§14群 对于P到A的一个同态a,令 Im a=a(r)=a(e)lvxE X] Ker a=f=lvr x, a(az)=1a 1.45) 它们分别称为a的象和核由定理141,容易验证Ima≤A 和 Ker g a p.如果一个从r到A的同态a满足Kera=1r,则 称a为单同态,如果从r到A的一个同态a满足ma=A, 则称a为满同态,对于两个群r和A,若有一个从r到A的 个同态,它既是单的又是满的,则称之为一个同构若r到 A有一个同构则称它们是同构的,并且记为P坐A.从P到它 本身的一个同构被称为I的自同构用1-r3可以容易地 检验r的所有自同构形成一个群,称之为r的自同构群,用 Autr表示 定理1.42(第一同构定徫)va∈Hom(I,A), r/Kera≈Ima 基于定理142,我们可以称r/Kera为a的上象.如果 Nar,则映象φ:x→Nz是从r到r/N的一个满同态,其中 Kerφ=N.我们称φ为标准同态 两个群r和A,A=(X,·)s(Y,·=T,令A=(XY’·,其 中XY={x|Vx∈x,v∈Y}.人们知道,ⅤAsI,N<F→ A∩N<A 定理143(第二同构定律)ⅥAsr,wNI, M/(N∩A)NM/N 令N和Q是r的两个正规子群和N≤Q.则,我们知道 Q/N 4T/N
18 第一章预备知识 定理1.44(第三同构定律)wN,qqr, NgQ→(r/N)/(Q/N)F/Q 令西是一个群,S是一个非空集和a:S→委是一个函 数.如果对于每一个函数a:S→r都有唯一个同态:→T 使得a=Bσ,则称亚,或者更确切地闽,),是在S上自由的 个群,如果存在一个集合使它在这个集合上是自由的,则称 它为自由群,由这个定义可以导出必为一个单射而且Ima 生成群更.事实上,可以证明对任何非空集S,存在一个群更和 一个函数a:S→更使得亟在S上是自由的而且=(Imo) 定理145如果1在S1上是自由的和更2在S2上是 自由的,则 这个定理使我们能够定义一个自由群的秩为所自由的集 的基数进而,我们知道任何一个群都是某自由群的象.这样 的象被称为这个群的一个表示.更准确地,所谓一个群r的 个自由表示是指这样的一个满同态π:更→I,垂是自由群 由定理14,有乎/ Ker T E I.Kerr的元素被称为表示的关条 元.从而,任何一个群都可以用生成元和关系元所表征,即使 群的表示已知,判定二个群同构与否,一般而言仍并非容易, 因为一个群可以有不同类型的表示 815曲面 因为一个曲面可看作这样的一个二维流形由一个具有偶 数个棱的多边形,称之为偶边形,沿着一定的方向将棱两两粘 合为一而得到.自然,这个多边形拓扑等价一个圆盘,这就允
81.5曲面 19 许我们将它定义为一个字母的集合,记为三,连同一个字,或 者说串带循环序的字母,记为S,且满足如下条件:Con.1, 2和Con3 Con1在S上有n,n≥1个互不相同的字母 Con.,2每一个字母在S上恰出现两次 Con3任何一个字母的每一个出现不是带1(常被忽略)就 是带-1作为幂 一个曲面被记为(,S),或简记S.令S为所有曲面的集 合.如果在同一曲面中,每一个字母的两次出现的幂均不同, 则称它为可定向的;否则,不可定向的在一个不可定向曲面 上,总有一个字母,它的两次出现有相同的幂.令P和Q分 别为所有可定向和不可定向曲面的集合,则有S=P+Q 如果一个曲面通过逆循环序,置换一些字母以及将一个字 母用它的逆代替可以变到另一个曲面,则此二曲面视为无异 令A,B,为一个曲面S∈S上相继字母的一段,或写为 A,B,≤S.注意,A,B,…皆线性序除非它们本身就是S 允许它们为空的或只含一个字母的一次出现在不致引起混淆 时,S也可视为三的一个子集.这就是说 s=ABCS- BCA=C-IB-IA-I S=Aa°BaPC,bgS (1.5,1) S= Ab Byc=Aa- Ba-pC 也许有人会想到一些简单的曲面是什么样的由条件 Con3容易看出
第一章预备知识 Po aa 1 P a:b:a,-1 b,1,p≥1; (15.2 cci;q≥1 1<i≤q 全是在各种条件下最简单的曲面.当然,P,P≥0,全是可定 向的.P被称为球面,或者在测地投影之下等价地,平面 P1为坏面.Q1为射影平面,和Q2,Klen瓶 所谓初等变换,即指如下三种运算和它们的逆 El0vS∈S, S=Aa-1B,A≠0,orB≠0→S=AB E1VS∈S S=Aabbb-la-c s=AaBa-1C S= AabBa6→S= Aa Bac. L2VS∈S, ∫S= Aa bca-D→S= BaADa1G S=AaBCaD= s= baac-laD-I 如果两个曲面可以通过一系列的初等变换从一个得到另 一个,则称二者是可转换的由12中的O1,02和O3,容易 检验,曲面间的可转换性是S上的一个等价,记为~E 定理11在(152)中,任何两个出面都不是可转换 的
§15曲面 由(151)和运算E0-E2,可得如下三个公式 AaBbCa IDbE NEl ADC BEaba-6-i AcBeC NEt AB Cc (153 Acaba b 根据(1.5.3)中的公式和E10,我们可以得到如下二个基本定 理 定理1.2Vs∈P,20,S~EFp 定理15.3W∈Q,3≥1,S~EQq 上面的三个定理使我们能够根据两个不变量:可定向性和 P≥0或q≥1在初等变换下将曲面分类,其中,p和q分别 称为可定向亏格和不可定向亏格.二者统称为亏格.令 Po={Sivs∈S,S Pp={S|vS∈S,S~EP},p≥1; Q,=SVSES, S NEl Q91, q21 则我们有 S=P+ Q P=∑ 事实上,我们知道曲面的基本群有如下的表示: