6/21-第10章定态微扰论标积上式并利用用《(-E()()=0, ()=0(10.1.28)可得E"((0) ot) -((0w0")+ E(2) = 0,(10.1.29)即(00wl0(0)(0Wl(")=/E(2)(10.1.30)E(0) - E(0)此二级能量修正依赖于H。的除Φ(）之外的全部本征函数，可以将其改写为E(2) =0E-g (0 0 )( )(10.1.31))是基态时，二级能量修正总是负值，因为 E(0)>E(0)。明显，当我们可以将此二级能量修正近似视作是从E(°）能级发射和吸收某种“虚粒子”一一永远无法测量的粒子一一所引起的能量修正。在W微扰作用下，该虚粒子从E(O）态和E(0）态之间跃迁。注意：在非相对论量子力学中，波函数中包含了物理体系的完整信息，此处提及的虚粒子仅仅是为了便于理解问题。微扰收敛性为保证微扰论成立，要求微扰矩阵元远小于相应两能级之差，即(0(00K1.(10.1.32)E(0) - E(0)当微扰贡献可以改变整个物理图像时，无法将W视作为微扰。另一方面微扰伦成立还要求二级能量修正中对各态求和是收敛的，但通常很难证）（E(0》E(0）中，微扰矩阵元（Wl0(0）(0))明这一点。如果在能量很高的态中并没有非常迅速地减少来保证对各台求和收敛，那么此二级微扰就产生一个发散项通常被称作为“紫外发散”。如果在E）能级附近存在无穷个（或连续的）态函数，其能量满足IE(0)-E(°)1～0，那么对这些态函数求和将导致另一类发散项，称作为“红外发散”。foo
ĜefkRĜ 第 Ry 章 定态微扰论 用 % φ(0) k & & & & 标积上式并利用 # Hˆ 0 − E(0) k $ & & & &φ(0) k ' = 0, % φ(0) k & & & &φ(1) k ' = 0 URyXRXk3V 可得 E(1) k ✟✟✟✟✟✟✟✯0 % φ(0) k & & & &φ(1) k ' − % φ(0) k & & &Wˆ & & &φ(1) k ' + E(2) k = 0, URyXRXkNV 即 E(2) k = % φ(0) k & & &Wˆ & & &φ(1) k ' = * i!k & & & & & % φ(0) i & & &Wˆ & & &φ(0) k '& & & & & 2 E(0) k − E(0) i URyXRXjyV 此二级能量修正依赖于 Hˆ 0 的除 φ(0) k 之外的全部本征函数，可以将其改写为 E(2) k = * i!k 1 E(0) k − E(0) i % φ(0) k & & &Wˆ & & &φ(0) i '%φ(0) i & & &Wˆ & & &φ(0) k ' . URyXRXjRV 明显，当 & & & &ψ(0) k ' 是基态时，二级能量修正总是负值，因为 E(0) i > E(0) k 。 我们可以将此二级能量修正近似视作是从 E(0) k 能级发射和吸收某种“虚粒 子”——永远无法测量的粒子——所引起的能量修正。在 Wˆ 微扰作用下，该虚粒子从 E(0) k 态和 E(0) i 态之间跃迁。注意：在非相对论量子力学中，波函数中包含了物理体 系的完整信息，此处ᨀ及的虚粒子仅仅是为了便于理解问题。 微扰收敛性 为保证微扰论成立，要求微扰矩阵元远小于相应两能级之差，即 & & & & & & & & & % φ(0) i & & &Wˆ & & &φ(0) k ' E(0) i − E(0) k & & & & & & & & & ≪ 1. URyXRXjkV 当微扰贡献可以改变整个物理图像时，无法将 Wˆ 视作为微扰。 另一方面微扰伦成立还要求二级能量修正中对各态求和是收敛的，但通常很难证 明这一点。如果在能量很高的态 & & & &ψ(0) i ' （E(0) i ≫ E(0) k ）中，微扰矩阵元 % φ(0) i & & &Wˆ & & &φ(0) k ' 并没有非常迅速地减少来保证对各台求和收敛，那么此二级微扰就产生一个发散项， 通常被称作为“紫外发散”。如果在 E(0) k 能级附近存在无穷个（或连续的）态函数， 其能量满足 |E(0) i − E(0) k | ∼ 0，那么对这些态函数求和将导致另一类发散项，称作为 “红外发散
10.2定态微扰的一般性公式-7/21两能级系统设一个两能级系统的非微扰能量本征值为E(°）和 E(°)，其本征函数分别为[1)和[2)。考虑二级修正后，两个能级的能量为(2/wl1)2E=(1W1)E(0)-E(0)(1/W/2)]E2=(2|W|2)(10.1.33)(0-/01所以二级微扰贡献对这两个能级的能量修正相等，符号相反，通常人们称之为“能级排”。10.2定态微扰的一般性公式现在我们总结一下微扰论的公式。令H。为未受微扰时系统的哈密顿算符，其第n个能级的本征态和本征值为|n(o)）和E()，满足如下的薛定调方程Ho|n(0)=E(0|n(0),其中(n() n()=1.(10.2.1)令W表示对H。系统的一个小微扰量，整个系统的哈密顿算符是H=Ho+W.(10.2.2)微扰论的标准方法是引入一个无量纲参数入来标记微扰项的各级贡献，H=Ho+AW,(10.2.3)最终我们令^=1来得到整体系统的解。我们的目标是从H。的本征函数和本征值出发，通过微扰论来逐级逼近H的本征值和本征函数。令En和|n）是系统整体哈密顿H>的第n个能级的能量本征值和本征函数，即H,(n)=En|n),其中<n|n)=1.(10.2.4)因为^是小参数，所以我们假设En和|n）可以展开为1的级数形式En = E(0) +AE(1) + 1?E(2) +.,In) = |n(0)+^n(1)+12n(2)+..,(10.2.5)其中E）和n(i)）是待定的展开系数。将上式带入到薛定方程中可得(Ho +IW)(n(0)+n(1)+12n(2)+...)o
RyXk 定态微扰的一般性公式 ĜdfkRĜ 两能级系统 设一个两能级系统的非微扰能量本征值为 E(0) 1 和 E(0) 2 ，其本征函数分别为 |1⟩ 和 |2⟩。考虑二级修正后，两个能级的能量为 δE1 = . 1 & & &Wˆ & & &1 - + & & & & . 2 & & &Wˆ & & &1 -& & & & 2 E(0) 1 − E(0) 2 , δE2 = . 2 & & &Wˆ & & &2 - − & & & & . 1 & & &Wˆ & & &2 -& & & & 2 E(0) 1 − E(0) 2 , URyXRXjjV 所以二级微扰贡献对这两个能级的能量修正相等，符号相反，通常人们称之为“能级 排斥”。 RyXk 定态微扰的一般性公式 现在我们总结一下微扰论的公式。令 Hˆ 0 为未受微扰时系统的哈密顿算符，其第 n 个能级的本征态和本征值为 & & &n(0) - 和 E(0) n ，满足如下的薛定谔方程 Hˆ 0 & & & & n(0) - = E(0) n & & & & n(0) - , 其中 . n(0) & & & & n(0) - = 1. URyXkXRV 令 Wˆ 表示对 Hˆ 0 系统的一个小微扰量，整个系统的哈密顿算符是 Hˆ = Hˆ 0 + Wˆ . URyXkXkV 微扰论的标准方法是引入一个无量纲参数 λ 来标记微扰项的各级贡献， Hˆλ = Hˆ 0 + λWˆ , URyXkXjV 最终我们令 λ = 1 来得到整体系统的解。我们的目标是从 Hˆ 0 的本征函数和本征值出 发，通过微扰论来逐级逼近 Hˆ 的本征值和本征函数。 令 En 和 |n⟩ 是系统整体哈密顿 Hˆλ 的第 n 个能级的能量本征值和本征函数，即 Hˆλ |n⟩ = En |n⟩, 其中 ⟨n |n⟩ = 1. URyXkX9V 因为 λ 是小参数，所以我们假设 En 和 |n⟩ 可以展开为 λ 的级数形式 En = E(0) n + λE(1) n + λ2E(2) n + ··· , |n⟩ = & & & & n(0) - + λ & & & & n(1) - + λ2 & & & & n(2) - + ··· , URyXkX8V 其中 E(j) n 和 & & &n(j) - 是待定的展开系数。将上式带入到薛定谔方程中可得 ! Hˆ 0 + λWˆ " #& & & & n(0) - + λ & & & & n(1) - + λ2 & & & & n(2) - + ··· $