，所以为了验证是否满足施刘定理条件，要先转化为施刘方 程。按照教材公式 pe=aem{/} 1 把方程两端乘以p(,即化成施刘型方程 孟0+字=0 系数k(m)=x,q(r)=0,p()=在区间1，上满足施-刘定理的条件，且两端的边界 条件都是第一类，故入>0.记入=2（μ>0）题中的方程为欧拉方程，作替换x=e或 t=nx,即可化为 因而 y=Acosut +B sin ut =Acos()+Bsin(uln) 由(1)=0，有A=0由y(e)=0,有Bsin4=0,因B不能再为零 于是 hm=nx(n=1,2,…) 故 n=房=n2π2(m=1,2,) 相应的固有函数为 Un =sin(nn Inc) 注意一般方程转化为施刘方程形式的方法，以及目的
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 5.7 验证固有值问题是否满足施刘定理使用条件 将一般方程转化为施刘方程以验证固有值问题是否满足施刘定理条件。 注意，转化为施刘方程形式只是为了判断是否固有值问题满足施刘定理条件，而不是为 了求解。求解的时候仍然按照求解常微分方程的一般方法求解原方程。 解固有值问题 ( x 2 y ′′ + xy′ + λy = 0(1 < x < e) y(1) = y(e) = 0 解：题中方程不是施-刘型的, 所以为了验证是否满足施刘定理条件，要先转化为施刘方 程。按照教材公式 ρ(x) = 1 x 2 exp Z x x 2 dx = 1 x 把方程两端乘以 ρ(x), 即化成施-刘型方程 d dx (xy′ ) + λ x y = 0 系数 k(x) = x, q(x) = 0, ρ(x) = 1 x 在区间 [1,e] 上满足施-刘定理的条件, 且两端的边界 条件都是第一类, 故 λ > 0. 记 λ = µ 2 (µ > 0) 题中的方程为欧拉方程，作替换 x = e t 或 t = ln x, 即可化为 d 2 y dt 2 + µ 2 y(t) = 0 因而 y = A cos µt + B sin µt = A cos(µ ln x) + B sin(µ ln x) 由 y(1) = 0, 有 A = 0; 由 y(e) = 0, 有 B sin µ = 0, 因 B 不能再为零, 于是 µn = nπ(n = 1, 2, · · ·) 故 λn = µ 2 n = n 2π 2 (n = 1, 2, · · ·) 相应的固有函数为 yn = sin(nπ ln x) 注意一般方程转化为施刘方程形式的方法，以及目的。 28
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 5.8非齐次方程的求解 三种常用方法分别是：固有函数展开法、齐次化原理、特解法 注意三种方法的适用条件和使用方法。 长为l两端固定的弦线在单位长度的横向力f(r,t)=g(x)sinwt的作用下振动，己知弦 的初始位移和速度分别为(x)和(x),试求其振动规律。 解：定解问题为 uu a2uzr g(r)sin wt(0<r<l,t >0) u(0,t)=u(l,t)=0 u(x,0)=p(x),4(e,0)=(x) 这是一般的非齐次问题，由线性叠加原理，我们可以令 u(r,t)=v(r,t)+w(x,t) 班 其中v(红，t)满足 Vu -=0 0)=,y=0 v(x,0)=p(x),(c,0)=(x 而w(红，)满足 Wu -a2wzz =g(r)sinwt w(0,t)=r(l,t)=0 (x,0)=0,(x,0)=0 关于的定解问题的解为 t0-2(a.s平+Bm"平)血气 关于心的定解问题的方程是非齐次的，需要首先进行处理。 法一：固有函数展开法 w(x,t)=∑e1Tn(①sin要·x g(r)sinwt =>fn(t)sin 代入定解问题得 ∫T"()+aTn()=fn(t) Tn(0)=0,T(0)=0
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 5.8 非齐次方程的求解 三种常用方法分别是：固有函数展开法、齐次化原理、特解法 注意三种方法的适用条件和使用方法。 长为 l 两端固定的弦线在单位长度的横向力 f(x, t) = g(x)sin ωt 的作用下振动, 已知弦 的初始位移和速度分别为 φ(x) 和 ψ(x), 试求其振动规律。 解：定解问题为 utt − a 2uxx = g(x)sin ωt(0 < x < l, t > 0) u(0, t) = u(l, t) = 0 u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x) 这是一般的非齐次问题，由线性叠加原理, 我们可以令 u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) 其中 v(x, t) 满足 vtt − a 2 vxx = 0 v(0, t) = v(l, t) = 0 v(x, 0) = φ(x), vt(x, 0) = ψ(x) 而 w(x, t) 满足 wtt − a 2wxx = g(x)sin ωt w(0, t) = w(l, t) = 0 w(x, 0) = 0, wt(x, 0) = 0 关于 v 的定解问题的解为 v(x, t) = X∞ n=1 An cos nπa l t + Bn sin nπa l t sin nπ l x 关于 w 的定解问题的方程是非齐次的，需要首先进行处理。 法一：固有函数展开法 令： ( w(x, t) = P∞ n=1 Tn(t)sin nπ l · x g(x)sin ωt = P∞ n=1 fn(t)sin nπx l 代入定解问题得 ( T ′′ n (t) + n 2π 2a 2 l 2 Tn(t) = fn(t) Tn(0) = 0, T′ n (0) = 0 29