命题3.15当前时刻t所用的部件的寿命TN+1的概率分布密度函数为 Pr(S)=(1+.s)eo)(s)+(1+xD)e=(s) 例3.16设第k个乘客到达公共汽车站的时刻τk,服从指数流,则在[Q,4中所有 乘客等待时间的和的数学期望为 E∑(t-k)=E{E(∑(-τk)N k=1 ∑P(N=n)E(∑(-r)|N=n) ∑P(N=nm-∑E(r;|N,=n) 由定理3.11可知上式右方第二项等于n个独立的U[O,]随机变量和的期望,其值应 为一,于是 C(-)=∑-c 2.4常见的推广 1.非时齐的 Poisson过程 对于独立增量过程N1,如果存在可积正函数入()使N1-N,~eNp 那么N就 称为强度函数为(1)的非时齐 Poisson过程.而 Poisson过程的强度函数为常数 定理3.10(时齐 Poisson过程的非齐次分流定理) 设N为强度为λ的 Poisson过程把其相应的指数流看成顾客流,对任意时刻s,如有顾 客到达,则以与此指数流相独立的概率p(s)(0<p(s)<1),确定该顾客归入第一类,而以 概率1-p()确定该顾客归入第二类记N,为t前到达的第类顾客数那么 20号N20分别为强度(与小a-p()的非时齐m过 程,而且相互独立 证明与 Poisson过程的分流定理相仿.只要注意 P(N-N0=1) p(1)元·h+o(h)、(i=1) (1-p()·h+o(b)(=2)
55 命题３.１５ 当前时刻t 所用的部件的寿命TNt +1 的概率分布密度函数为 ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) [0, ) [ , ) 1 p s s e I s t e I s t s t s TNt ¥ -l -l D = l + l × + l + l × + . 例３．１６ 设第k 个乘客到达公共汽车站的时刻 k t , 服从指数流, 则在[0,t] 中所有 乘客等待时间的和的数学期望为 ( ( )) { ( ( ) | )} 1 1 å å = = - = - t Nt k k t N k E t t k E E t t N å å ¥ = = = = - = 0 1 ( ) ( ( ) | ) n n k P Nt n E t t k Nt n å å ¥ = = = = - = 0 1 ( )( ( | )) n n k P Nt n nt E t k Nt n ． 由定理３．１１可知上式右方第二项等于n 个独立的U[0,t]随机变量和的期望, 其值应 为 2 nt , 于是 ( ( )) 1 å= - Nt k k E t t ) 2 ( ! ( ) 0 å ¥ = - = - n t n nt e nt n t l l 2 2 lt = ． 2. 4 常见的推广 １．非时齐的 Poisson 过程 对于独立增量过程 Nt ，如果存在可积正函数 l(t) 使 u du t s t s N N ( ) ~ exp l ò - ，那么 Nt 就 称为强度函数为l(t) 的非时齐 Poisson 过程．而 Poisson 过程的强度函数为常数． 定理 3.１0’ (时齐 Poisson 过程的非齐次分流定理) 设Nt 为强度为l 的 Poisson 过程, 把其相应的指数流看成顾客流, 对任意时刻s, 如有顾 客到达, 则以与此指数流相独立的概率 p(s) (0 < p(s) < 1) , 确定该顾客归入第一类, 而以 概率1- p(s) 确定该顾客归入第二类. 记 (i) Nt 为t 前到达的第i 类顾客数. 那么 { : 0} (1) Nt t ³ 与{ : 0} (2) Nt t ³ 分别为强度 ò t p s ds 0 l ( ) 与 ò - t p s ds 0 l (1 ( )) 的非时齐 Poisson 过 程, 而且相互独立． (证明与 Poisson 过程的分流定理相仿. 只要注意 î í ì - × + = × + = + - = = (1 ( )) ( ),( 2) ( ) ( ),( 1) ( 1) ( ) ( ) p t h o h i p t h o h i P N N i t i t h l l )
(这个定理还可以推广到分成多个类的情形) 2.带随机调制的 Poisson过程(二重 Poisson过程) 设{c}为随机过程,若在{5,}已知的条件下,非负整值随机过程N为强度为()的非时齐 Poisson过程,则N称为带随机调制{s}的 Poisson过程,也称为二重 Poisson过程.而更常见的是 带随机线性自调制λ·N,的 Poisson过程,也称为(o-记忆)自激点过程(参见第17章第5节) 非负随机变量也常称为一个随机时间随机时间T称为{1}可知的如果对于任意1,事件{≤l 可由过程{s}在t的信息:{5:S≤l所决定,{s;}可知的随机时间又称为{s1}-停时对于带随 机调制{5,}的 I Poisson过程N,假定它所决定的流为{xn},则n们也都是{;}-可知的,也就是说 它们都是{51}-停时 3二维 Poisson过程 设有两类不同的”事故”事故I及事故Ⅱ.记0,t内发生事故I及事故Il的次数分别为 并设它们满足 (1)在不同的时间区段内事故申报数是独立的 (2)在同样长的时间区段内事故申报数的联合概率规律是一样的; (3)No=(0.0),又假定在有限时间区段内,两种事故申报数是有限的,而且在非常短 的时间区段△t内任意一种事故申报数超过2的概率相对于△t为高价无穷小o(△t)(即 P(N≥2或N2)22)=O(△),P(N(=1,N2=0)=λ1△ P(N=0,N2=1)=λ2△M,P(N、=1,N=D=△N) 仿照 Poisson过程情形,我们可以推导得N,的矩母函数为 ee=N+2N, =-(=21-1)-2(-2-1)H(=1-2-1) 由它的展开式就可以得到N,的各种概率分布 2.5复合 Poisson过程 设{n}为独立同分布序列,而N,是一个与它独立的强度为入的 Poisson过程.我们称随 机过程5;=n1+12+…+n为(强度为λ的)复合 Poisson过程. s1的特征函数为 p(a, t+s)=Eels ms= Ee a(n++.)
56 （这个定理还可以推广到分成多个类的情形）． ２．带随机调制的 Poisson 过程（二重 Poisson 过程） 设{ }t V 为随机过程，若在{ }t V 已知的条件下，非负整值随机过程 Nt 为强度为 ( )t l V 的非时齐 Poisson 过程，则 Nt 称为带随机调制{ }t V 的 Poisson 过程，也称为二重 Poisson 过程．而更常见的是 带随机线性自调制 Nt l × 的 Poisson 过程，也称为（０－记忆）自激点过程（参见第１７章第５节）． 非负随机变量也常称为一个随机时间. 随机时间t 称为{ }t V -可知的，如果对于任意t , 事件{t £ t} 可由过程{ }t V 在 t 的信 息：{ : s t} V s £ 所决定. { }t V -可知的随机时间又称为 { }t V -停时.对于带随 机调制{ }t V 的 Poisson 过程 Nt ，假定它所决定的流为 {t n }， 则 n t 们也都是{ }t V -可 知的，也就是说， 它们都是{ }t V -停时. ３ 二维 Poisson 过程 设有两类不同的”事故”: 事故 I 及事故 II. 记[0,t]内发生事故 I 及事故 II 的次数分别为 ( , ) (1) (2) Nt = Nt Nt , 并设它们满足: (1) 在不同的时间区段内事故申报数是独立的; (2) 在同样长的时间区段内事故申报数的联合概率规律是一样的; (3) N0 = (0,0) , 又假定在有限时间区段内，两种事故申报数是有限的, 而且在非常短 的时间区段Dt 内任意一种事故申报数超过 2 的概率相对于Dt 为高价无穷小 o(Dt ) (即 ( 2 2) ( ) (1) (2 ) P N N o t Dt ³ 或 Dt ³ = D , ( 1, 0) , 1 (1) (2) P N N t Dt = Dt = = l D P N N t Dt = Dt = = l2D (1) (2) ( 0, 1) , P N N t ( Dt =1, Dt = 1) = mD (1) (2) ). 仿照 Poisson 过程情形, 我们可以推导得Nt 的矩母函数为 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 2 2 1 2 (2) 2 (1) 1 + - - - - - - = z N z N z z z z Ee e t t l l m . 由它的展开式就可以得到 Nt 的各种概率分布. 2. 5 复合 Poisson 过程 设{ } hn 为独立同分布序列, 而Nt 是一个与它独立的强度为l 的 Poisson 过程. 我们称随 机过程 Nt V t =h1 +h2 +L+h 为 (强度为l 的) 复合 Poisson 过程. t V 的特征函数为 ( ) 1 ( , ) t s Nt s ia ia a t s Ee Ee + + + + + = = V h h F L