解方程组∫f(x,y)=2xy(4-x-y)-xy=0 2 f,(x,y)=x2(4-x-y)-x2y=0 得区域D内唯一驻点(2,1),且∫(2,1)=4, 再求∫(x,y)在D边界上的最值, 在边界x=0和y=0上f(x,y)=0, x十 J 在边界x+y=6上,即y=6-x 于是f(x,y)=x2(6-x)(-2)由f=4x(x-6)+2x2=0, 得x1=0 →y=6-x=4=2, f(4,2)=-64 比较后可知∫(2,1)=4为最大值,∫(4,2)=-64为最小值
解方程组 = − − − = = − − − = ( , ) (4 ) 0 ( , ) 2 (4 ) 0 2 2 2 f x y x x y x y f x y xy x y x y y x 得区域D内唯一驻点(2,1), 且 f (2,1) = 4, 再求 f (x, y)在D边界上的最值， 在边界x = 0和y = 0上 f (x, y) = 0, 在边界x + y = 6上，即y = 6 − x 于是 ( , ) (6 )( 2) 2 f x y = x − x − 由, 4 ( 6) 2 0 2 f x = x x − + x = , 得x1 = 0, x2 = 4 6 | 2, y = − x x=4= f (4,2) = −64, x y o x + y = 6 比较后可知 f (2,1) = 4为最大值, f (4,2) = −64为最小值
例3求z=,x+y的最大值和最小值 x2+y2+1 解由 3、(x2+y2+1)-2x(x+y)=0, (x2+y2+1)2 (x2+y2+1)-2y(x+y (x2+y2+1) 得驻点(,)和(-,-), 2 2 因为lim x+ y =0 x→∞x2+y2+1 即边界上的值为零
例 3 求 1 2 2 + + + = x y x y z 的最大值和最小值. 解 由 0, ( 1) ( 1) 2 ( ) 2 2 2 2 2 = + + + + − + = x y x y x x y zx 0, ( 1) ( 1) 2 ( ) 2 2 2 2 2 = + + + + − + = x y x y y x y z y 得驻点 ) 2 1 , 2 1 ( 和 ) 2 1 , 2 1 (− − , 因为 0 1 lim 2 2 = + + + → → x y x y y x 即边界上的值为零