数理方程复习指导 2020春数理方程08班 3.5定解问题求解方法的使用条件 在这门课程的学习中，我们主要学习求解三类重要方程对应的定解问题的方法， 每种方法都有其使用条件，因而明确每种方法的使用条件会有助于在遇到定解问题时选 择合适的方法。 行波法 行波法用于求解一维无界区域的波动方程问题（注意，应用延拓法可以实现 将一维半无界区域波动方程的问题求解转化为一维无界区域波动方程问题求 解，进而可以使用行波法：另外球对称问题可以通过对球坐标系下的方程进 行函数变换转化为一维半无界区域的波动方程问题，进而再利用延拓法课可 以转化为一维无界区域的波动方程问题，进而使用行波法求解) 分离变量法 分离变量法用于求解有界区域的问题，其中有界是针对于形成固有函数系的 变量来说的，所以对于球外空间，日的定义域是有界的，因而可以做分离变 量操作。 分离变量法的直接应用要求齐次方程和齐次边界。但我们可以通过固有函数 系展开法、齐次化原理、特解法等方法将非齐次方程转化为齐次方程，可以 用基于叠加原理的特解法将非齐次边界转化为齐次边界，进而可以利用分离 变量法求解。 积分变换法 傅里叶变换法用于求解无界区域的问题，一般用于坐标变量，并且要求对应 的一系列函数值在无穷远点为零 正余弦变换法用于求解半无界区域的问题，本质上仍属于傅里叶变换法， 般用于坐标变量，分别对应第一类和第二类边界条件。注意在正反变换的时 候，建议严格按照定义进行求解。 拉普拉斯变换法用于求解半无界区域的问题，一般用于时间变量，大多数情 况下不能用于坐标变量，无法用于求解椭圆方程。 基本解方法 基本解方法用于求解无界区域的问题，其中对于椭圆方程可以求解有界区域 的问题。 10
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 3.5 定解问题求解方法的使用条件 在这门课程的学习中，我们主要学习求解三类重要方程对应的定解问题的方法， 每种方法都有其使用条件，因而明确每种方法的使用条件会有助于在遇到定解问题时选 择合适的方法。 行波法 行波法用于求解一维无界区域的波动方程问题（注意，应用延拓法可以实现 将一维半无界区域波动方程的问题求解转化为一维无界区域波动方程问题求 解，进而可以使用行波法；另外球对称问题可以通过对球坐标系下的方程进 行函数变换转化为一维半无界区域的波动方程问题，进而再利用延拓法课可 以转化为一维无界区域的波动方程问题，进而使用行波法求解） 分离变量法 分离变量法用于求解有界区域的问题，其中有界是针对于形成固有函数系的 变量来说的，所以对于球外空间，θ 的定义域是有界的，因而可以做分离变 量操作。 分离变量法的直接应用要求齐次方程和齐次边界。但我们可以通过固有函数 系展开法、齐次化原理、特解法等方法将非齐次方程转化为齐次方程，可以 用基于叠加原理的特解法将非齐次边界转化为齐次边界，进而可以利用分离 变量法求解。 积分变换法 傅里叶变换法用于求解无界区域的问题，一般用于坐标变量，并且要求对应 的一系列函数值在无穷远点为零 正余弦变换法用于求解半无界区域的问题，本质上仍属于傅里叶变换法，一 般用于坐标变量，分别对应第一类和第二类边界条件。注意在正反变换的时 候，建议严格按照定义进行求解。 拉普拉斯变换法用于求解半无界区域的问题，一般用于时间变量，大多数情 况下不能用于坐标变量，无法用于求解椭圆方程。 基本解方法 基本解方法用于求解无界区域的问题，其中对于椭圆方程可以求解有界区域 的问题。 10
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 3.6数理方程课程中的三步走战略 行波法的三步走 求解偏微分方程得到通解 将定解条件代入通解中建立已知函数和未知函数关系，并用己知函数表达通 解中未知函数 带入通解得到原问题的解 分离变量法的三步走 将解写成分离变量形式，选定合适变量，求解固有值问题得到固有值和固有 函数系 求解其他常微分方程得到形式解，即把解在定解条件上展开 把定解条件代入形式解中确定形式解的系数，即把定解条件在固有函数系上 展开 积分变换法的三步走 选取合适积分变量，进行正变换，将偏微分方程转化为常微分方程 求解像函数满足的常微分方程得到像函数 对像函数反变换得到解 基本解方法的三步走 根据原问题对应写出格林函数满足的定解问题 应用镜像法、分离变量法、积分变换法等方法求解得到格林函数 把格林函数带入解的积分表达式得到解
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 3.6 数理方程课程中的三步走战略 行波法的三步走 求解偏微分方程得到通解 将定解条件代入通解中建立已知函数和未知函数关系，并用已知函数表达通 解中未知函数 带入通解得到原问题的解 分离变量法的三步走 将解写成分离变量形式，选定合适变量，求解固有值问题得到固有值和固有 函数系 求解其他常微分方程得到形式解，即把解在定解条件上展开 把定解条件代入形式解中确定形式解的系数，即把定解条件在固有函数系上 展开 积分变换法的三步走 选取合适积分变量，进行正变换，将偏微分方程转化为常微分方程 求解像函数满足的常微分方程得到像函数 对像函数反变换得到解 基本解方法的三步走 根据原问题对应写出格林函数满足的定解问题 应用镜像法、分离变量法、积分变换法等方法求解得到格林函数 把格林函数带入解的积分表达式得到解 11
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 第一章综合复习 4.1主要内容 偏微分方程的基本概念 常见偏微分方程的通解的求解 花对应的物理意，口。。 偏微分方程特解的求解 数理方程的建立过程 定解条件的个数、物理意义 行波法求解一维无界区域波动方程问题 延拓法求解一维半无界区域波动方程问题 通解法求解定解问题 叠加原理及其应用 齐次化原理及其应用 4.2学习目标 掌握基本概念，如方程的阶、线性方程、齐次方程等 理解对方程分类的标准和求解方程的方法的适用条件是对应的 掌握对于偏微分方程的分类，并且熟练掌握三类偏微分方程通解的求解方法 理解数理方程的建立过程，对于微元法要有基本的了解 熟练掌握三类方程的书写，以及方程中元素对应的物理意义 12
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 第一章综合复习 4.1 主要内容 偏微分方程的基本概念 常见偏微分方程的通解的求解 偏微分方程特解的求解 数理方程的建立过程 三类常见方程的书写及其对应的物理意义 定解条件的个数、物理意义 行波法求解一维无界区域波动方程问题 延拓法求解一维半无界区域波动方程问题 通解法求解定解问题 叠加原理及其应用 齐次化原理及其应用 4.2 学习目标 掌握基本概念，如方程的阶、线性方程、齐次方程等 理解对方程分类的标准和求解方程的方法的适用条件是对应的 掌握对于偏微分方程的分类，并且熟练掌握三类偏微分方程通解的求解方法 理解数理方程的建立过程，对于微元法要有基本的了解 熟练掌握三类方程的书写，以及方程中元素对应的物理意义 12
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 熟练掌握定解问题的构成原则，定解条件的个数确定方法，定解条件的物理意义 熟练掌握行波法的使用条件，以及应用于求解定解问题的具体操作 掌握延拓法在求解一维半无界区域波动方程问题中的应用，了解延拓法的思想以 及奇、偶延拓的选择原因 了解通解法求解定解问题的步骤 理解叠加原理的意义及其应用 熟练掌握齐次化原理在求解非齐次发展方程中的应用 4.3学习方法 熟练掌握基本概念，并且能够对定解问题进行分类 熟练掌握求解定解问题的方法及其使用条件 对比不同方法在求解问题时的求解过程，明确方法选择 4.4应用变量代换求解偏微分方程通解 urs +2usy -3uyy =0 解：利用变量代换将方程转化为可以直接积分求解的偏微分方程 (品+2-器)=0 亦即 (品)（品+端）e,=0 引入变量代换x=x(5,,y=5,),使 是=品装+品哭=（品-品）4 品=品瑞+品瑞=（品+3品）B 其中，A、B为任意常数。可令 x=ξ+n y=-ξ+3m 出
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 熟练掌握定解问题的构成原则，定解条件的个数确定方法，定解条件的物理意义 熟练掌握行波法的使用条件，以及应用于求解定解问题的具体操作 掌握延拓法在求解一维半无界区域波动方程问题中的应用，了解延拓法的思想以 及奇、偶延拓的选择原因 了解通解法求解定解问题的步骤 理解叠加原理的意义及其应用 熟练掌握齐次化原理在求解非齐次发展方程中的应用 4.3 学习方法 熟练掌握基本概念，并且能够对定解问题进行分类 熟练掌握求解定解问题的方法及其使用条件 对比不同方法在求解问题时的求解过程，明确方法选择 4.4 应用变量代换求解偏微分方程通解 uxx + 2uxy − 3uyy = 0 解：利用变量代换将方程转化为可以直接积分求解的偏微分方程。 ∂ 2 ∂x2 + 2 ∂ 2 ∂x∂y − 3 ∂ 2 ∂y2 u(x, y) = 0 亦即 ∂ ∂x − ∂ ∂y ∂ ∂x + 3 ∂ ∂y u(x, y) = 0 引入变量代换 x = x(ξ, η), y = y(ξ, η), 使 ∂ ∂ξ = ∂ ∂x ∂x ∂ξ⃗ + ∂ ∂y ∂y ∂ξ = ∂ ∂x − ∂ ∂y A ∂ ∂η = ∂ ∂x ∂x ∂η + ∂ ∂y ∂y ∂η = ∂ ∂x + 3 ∂ ∂y B 其中,A 、B 为任意常数。可令 ( x = ξ + η y = −ξ + 3η 13
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 即 ∫5= (n= 则方程变为 成《，列=0 此时已经完成转化目标，直接积分即可得到方程的解 u(5,)=fi()+() 其中，()和()分别为和n的任意函数。 班 4.5定解问题的书写 0 在去年的期末考试试题中出现给出自然语言描述的物理问题，要求根据对于数理方 程的理解，写出对应的定解问题。这类题目要求我们对数理方程的建立、三类典型方程 的书写及其物理意义、定解条件的书写及物理意义都要有一定理解。 设有一厚壁圆简，其初始温度为，并设它的内表面的温度增加与时间t成线性关系 外表面和温度为山1的介质进行热交换，试写出其温度分布满足的定解问题。 这类问题的求解首先要明确题目所述的物理问题属于哪类问题，尤其是对于温度分布类 问题，要判断题目要求求解的是某一时间段的温度分布还是稳定时刻的温度分布。 解： =a=D(+)= 而内表面的温度为 4，=,=at+b 其中，a,b为常数。由叫-0=o可求得b=o,故有 叫r=n1=at+uo 由题意知周围介质的温度为1，则由Newton冷却定律有 -kurl=r2=H(u叫=r2-u) 14
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 即 ( ξ = 3x−y 4 η = x+y 4 则方程变为 ∂ 2 ∂ξ∂ηu(ξ, η) = 0 此时已经完成转化目标，直接积分即可得到方程的解 u(ξ, η) = f1(ξ) + f2(η) 其中，f1(ξ) 和 f2(η) 分别为 ξ 和 η 的任意函数。 4.5 定解问题的书写 在去年的期末考试试题中出现给出自然语言描述的物理问题，要求根据对于数理方 程的理解，写出对应的定解问题。这类题目要求我们对数理方程的建立、三类典型方程 的书写及其物理意义、定解条件的书写及物理意义都要有一定理解。 设有一厚壁圆筒, 其初始温度为 u0, 并设它的内表面的温度增加与时间 t 成线性关系， 外表面和温度为 u1 的介质进行热交换, 试写出其温度分布满足的定解问题。 这类问题的求解首先要明确题目所述的物理问题属于哪类问题，尤其是对于温度分布类 问题，要判断题目要求求解的是某一时间段的温度分布还是稳定时刻的温度分布。 解： ut = D∆u = D ∂ 2u ∂r2 + 1 r ∂u ∂r , u| t=0 = u0 而内表面的温度为 u| r=r1 = at + b 其中, a, b 为常数。由 u| t=0 = u0 可求得 b = u0, 故有 u| r=r1 = at + u0 由题意知周围介质的温度为 u1, 则由 Newton 冷却定律有 − kur| r=r2 = H u| r=r2 − u1 14