教学重点:算术平方根的概念和求法。 教学难点:算术平方根的求法 教具准备:三块大小相等的正方形纸片:学生计算器。 教学方法:自主探究、启发引导、小组合作 【教学过程】 、情境引入: 问题:学校要举行美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为25m2的正方形画布,画上自己得意 的作品参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少? 、探索归纳 探索 学生能根据已有的知识即正方形的面积公式:边长的平方等于面积,求出正方形画布的边长为5dm 接下来教师可以再深入地引导此问题 4 如果正方形的面积分别是1、9、16、3·25’那么正方形的边长分别是多少呢? 学生会求出边长分别是1、3、4、6、三,接下来教师可以引导性地提问:上面的问题它们有共同点吗?它 们的本质是什么呢?这个问题学生可能总结不出来,教师需加以引导 上面的问题,实际上是已知一个正数的平方,求这个正数的问题。 2.归纳: (1)算术平方根的概念 般地,如果一个正数x的平方等于a,即x=a那么这个正数x叫做a的算术平方根 2)算术平方根的表示方法 a的算术平方根记为√a,读作“根号a”或“二次很号a”,a叫做被开方数。 三、应用 例1、求下列各数的算术平方根: (3)1 (4)0.0001 解:(1因为102=100所以100的算术平方根是10,即√100=10; (2因为()2=2,所以的算术平方根是 7 8 (因为12=16 16 99()9听以1的算术平方根是 9-V9-3
16 教学重点：算术平方根的概念和求法。 教学难点：算术平方根的求法。 教具准备: 三块大小相等的正方形纸片；学生计算器。 教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作 【教学过程】 一、情境引入： 问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为 2 25dm 的正方形画布，画上自己得意 的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 二、探索归纳： 1.探索： 学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为 5dm。 接下来教师可以再深入地引导此问题： 如果正方形的面积分别是 1、9、16、36、 25 4 ，那么正方形的边长分别是多少呢？ 学生会求出边长分别是 1、3、4、6、 5 2 ，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题它们有共同点吗？它 们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 2.归纳： ⑴算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x 2 =a 那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。 ⑵算术平方根的表示方法： a 的算术平方根记为 a ，读作“根号 a”或“二次很号 a”，a 叫做被开方数。 三、应用： 例1、 求下列各数的算术平方根： ⑴ 100 ⑵ 64 49 ⑶ 9 7 1 ⑷ 0.0001 ⑸ 0 解：⑴因为 10 100, 2 = 所以 100 的算术平方根是 10 ，即 100 = 10 ； ⑵因为 64 49 ) 8 7 ( 2 = ，所以 64 49 的算术平方根是 8 7 ，即 8 7 64 49 = ； ⑶因为 9 16 ) 3 4 ,( 9 16 9 7 1 2 = = ，所以 9 7 1 的算术平方根是 3 4 ，即 3 4 9 16 9 7 1 = = ；
(4因为0012=00001,所以00001的算术平方根是001,即√00001=001: (5因为02=0,所以0的算术平方根是0,即√O=0。 注:①根据算术平方根的定义解题,明确平方与开平方互为逆运算 ②求带分数的算术平方根,需要先把带分数化成假分数,然后根据定义去求解 ③0的算术平方根是0 由此例题教师可以引导学生思考如下问题: 你能求出-1,-36,-100的算术平方根吗?任意一个负数有算术平方根吗? 归纳:一个正数的算术平方根有1个:0的算术平方根是0:负数没有算术平方根。 即:只有非负数有算术平方根,如果x=√a有意义,那么a≥0,x≥0 注:a≥0且√a≥0这一点对于初学者不太容易理解,教师不要强求,可以在以后的教学中慢慢渗透。 例2、求下列各式的值 (1) (2) V81(3)√-1)2(4)√62 分析:此题本质还是求几个非负数的算术平方根 解:(1)√4=2(2) V819 (3)√(-1 112=11(4)√62=6 例3、求下列各数的算术平方根 (1)32(24(3)(-10)2(4) 解:(1)因为32=9,所以√32=9=3 (2为43=64=82,所以√43=√64=8 3因为(-10)2=100=102,所以√-10)2=√00=10 (4)因为 1,所以105-10 根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结: 1、由√32=3,√62=6,可得√a2=a(a20) 2、由√(-1)2=11,√(-10)2=10,可得 (a≤0) 教师需强调a=0时对两种情况都成立
17 ⑷因为 0.01 0.0001 2 = ，所以 0.0001 的算术平方根是 0.01 ，即 0.0001 = 0.01 ； ⑸因为 0 0 2 = ，所以 0 的算术平方根是 0 ，即 0 = 0 。 注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算； ②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解； ③0 的算术平方根是 0。 由此例题教师可以引导学生思考如下问题： 你能求出－1,－36,－100 的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？ 归纳：一个正数的算术平方根有 1 个；0 的算术平方根是 0；负数没有算术平方根。 即：只有非负数有算术平方根，如果 x = a 有意义，那么 a 0, x 0。 注： a 0 且 a 0 这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后的教学中慢慢渗透。 例2、 求下列各式的值： （1） 4 （2） 81 49 （3） 2 (−11) （4） 2 6 分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。 解：（1） 4 = 2 （2） 9 7 81 49 = （3） ( 11) 11 11 2 2 − = = （4） 6 6 2 = 例3、 求下列各数的算术平方根： ⑴ 2 3 ⑵ 3 4 ⑶ 2 (−10) ⑷ 6 10 1 解：(1)因为 3 9 2 = ，所以 3 9 3 2 = = ； ⑵因为 3 2 4 = 64 = 8 ，所以 4 64 8 3 = = ； ⑶因为 2 2 (−10) =100 =10 ，所以 ( 10) 100 10 2 − = = ； ⑷因为 3 6 10 1 10 1 = ，所以 6 3 10 1 10 1 = 。 根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结： 1、由 3 3 2 = ， 6 6 2 = ，可得 ( 0) 2 a = a a 2、由 ( 11) 11 2 − = ， ( 10) 10 2 − = ，可得 ( 0) 2 a = −a a 教师需强调 a = 0 时对两种情况都成立
四、随堂练习: 1、算术平方根等于本身的数有 2、求下列各式的值: √i V25 3、求下列各数的算术平方根 00025,121,42,(--)2 16 4、已知√a+1+√b-1=0,求a+2b的值 五、课堂小结 1、这节课学习了什么呢? 2、算术平方根的具体意义是怎么样的? 3、怎样求一个正数的算术平方根 六、布置作业 课本第44页习题第1、2题 教学反思 6.1.2平方根 第2课时 【教学目标】 知识与技能: 会用计算器求算术平方根;了解无限不循环小数的特点:会用算术平方根的知识解决实际问题 过程与方法 通过折纸认识第一个无理数√2,并通过估计它的大小认识无限不循环小数的特点。用计算器计算算术平方 根,使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根,再通过一些特殊的例子找出一些数的算术平方 根的规律,最后让学生感受算术平方根在实际生活中的应用。 情感态度与价值观 通过探究√2的大小,培养学生的估算意识,了解两个方向无限逼近的数学思想,并且锻炼学生克服困难的 意志,建立自信心,提高学习热情。 教学重点 ①认识无限不循环小数的特点,会估算一些数的算术平方根。 ②会用算术平方根的知识解决实际问题 教学难点 认识无限不循环小数的特点,会估算一些数的算术平方根。 教学方法:自主探究、启发引导、小组合作 教学过程: 通过实验引入
18 四、随堂练习： 1、算术平方根等于本身的数有＿＿＿＿＿。 2、求下列各式的值： 1 ， 25 9 ， 2 5 ， 2 (−7) 3、求下列各数的算术平方根： 0.0025， 121， 2 4 ， 2 ) 2 1 (− ， 16 9 1 4、已知 a +1 + b −1 = 0, 求 a + 2b 的值。 五、课堂小结 1、这节课学习了什么呢？ 2、算术平方根的具体意义是怎么样的？ 3、怎样求一个正数的算术平方根？ 六、布置作业 课本第 44 页习题第 1、2 题 教学反思 6.1.2 平方根 第 2 课时 【教学目标】 知识与技能： 会用计算器求算术平方根；了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问题。 过程与方法： 通过折纸认识第一个无理数 2 ，并通过估计它的大小认识无限不循环小数的特点。用计算器计算算术平方 根，使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根，再通过一些特殊的例子找出一些数的算术平方 根的规律，最后让学生感受算术平方根在实际生活中的应用。 情感态度与价值观： 通过探究 2 的大小，培养学生的估算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想，并且锻炼学生克服困难的 意志，建立自信心，提高学习热情。 教学重点： ①认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。 ②会用算术平方根的知识解决实际问题。 教学难点： 认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。 教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作 教学过程： 一、通过实验引入：
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形? 如图,把两个小正方形沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为2的大正方形 你知道这个大正方形的边长是多少吗? 设大正方形的边长为x,则x2=2,由算术平方根的意义可知x=√2, 所以大正方形的边长为√2。 讨论√2的大小: 由上面的实验我们认识了√2,它的大小是多少呢?它所表示的数有什么特征呢?下面我们讨论√2的大 因为12=1.22=4.12<2<2,所以1<√2<2 因为142=1.96,1.52=2.25,所以14<√2<15 因为1412=19881,1422=20164,所以141<√2<142 因为14142=1.9996,14152=2.00225,所以1414<√2<1415 如此进行下去,我们发现它的小数位数无限,且小数部分不循环,像这样的数我们成为无限不循环小数 2=141421356… 注:这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想,学生第一次接触,不好理解,教师在讲解时速度 要放慢,可能需要讲两遍。√2=141421356…,是个无限不循环小数,但是很抽象,没有办法全部表示出来 它的大小,类似这样的数还有很多,比如√3,√5,√7等,圆周率π也是一个无限不循环小数 用计算器求算术平方根: 大多数计算器都有“√”键,用它可以求出一个有理数的算术平方根或近似值 例1、用计算器求下列各式的值: (1)√3136:(2)√2(精确到000) 解:(1)依次按键√3136=,显示:56.所以√3136=56 (2)依次按键√2=,显示:1414213562,这是一个近似值。所以√2≈1414 注:不同品牌的计算器,按键的顺序可能有所不同 四、探索规律:
19 怎样用两个面积为 1 的小正方形拼成一个面积为 2 的大正方形？ 如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 的大正方形。 你知道这个大正方形的边长是多少吗？ 设大正方形的边长为 x ，则 2 2 x = ，由算术平方根的意义可知 x = 2 ， 所以大正方形的边长为 2 。 二、讨论 2 的大小： 由上面的实验我们认识了 2 ，它的大小是多少呢？它所表示的数有什么特征呢？下面我们讨论 2 的大 小。 因为 1 1,2 4, 2 2 = = 2 1 ＜ 2 ＜ 2 2 ，所以 1 ＜ 2 ＜ 2 . 因为 1.4 1.96 2 = ，1.5 2.25 2 = ，所以 1.4 ＜ 2 ＜ 1.5。 因为 1.41 1.9881 2 = ，1.42 2.0164 2 = ，所以 1.41 ＜ 2 ＜ 1.42 因为 1.414 1.999396 2 = ，1.415 2.002225 2 = ，所以 1.414 ＜ 2 ＜ 1.415 …… 如此进行下去，我们发现它的小数位数无限，且小数部分不循环，像这样的数我们成为无限不循环小数。 2 =1.41421356…… 注：这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想，学生第一次接触，不好理解，教师在讲解时速度 要放慢，可能需要讲两遍。 2 =1.41421356 ……，是个无限不循环小数，但是很抽象，没有办法全部表示出来 它的大小，类似这样的数还有很多，比如 3, 5, 7 等，圆周率π也是一个无限不循环小数。 三、用计算器求算术平方根： 大多数计算器都有“ ”键，用它可以求出一个有理数的算术平方根或近似值。 例1、 用计算器求下列各式的值： (1) 3136 ； (2) 2 （精确到 0.001) 解：（1）依次按键 3136 = ，显示：56.所以 3136 = 56 （2）依次按键 2=，显示： 1.414213562 ，这是一个近似值。所以 2 1.414. 注：不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同。 四、探索规律：
(1)利用计算器计算,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律 (2)用计算器计算√3(结果保留4个有效数字),并利用你发现的规律写出√003,√300 3OOOO的近似值。你能根据√3的值求出√30的值吗? 学生通过计算器可求出(1)的答案,依次是:0.25,0.791,25,7.91,25,79.1,250。从运算结果可以发现,被 开方数扩大或缩小100倍时,它的算术平方根就扩大或缩小10倍 由√3≈1.732可得√003≈0.1732,√300=17.32,√30001732,由√3的值不能求出√30的值,因 为规律是被开方数扩大或缩小100倍时,它的算术平方根才扩大或缩小10倍,而3到30扩大的是10倍,所以 不能由此规律求出 此题学生可独立完成 五、实际应用: 例1、小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300cm 的长方形纸片,使它的长与宽之比为3:2,不知道能否裁出来,正在发愁,小明见了说:“别发愁,一定 能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。”你同意小明的说法吗?小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸 片吗? 分析:学生一般认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。通过计算和讲解纠正这种错误的认 识。 解:设长方形纸片的长为3xcm,宽为2xcm 根据边长与面积的关系可得:3x.2x=300,6x2=300,x2=50,x=√50 ∴长方形纸片的长为3√50cm。因为50>49,所以√50>7,从而3√50>21 即长方形纸片的长应该大于2lcm,而己知正方形纸片的边长只有20cm,这样长方形纸片的长将大于正方 形纸片的边长。 答:不能同意小明的说法。小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片 六、随堂练习: 1.用计算器求下列各式的值 (1)√1369(2)√1012036(3)√5(精确到001) 估计大小 (1)√140与12(2) 20.5 3、已知√2≈1414,求√002,√0000,√200,√20000的值 七、课堂小结 1、被开方数增大或缩小时,其相应的算术平方根也相应地增大或缩小,因此我们可以利用夹值的方法来求 出算术平方根的近似值: 2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值
20 （1）利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？ … … … … (2)用计算器计算 3 （结果保留 4 个有效数字），并利用你发现的规律写出 0.03 ， 300 ， 30000 的近似值。你能根据 3 的值求出 30 的值吗？ 学生通过计算器可求出（1）的答案，依次是： 0.25,0.791,2.5,7.91,25,79.1,250 。从运算结果可以发现，被 开方数扩大或缩小 100 倍时，它的算术平方根就扩大或缩小 10 倍。 由 3 1.732 可得 0.03 0.1732, 300 = 17.32, 30000 173.2 ，由 3 的值不能求出 30 的值，因 为规律是被开方数扩大或缩小 100 倍时，它的算术平方根才扩大或缩小 10 倍，而 3 到 30 扩大的是 10 倍，所以 不能由此规律求出。 此题学生可独立完成。 五、实际应用： 例 1、小丽想用一块面积为 2 400cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 2 300cm 的长方形纸片，使它的长与宽之比为 3： 2 ，不知道能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定 能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。”你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸 片吗？ 分析：学生一般认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。通过计算和讲解纠正这种错误的认 识。 解：设长方形纸片的长为 3xcm ，宽为 2xcm。 根据边长与面积的关系可得： 3x 2x = 300，6 300 2 x = ， 50 2 x = ， x = 50 ∴长方形纸片的长为 3 50cm 。因为 50 ﹥ 49 ，所以 50 ﹥ 7 ，从而 3 50 ﹥ 21 即长方形纸片的长应该大于 21cm ，而已知正方形纸片的边长只有 20cm ，这样长方形纸片的长将大于正方 形纸片的边长。 答：不能同意小明的说法。小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。 六、随堂练习： 1.用计算器求下列各式的值： （1） 1369 （2） 101.2036 （3） 5 （精确到 0.01 ） 2、估计大小： （1） 140 与 12 （2） 2 5 −1 与 0.5 3、已知 2 1.414 ，求 0.02 ， 0.0002 ， 200 ， 20000 的值。 七、课堂小结 1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求 出算术平方根的近似值； 2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值；