(2)设r为连续型变量，其密度函数为f八x)。若积分g(r)f八x)r绝对收敛，则 有 E(P)=ELg(】=∫g(x)f(x)k 这个定理说明，在求'=g()的数学期望时，不必知道Y的分布而只需知道X 的分布即可。定理的证明超出了本书的范围，此处从略。 这个定理还可以推广到两个或多个随机变量的函数的情况。 设Z是随机变量X,尸的函数Z=gX,)(8为连续函数)，则Z也是一个随机变 量 若(X,门为离散型随机变量，且其联合分布律为 PX=x,'=y)=P,,j=1,2, 则有 E(Z)=ag(X.=g(x.)p 若(X,门为连续型随机变量，且其联合密度函数为八x,),则有 E(Z)=(r=(.drdv. 这里要求等式右端的级数或积分都是绝对收敛的。 例7 设随机变量X服从参数为n,p的二项分布，P=e2r,求E(P)。 解因为X~n,P),分布律为 PX=)=Cpq★，k=0,l,2,,n, 所以 an-)-cg-cipi-(p+or 其中p+q=1 例8设二维随机变量(X,门的密度函数为 x+5,0≤x≤1,0≤y≤1 x=0， 其他 求) 解E(X,月=w/x,川h=6y(x+)h=3
(2) 设 X 为连续型变量,其密度函数为 f (x) 。若积分 绝对收敛，则 g( x) f ( x)dx 有 E (Y ) E[ g ( X )] g ( x ) f ( x ) dx 这个定理说明，在求 Y g(X ) 的数学期望时，不必知道Y 的分布而只需知道 X 的分布即可。定理的证明超出了本书的范围，此处从略。 这个定理还可以推广到两个或多个随机变量的函数的情况。 设 Z 是随机变量 X ,Y 的函数 Z g(X ,Y ) ( g 为连续函数)，则 Z 也是一个随机变 量. 若(X ,Y ) 为离散型随机变量，且其联合分布律为 P(X x ,Y y ) p ,i, j 1,2..., i i ij 则有 ( ) [ ( , )] ( , ) . 1 1 i j i i p ij E Z E g X Y g x y 若(X ,Y ) 为连续型随机变量，且其联合密度函数为 f ( x, y)，则有 ( ) [ ( , )] ( , ) ( , ) . E Z E g X Y g x y f x y dxdy 这里要求等式右端的级数或积分都是绝对收敛的。 例 7 7 设随机变量 X 服从参数为n, p 的二项分布,Y e 2 X ,求 E(Y )。 解 因为 X ~ B(n, p) ，分布律为 P(X k ) C p q , k 0,1,2,...,n, k k n k n 所以 k k n k n k n k X E Y E e e C p q 2 0 2 ( ) ( ) k k n k n n k C p e q ( ) 2 0 n ( pe q) 2 其中 p q 1 例 8 8 设二维随机变量(X ,Y ) 的密度函数为 0, 其他 , 0 1, 0 1 ( , ) x y x y f x y 求 E(XY). 解 E( X ,Y ) xyf ( x , y )dxdy 1 0 1 0 3 1 xy ( x y ) dxdy
例9设二维随机变量（广，门的密度函数为 x= 1+32),0<x<2,0<y<1 0, 其他 求AE)(和E( 解 =r…41+3y)dd=46r6+3r)=手 -…1+3)-xa1+3r)- n)=…+3)=号6r1+3r)=音 女)=生1+32)=41+3r)=§ 例10设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位：吨)，它 服从[2000,4000]上的均匀分布。若售出这种商品1吨，可赚3万元，但销售不出去， 则每吨需付仓库保管费1万元，问该商品应出口多少吨才可的得到最大利益？ 解设每年出口该种商品y吨(2000≤y≤4000)，则收益 y=g(= 3y, X≥y「3y,r≥y 3X-(y-),r<y4r-5,r<y 于是由 3八，x≥y g(r)= 4x-八，x<y f八x)= ,2000≤x≤4000 2000 0 得 5U）=g·00本=004-本+，3达 =2000-2+7000y-4×106) 当y=3500时，E(月取到最大值，故出口此种商品3500吨长可得到最大收益
例 9 9 设二维随机变量(X ,Y ) 的密度函数为 0, 其他 (1 3 ), 0 2, 0 1 4 1 ( , ) 2 x y x y f x y 求 E( X)、E(Y )、E(XY) 和/ ( ). X Y E 解 1 0 2 0 2 (1 3 ) 4 1 E ( X ) x x y dxdy . 3 4 (1 3 ) 4 1 2 0 2 1 0 2 x dx y dy 1 0 2 0 2 (1 3 ) 4 1 E (Y ) y x y dxdy . 8 5 (1 3 ) 4 1 2 0 2 1 0 x dx y y dy 1 0 2 0 2 (1 3 ) 4 1 E ( XY ) xy x y dxdy . 6 5 (1 3 ) 4 1 2 0 2 1 0 2 x dx y y dy 1 0 2 0 2 (1 3 ) 4 1 ( ) x y dxdy x y X Y E . 8 5 (1 3 ) 4 1 2 0 2 1 0 dx y y dy 例 10 10 设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量 X (单位:吨)，它 服从[2000，4000]上的均匀分布。若售出这种商品 1 吨，可赚 3 万元，但销售不出去， 则每吨需付仓库保管费 1 万元，问该商品应出口多少吨才可的得到最大利益? 解 设每年出口该种商品 y 吨(2000 y 4000) ，则收益 X y X y y X y X y X X y y X y Y g X 4 , 3 , 3 ( ), 3 , ( ) 于是由 x y x y y x y g x 4 , 3 , ( ) , 0 ,2000 4000 2000 1 ( ) x f x 得 4000 2000 2000 1 E (Y ) g ( x ) dx y y x y dx ydx 2000 4000 [ ( 4 ) 3 2000 1 ( 7000 4 10 ). 2000 1 2 6 y y 当 y = 3500 时， E(Y ) 取到最大值，故出口此种商品 3500 吨长可得到最大收益
4.1.4数学期望的性质 现在给出数学期望的几个常用性质。在下面的讨论中，所遇到的随机变量的数学期 望均假设存在，且只对连续型随机变量给予证明，至于对离散型随机变量的证明只需 将积分换为类似的求和即可。 1.设C为常数，则有（○=C 证可将C看成离散型随机变量，分布律为P代厂==1.故由定义即得 E○=C 2.设C为常数，r为随机变量，则有C月=C) 证设X的密度函数为f(x),则有 E(Cr)=cvf(x)dr=c(x)d =CE(Y 3.设X,Y为任意两个随机变量，则有X+门=E(门+E() 证设二维随机变量(X,门的密度函数为(x,),边缘密度函数分别为 r(x八f(y),则 E(X+=[(x+y)f (x,y)drdy =」」f(x,y)d+」rf(x,)dd =∫frx)k+∫fy) =E()+E() 这一性质可以推广到任意有限多个随机变量之和的情形，即 X+X,+…+Xn)=EX)+)+.+E(Xn) 一般地，随机变量线性组合的数学期望，等于随机变量数学期望的线性组合，即 E(aY+ar,+...+ar)=aE(Y )+aE(Y)+...+a (Y) 其中a1,a2,…an为常数。 4.设X,Y为相互独立的随机变量，则有)=门E(月 证因为厂与'相互独立，其联合密度函数与边缘密度函数满足
4.1.4 4.1.4 数学期望的性质 现在给出数学期望的几个常用性质。在下面的讨论中，所遇到的随机变量的数学期 望均假设存在，且只对连续型随机变量给予证明，至于对离散型随机变量的证明只需 将积分换为类似的求和即可。 1. 1. 设C为常数，则有 E(C) C. 证 可将 C 看成 离散 型随 机变 量， 分布 律为 P(X C) 1. 故由 定义 即得 E(C) C. 2. 2. 设C为常数， X 为随机变量，则有 E(CX) CE(X). 证 设 X 的密度函数为 f (x) ，则有 E (CX ) Cxf ( x )dx C xf ( x )dx CE(X ) 3. 3. 设 X,Y 为任意两个随机变量，则有 E( X Y ) E(X ) E(Y ). 证 设二维 随机 变 量 (X ,Y ) 的密度 函数 为 f (x, y) ，边缘 密度 函 数分 别为 f X (x)、f（Y y），,则 E（X Y） （x y）f（x，y）dxdy xf（x，y）dxdy yf（x，y）dxdy xf x dx （X ） yf y dx （Y ） E（X） E（Y）. 这一性质可以推广到任意有限多个随机变量之和的情形,即 ( ... ) ( ) ( ) ... ( ). E X1 X 2 X n E X1 E X 2 E X n 一般地，随机变量线性组合的数学期望，等于随机变量数学期望的线性组合，即 ( ... ) = 1 1 2 2 nX n E a X a X a ( ) ( ) ... ( ). 1 1 2 2 nE X n a E X a E X a 其中a 1 ,a 2 ,...a n为常数。 4. 4. 设 X ,Y 为相互独立的随机变量，则有 E( XY) E(X )E(Y ). 证 因 为 X 与 Y 相 互 独 立 ， 其 联 合 密 度 函 数 与 边 缘 密 度 函 数 满 足
(x,)=r()(),所以 E(=∫」xf(x,=∫」frx)()d (x)](x)])). 这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，即若 ,2,,X,为相互独立的随机变量，则有 E(YY...Y)=E(Y)E(Y2)..E(Y). 例11一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以 下车。如到达一个车站没有旅客下车班车就不停。设每位旅客在各个车站下车是等可能 的。且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求（门 解设随机变量 〔0，第个车站无人下车(1,210) X,=山，第个车站有人下车 则有X=X+X2+…+Xo 由题意，任一旅客在第个车站不下车的概率为 0士=0表示第/站没有旅客下 0 20 车，故20位旅客都不在第1站下车的概率为 ,在第1站有人下车的概率为 0 20 -10 于是得X的分布律如下： X 0 1 P (9/10)20 1-(9/10)20 从而 E(=EX+2+.+Xo)=E(X)+E(2)+.+E(ro) -o-(8 这表明班车平均停车约9次
f (x, y) f X (x) f Y ( y) ，所以 E（XY） xyf（x，y）dxdy xyf x f y dxdy X Y （ ） ( ) [ xf x dx ] （X ） [ yf x dx ] （Y ） E(X )E(Y ). 这一 性 质 可 以 推广到 任 意 有 限 多 个 相 互 独 立 的 随 机 变量 之 积 的 情 形 ， 即 若 X1 , X 2 ,...,X n为相互独立的随机变量，则有 ( ... ) ( ) ( )... ( ). E X1X 2 X n E X 1 E X 2 E X n 例 11 11 一民航机场的送客班车载有 20 位旅客，自机场开出，沿途旅客有 10 个车站可以 下车。如到达一个车站没有旅客下车班车就不停。设每位旅客在各个车站下车是等可能 的。且各旅客是否下车相互独立，以 表示停车的次数，求 。 X E(X ) 解 设随机变量 (i=1,2,...10) 第 个车站有人下车 第 个车站无人下车 1, i 0, i X i 则有 1 2 10 X X X ... X 由题意，任一旅客在第 i 个车站不下车的概率为 , 0 表示第 i 站没有旅客下 10 9 X i 车，故 20 位旅客都不在第 i 站下车的概率为 ，在第 i 站有人下车的概率为 20 10 9 ，于是得 的分布律如下： 20 10 9 1 X i 因此 20 20 10 9 1 1 10 9 E(Xi) 0 , 1,2,...10, 10 9 1 20 i 从而 ( ) ( ... ) E X E X 1 X 2 X 10 ( ) ( ) ... ( ). E X 1 E X 2 E X 10 8.8 10 9 10 1 20 这表明班车平均停车约 9 次。 Xi 0 1 P (9/10) 20 1-(9/10) 20
类似本例将厂分解为若干个随机变量的和，然后利用数学期望的性质再求厂的数 学期望的方法，具有一定的普遍意义，使用得当，可使复杂问题简单化。 例12设二维随机变量(X,门的密度函数为八x,) r+s1 0 试验证E()=E(门，但r和P是不独立的. 解因为风=…=h层w=0, x2+2≤1 A=j∬x-dhd=0, π =j∬y…dd=0, 2+2≤1 所以E)=E(n门. 厂的边缘密度函数 m-x-层}-名-子1srL π 即f()= 2-F,-1≤x≤1 π 0 同理可得P的边缘密度函数，(y)= 2-,-1≤1 0 因为，所以八x,)≠千(x)(U),r和P是不独立的。 本例说明由()=()门.是不能得出X和Y是相互独立的结论的
类似本例将 X 分解为若干个随机变量的和，然后利用数学期望的性质再求 X 的数 学期望的方法，具有一定的普遍意义，使用得当，可使复杂问题简单化。 例 1 1 2 2 设二维随机变量(X ,Y ) 的密度函数为 0, , 1 1 ( , ) 2 2 x y f x y 试验证 E(XY) E(X)E(Y ),但 X 和Y 是不独立的. 解 因为 E XY xy dxdy x y 1 2 2 1 ( ) 2 2 1 1 1 1 0, 1 x x xdx ydy 0, 1 ( ) 1 2 2 E X x dxdy x y 0, 1 ( ) 1 2 2 E Y y dxdy x y 所以 E(XY) E(X )E(Y ). X 的边缘密度函数 2 2 1 1 1 ( ) ( , ) x x f X x f x y dy dy 1 , 1 1, 2 2 x x 即 0 1 , 1 1 2 ( ) 2 x x f x X 同理可得Y 的边缘密度函数 0 1 , 1 1 2 ( ) 2 y y f Y y 因为，所以 f (x, y) f X (x) f Y (y), X 和Y 是不独立的。 本例说明由 E(XY) E(X )E(Y ).是不能得出 X 和Y 是相互独立的结论的