则f(x,y)在点(x,y)处是否取得极值的条件如下: (1)AC-B2>0时具有极值, 当A<0时有极大值,当A4>0时有极小值; (2)AC-B2<0时没有极值; (3)AC-B2=0时可能有极值也可能没有极值, 还需另作讨论 例1求由方程x2+y2+z2-2x+2y 4z-10=0确定的函数z=f(x,y)的极值 解将方程两边分别对x,y求偏导
则 f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 2 AC − B 时具有极值， 当A 0时有极大值， 当A 0 时有极小值； （2） 0 2 AC − B 时没有极值； （3） 0 2 AC − B = 时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论． 例 1 求由方程x y z 2x 2 y 2 2 2 + + − + − 4z − 10 = 0确定的函数z = f ( x, y)的极值 解 将方程两边分别对x, y求偏导
2x+2x·z!-2-4 0 12y+2x*z+2-42=0 由函数取极值的必要条件知,驻点为P(1,-1), 将上方程组再分别对x,y求偏导数, 将P(1,-1代入原方程, x Ip B=m Ip=0, C=zIp= 2-z 故B2-AC (2-2<0(z≠2), 将P(1,-1)代入原方程,有=-2,z2=6, 当不1=-2时,A=>0
+ + − = + − − = 2 2 2 4 0 2 2 2 4 0 y y x x y z z z x z z z 由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,−1), 将上方程组再分别对x, y 求偏导数, , 2 1 , | 0, | 2 1 | z B z C z z A zxx P xy P yy P − = = = = − = = 故 0 ( 2) (2 ) 1 2 2 − − = − z z B AC , 将P(1,−1)代入原方程, 将P(1,−1)代入原方程, 有z1 = −2, z2 = 6, 当z1 = −2时， 0 4 1 A =
所以z=f(1,1)=-2为极小值; 当z2=6时,A=-<0,所以z=∫(,-1)=6为极大值 求函数z=f(x,y)极值的一般步骤: 第一步解方程组∫x(x,y)=0,f,(x,y)=0 求出实数解,得驻点 第二步对于每一个驻点(x0,y) 求出二阶偏导数的值A、B、C 第三步定出AC-B2的符号,再判定是否是极值
所以z = f (1,−1) = −2为极小值； 当z2 = 6时， 0 4 1 A = − , 所以z = f (1,−1) = 6为极大值. 求函数z = f (x, y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f (x, y) = 0, x f y (x, y) = 0 求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点( , ) 0 0 x y ， 求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第三步 定出 2 AC − B 的符号，再判定是否是极值
3、多元函数的最值 与一元函数相类似,我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值. 求最值的一般方法 设∫(x,y)在D上连续,D内可微且在 D内至多有有限个驻点这时若∫(x,y) 在D内取得最值,则这个最值也一定是极值 故一般方法是 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最 大者即为最大值,最小者即为最小值
3、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值. 求最值的一般方法 设 f ( x , y ) 在D上连续，D内可微且在 D内至多有有限个驻点,这时若 f ( x , y ) 在D内取得最值,则这个最值也一定是极值 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值. 故一般方法是
在实际问题中,往往根据问题的性质就可 以断定函数在区域内部确有最大值(最小值), 这时如果函数在区域内只有一个驻点,则可以 断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大 值(最小值) 例2求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y) 在直线x+y=6,x轴和轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值 4 解如图, 先求函数在D内的驻点, -100 -15 x+y=6 D
在实际问题中，往往根据问题的性质就可 以断定函数在区域内部确有最大值（最小值）， 这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以 断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大 值（最小值） 例 2 求二元函数 ( , ) (4 ) 2 z = f x y = x y − x − y 在直线x + y = 6，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值. 解 如图, 先求函数在D内的驻点， x y o x + y = 6 D D