基于分形方法的煤炭研磨颗粒粒度分布模型

D01:10.13374.isml00103x.2007.11.019 第29卷第11期 北京科技大学学报 Vol.29 No.11 2007年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Now.2007 基于分形方法的煤炭研磨颗粒粒度分布模型 焦红蕾 夏德宏张省现陈勇 北京科技大学机械工程学院.北京100083 摘要为了预测并控制煤炭在研磨过程中任意时刻的颗粒粒度分布，利用分形方法建立了表征煤炭研磨颗粒粒度分布动 态变化的颗粒数分布模型，颗粒表面积分布模型和颗粒质量分布模型.颗粒数分布模型直观地描述了颗粒粒径主要存在的范 围：颗粒表面积分布模型可以用来研究研磨过程中能耗的变化：颗粒质量分布模型可以用来计算研磨颗粒的堆密度和成浆浓 度.通过分形粒度分布与实际粒度分布的比较，验证了模型的正确性 关键词煤炭；研磨：粒度分布模型：分形 分类号TQ5361:02421 煤炭研磨是洁净煤技术中的一项重要内容.煤 个数可表示为： 炭研磨颗粒粒度分布是影响水煤浆等清洁燃料性能 的重要因素.因此研究煤炭的研磨机理，建立描述 研磨过程中颗粒粒度分布动态变化的数学模型，从 Nj=No(1-P)P 233 ,j=1,2,…(1) 而预测并控制煤炭在研磨过程中任意时刻的颗粒粒 fmrm 度分布，具有重要的意义，国内外有关学者对煤炭 的研磨过程进行了大量的研究，提出了大量描 式中，P为煤炭研磨概率；m为每次研磨生成小颗 粒种数；r1,r2,;rm为m种小颗粒对应的相似 述研磨过程的颗粒粒度分布模型，如对数正态分布、 比；f1,f2,,fm为相似比对应的概率分布函数： Rosim Rammler分布、Gaudin-Schuhmann分布等. j为颗粒群研磨的次数；No为初始颗粒总个数. 但是，这些模型都是静态模型，不能直接反映研磨过 由自相似分形原理和相似维数公式 程的特征.1975年，Mandelbrot首次提出了分形理 论习，为研究用传统数学方法不能描述的煤炭研 IgN: D,=1g1/r) 磨这一复杂的非线性过程，提出了新的数学手段和 得到： 理论基础.关于分形理论在煤炭研磨颗粒粒度分布 中的应用研究也有不少报道，.有些模型虽能较 (2) 好地反应物料研磨过程但模型过于复杂，工程应用 式中，D,为相似分形维数，r为相似比，N,为相似 价值小；有些模型则过于简单，与实际研磨过程相差 比为r时对应的颗粒个数，D:为粒度分布维数. 较大.另外，前人的研究均以颗粒质量分布为对象 式(2)的使用过程过于复杂，不便于实际应用. 建立模型，而未能从颗粒个数、表面积等多方面考察 可采用统计平均的处理方法将其简化： 煤颗粒分布情况.本文力求克服以上问题，应用分 形方法建立更加符合实际且便于工程应用的研磨过 (3) 程模型. 7=-2m,j=12,… 4) 1模型建立 di 式中，d,为简化后第j次研磨后的统计平均粒径 煤炭研磨过程为煤炭颗粒粒径逐级缩小的过 dn为第j次研磨后m种颗粒各自对应的粒径，下为 程，符合自相似分形的生成条件，可以用分形方法为 统计平均研磨相似比. 其建立模型.研磨后所生成的研磨体中各级颗粒的 将式(3)和(4)代入式(2)，可求得粒度分布维 收稿日期：2006-08-06修回日期：2006-1025 数为： 作者简介：焦红蕾(1981一)，女，硕士研究生：夏德宏(1963一)，男， Di-hrP/)-3-Ine (5) 教授 In(1/) Inr

基于分形方法的煤炭研磨颗粒粒度分布模型 焦红蕾 夏德宏 张省现 陈 勇 北京科技大学机械工程学院, 北京 100083 摘 要 为了预测并控制煤炭在研磨过程中任意时刻的颗粒粒度分布, 利用分形方法建立了表征煤炭研磨颗粒粒度分布动 态变化的颗粒数分布模型、颗粒表面积分布模型和颗粒质量分布模型.颗粒数分布模型直观地描述了颗粒粒径主要存在的范 围;颗粒表面积分布模型可以用来研究研磨过程中能耗的变化;颗粒质量分布模型可以用来计算研磨颗粒的堆密度和成浆浓 度.通过分形粒度分布与实际粒度分布的比较, 验证了模型的正确性. 关键词 煤炭;研磨;粒度分布模型;分形 分类号 TQ 536.1;O 242.1 收稿日期:2006-08-06 修回日期:2006-10-25 作者简介:焦红蕾( 1981—) , 女, 硕士研究生;夏德宏( 1963—) , 男, 教授 煤炭研磨是洁净煤技术中的一项重要内容 .煤 炭研磨颗粒粒度分布是影响水煤浆等清洁燃料性能 的重要因素 .因此研究煤炭的研磨机理, 建立描述 研磨过程中颗粒粒度分布动态变化的数学模型, 从 而预测并控制煤炭在研磨过程中任意时刻的颗粒粒 度分布, 具有重要的意义 .国内外有关学者对煤炭 的研磨过程进行了大量的研究 [ 1-3] , 提出了大量描 述研磨过程的颗粒粒度分布模型, 如对数正态分布 、 Rosin-Rammler 分 布、Gaudin-Schuhmann 分布等 . 但是, 这些模型都是静态模型, 不能直接反映研磨过 程的特征.1975 年, Mandelbrot 首次提出了分形理 论[ 4-5] , 为研究用传统数学方法不能描述的煤炭研 磨这一复杂的非线性过程, 提出了新的数学手段和 理论基础 .关于分形理论在煤炭研磨颗粒粒度分布 中的应用研究也有不少报道[ 6-11] .有些模型虽能较 好地反应物料研磨过程, 但模型过于复杂, 工程应用 价值小;有些模型则过于简单, 与实际研磨过程相差 较大.另外, 前人的研究均以颗粒质量分布为对象 建立模型, 而未能从颗粒个数 、表面积等多方面考察 煤颗粒分布情况.本文力求克服以上问题, 应用分 形方法建立更加符合实际且便于工程应用的研磨过 程模型. 1 模型建立 煤炭研磨过程为煤炭颗粒粒径逐级缩小的过 程, 符合自相似分形的生成条件, 可以用分形方法为 其建立模型.研磨后所生成的研磨体中各级颗粒的 个数可表示为: Nj =N0( 1 -P) P j -1 f 1 r -3 1 f 2 r -3 2  f mr -3 m j -1 , j =1, 2, …( 1) 式中, P 为煤炭研磨概率 ;m 为每次研磨生成小颗 粒种数 ;r 1, r 2, …, rm 为 m 种小颗粒对应的相似 比 ;f 1, f 2, …, f m 为相似比对应的概率分布函数; j 为颗粒群研磨的次数;N0 为初始颗粒总个数. 由自相似分形原理和相似维数公式 Ds = lgN r lg( 1/ r) 得到: P ∑ m i =1 fir -3+Df i =1 ( 2) 式中, Ds 为相似分形维数, r 为相似比, Nr 为相似 比为r 时对应的颗粒个数, Df 为粒度分布维数. 式( 2)的使用过程过于复杂, 不便于实际应用. 可采用统计平均的处理方法将其简化 : dj = ∑ m i =1 fidj i , j =1, 2, … ( 3) r = dj-1 dj = ∑ m i =1 firi , j =1, 2, … ( 4) 式中, dj 为简化后第 j 次研磨后的统计平均粒径, dji为第j 次研磨后 m 种颗粒各自对应的粒径, r 为 统计平均研磨相似比. 将式( 3)和( 4) 代入式( 2), 可求得粒度分布维 数为: Df =ln( P/ r 3 ) ln( 1/ r) =3 -lnP lnr ( 5) 第 29 卷 第 11 期 2007 年 11 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol.29 No.11 Nov.2007 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2007.11.019

。1152 北京科技大学学报 第29卷 由上式可得颗粒粒径分布： 式中，M2(x)和M2分别为粒径不大于x的煤炭颗 -D 粒的表面积之和与煤炭颗粒系统的总表面积之和， N(di)=N(dk) d ,j,k=1,2,…(6) 联立式(10)可得 式中，N(d)为平均粒径为d的颗粒个数；N(dk) 「x D ad 'dN(x) D 为平均粒径为dk的颗粒个数. G2(x= D.D:d. D D-D 这样得到的颗粒粒径是间断配比的，而实际研 ad 'dN(x) 磨得到的颗粒粒径的配比是连续的.为此，把上述 min 模型推广到连续的情形，对上式微分可以得到粒径 (12) 1.3煤炭颗粒质量分布模型 位于区间(x,x十dx)内的颗粒的个数dN(x): dN(x)--N(dm)Ddx (7) 与上述两模型原理相同，得到煤炭颗粒质量分 布函数： 式中，dmx为破碎颗粒的最大粒径. kPx dN(x) 以式(7)为基础推导颗粒数分布模型、颗粒表 d yD一dmin 3-D G3x)= 面积分布模型、颗粒质量分布模型三种煤炭研磨过 kex'dN(x) =-d d max 程分形模型. 11煤炭颗粒数分布模型 (13) 定义煤炭的颗粒数分布函数G1(x)为： 式中，k为颗粒体积形状系数，与采用同一α原理相 Gi(x)=Mi(x) 同，整个煤炭颗粒系统采用同一k;P为煤炭颗粒的 (8) Mut 真密度 式中，M1(x)和M分别为粒径不大于x的煤炭颗 以上三个模型是针对煤炭颗粒的不同参数建立 粒的个数和煤炭颗粒系统的个数总和 的，其基本形式相同，可以统一为下式： M(x)=dNx)和M=JdN(x) Glx)=x"-dfoin (14) d dhax一d'hmin 联立式8)得： 式中，n为统一指数. x dN(x) 模型不同，n取值不同.从上式可以看出，煤炭 G1(x)= 一Di一dma -D d Di一dmm -D 9) 颗粒的三种分布均由煤炭颗粒的分形维数（由研磨 "dN(x) 概率和相似比决定)、最大粒度及最小粒度共同决 d 定.改变dmim可以得到研磨过程任一时刻的颗粒粒 式中，dmm为研磨到一定时间煤炭颗粒系统的最小 度分布情况. 粒径. 12煤炭颗粒表面积分布模型 2模型分析 煤炭颗粒的表面积主要由粒径、形状和表面分 2.1模型验证 形维数三个因素决定.不同成分煤炭颗粒的形状不 为了验证模型，在理论分析的指导下，对煤炭进 同.在煤炭的研磨过程中，这种形状并不随时间发 行研磨，得到了粒度分布维数为2.65的粒度分布. 生改变，即研磨后的小颗粒与研磨前大颗粒在形状 此时煤炭颗粒系统中最大粒径为300m,最小粒径 上具有一定程度的自相似性所以对整个煤炭颗粒 为1m. 系统采用同一形状系数.由于煤粒表面并非光滑而 将三种分形模型与实际研磨结果比较，结果如 是凹凸不平，所以其表面积的计算应引入表面分形 图1所示. 维数，这样所得结果更符合实际情况.考虑以上因 图1中，实线为按分形模型计算所得煤炭研磨 素，煤炭颗粒的表面积计算式为： 颗粒粒度分布曲线，虚线为实际研磨所得煤炭颗粒 s=adp. (10) 粒度分布曲线.模型与实际情况所得研磨结果吻合 式中，s为颗粒表面积；D:为颗粒表面分形维数， 较好，验证了本模型的正确性. D,<3:a为颗粒形状系数. 从图1可以看出：第一，从煤炭颗粒数分布曲 定义煤炭颗粒的表面积分布函数G2(x)为： 线，可以直观地观察到颗粒主要存在的粒度范围. G2(xj=42(x 但难于观察粒度稍大的颗粒的分布情况，且实验测 M21 (11) 定中颗粒个数难于确定.所以此模型仅适用于给出

由上式可得颗粒粒径分布 : N( dj ) =N ( dk ) dj dk -Df , j, k =1, 2, … ( 6) 式中, N( dj) 为平均粒径为 dj 的颗粒个数 ;N ( dk ) 为平均粒径为 dk 的颗粒个数. 这样得到的颗粒粒径是间断配比的, 而实际研 磨得到的颗粒粒径的配比是连续的.为此, 把上述 模型推广到连续的情形, 对上式微分可以得到粒径 位于区间( x , x +dx ) 内的颗粒的个数 dN ( x ) : dN ( x ) =-N ( dma x) Dfd D f max x -( D f +1) d x ( 7) 式中, dmax为破碎颗粒的最大粒径. 以式( 7)为基础, 推导颗粒数分布模型、颗粒表 面积分布模型、颗粒质量分布模型三种煤炭研磨过 程分形模型. 1.1 煤炭颗粒数分布模型 定义煤炭的颗粒数分布函数 G1( x )为 : G1( x ) = M1( x ) M1t ( 8) 式中, M1( x )和 M1t分别为粒径不大于 x 的煤炭颗 粒的个数和煤炭颗粒系统的个数总和. 由 M1( x ) =∫ x d min d N( x )和 M1t =∫ d max d min d N( x ) 联立式( 8)得: G1( x ) = ∫ x d min d N( x ) ∫ d max d min d N( x ) = x -Df -d -Df min d -D f max -d -D f min ( 9) 式中, d min为研磨到一定时间煤炭颗粒系统的最小 粒径 . 1.2 煤炭颗粒表面积分布模型 煤炭颗粒的表面积主要由粒径、形状和表面分 形维数三个因素决定 .不同成分煤炭颗粒的形状不 同.在煤炭的研磨过程中, 这种形状并不随时间发 生改变, 即研磨后的小颗粒与研磨前大颗粒在形状 上具有一定程度的自相似性, 所以对整个煤炭颗粒 系统采用同一形状系数.由于煤粒表面并非光滑而 是凹凸不平, 所以其表面积的计算应引入表面分形 维数, 这样所得结果更符合实际情况.考虑以上因 素, 煤炭颗粒的表面积计算式为: s =αd Ds ( 10) 式中, s 为颗粒表面积;Ds 为颗粒表面分形维数, 2 <Ds <3 ;α为颗粒形状系数 . 定义煤炭颗粒的表面积分布函数 G2( x )为 : G2( x ) = M2( x ) M2t ( 11) 式中, M2( x ) 和 M2t分别为粒径不大于 x 的煤炭颗 粒的表面积之和与煤炭颗粒系统的总表面积之和. 联立式( 10)可得: G2( x ) =∫ x d min αd Ds dN ( x ) ∫ d max d min αd D s dN ( x ) = x D s -D f -d D s -D f d D s -D f max -d Ds-Df min ( 12) 1.3 煤炭颗粒质量分布模型 与上述两模型原理相同, 得到煤炭颗粒质量分 布函数 : G3( x ) =∫ x d min kρx 3 dN ( x ) ∫ d max d min kρx 3 dN ( x) = x 3-D f -d 3-Df min d 3-D f max -d 3-D f min ( 13) 式中, k 为颗粒体积形状系数, 与采用同一 α原理相 同, 整个煤炭颗粒系统采用同一 k ;ρ为煤炭颗粒的 真密度 . 以上三个模型是针对煤炭颗粒的不同参数建立 的, 其基本形式相同, 可以统一为下式 : G( x ) = x n -d n min d n max -d n min ( 14) 式中, n 为统一指数 . 模型不同, n 取值不同.从上式可以看出, 煤炭 颗粒的三种分布均由煤炭颗粒的分形维数(由研磨 概率和相似比决定) 、最大粒度及最小粒度共同决 定 .改变 dmin可以得到研磨过程任一时刻的颗粒粒 度分布情况 . 2 模型分析 2.1 模型验证 为了验证模型, 在理论分析的指导下, 对煤炭进 行研磨, 得到了粒度分布维数为 2.65 的粒度分布. 此时煤炭颗粒系统中最大粒径为 300 μm, 最小粒径 为1μm . 将三种分形模型与实际研磨结果比较, 结果如 图 1 所示. 图 1 中, 实线为按分形模型计算所得煤炭研磨 颗粒粒度分布曲线, 虚线为实际研磨所得煤炭颗粒 粒度分布曲线.模型与实际情况所得研磨结果吻合 较好, 验证了本模型的正确性. 从图 1 可以看出 :第一, 从煤炭颗粒数分布曲 线, 可以直观地观察到颗粒主要存在的粒度范围. 但难于观察粒度稍大的颗粒的分布情况, 且实验测 定中颗粒个数难于确定 .所以此模型仅适用于给出 · 1152 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 29 卷

第11期 焦红蕾等：基于分形方法的煤炭研磨颗粒粒度分布模型 。1153。 1.0 法将其除去，以保证颗粒粒度要求.另外，颗粒质量 分布为研磨产品的堆密度和研磨颗粒体的成浆浓度 0.8 G(x) 计算奠定了基础. 0.6 G(x) 2.2粒度分形维数D:对煤炭研磨颗粒粒度分布 G,(x) 的影响 0.4 根据式(9)、式(12)和式(13)，固定其他因素不 0.2 变，改变D:,观察D:对煤炭颗粒粒度分布的影响规 律.对于最小颗粒粒径和最大颗粒粒径，三个模型 50100150200250300 煤炭颗粒粒径m 均设定为1m和300m. 从图2可知：首先，D:的大小控制了煤炭研磨 图1煤炭研磨的三种分形分布与实际研磨结果的比较 颗粒的粒度分布情况.随着D:的增大小粒径颗粒 Fig.I Comparison between three fractal distributions of coal grinding and practical data 所古份额增大.由D的计算式D:=3一品可知 颗粒分布的直观感受.第二，煤炭颗粒的表面积分 通过调节P和F可得到所需D:从而控制研磨的颗 布曲线位于炭颗粒数分布曲线和煤炭颗粒质量分布 粒粒度分布.其次三个模型中，煤炭颗粒表面积分 曲线之间，符合实际情况.根据研磨能耗与表面积 布模型随D:变化最为明显.由于表面积与能耗相 成正比的原理利用颗粒表面积分布可以推导得出 关，可见调节D:是降低能耗的有效途径之一.另 研磨能耗.第三，从煤炭颗粒质量分布图中可以发 外，在煤炭颗粒质量分布模型中，当D=2时，曲线 现，从150~300m颗粒的质量分数占到30%左 图为一直线，各粒径颗粒的质量份额是恒等的：当 右，而颗粒个数却小于01%，说明大颗粒虽然个数 D<2时，同一粒径范围，大粒径的颗粒所占的 与小颗粒相比及其微小，但是却占有相当大的质量 质量份额大：当2D<3时，同一粒径范围，小粒 份额对于这小部分大颗粒可以采用适当的筛分方 径的颗粒所占的质量份额大. 1.0 1.0 1.0 D=2.0 & D=2.8 D=1.5 0.8 0.8F D=2.5 薰 D1.0 D=2.0、 D=0.5 0.6 0.6 D=2.8 D=2.5 0.4 0.4 入D=1.5 D=2.0 D=1.0 D=1.5 0.2 0.2 0.2 D-0.5 (a) D=1.0 (b) D=0.5 ⊙ 1 50 100150200250300 0 50100150200250 300 50 100.150200250300 煤炭颗粒粒径μm 煤炭颗粒粒径仙m 煤炭颗粒粒径μm 图2粒度分布维数D,对煤炭研磨颗粒分布的影响 Fig.2 Effect of particlesize distribution dimension on the particle size distribution of coal grinding (3)可以通过改变研磨概率P和统计平均相似 3结论 比”来控制粒度分形维数D:,从而得到所需颗粒粒 度分布 (1)本文建立了反映煤炭研磨颗粒粒度分布动 态变化的三种颗粒粒度分形模型，即颗粒数分布模 参考文献 型、颗粒表面积分布模型和颗粒质量分布模型，从三 【】李启衡.粉碎理论概要.北京：治金工业出版社，1993 个不同的角度研究了煤炭研磨颗粒粒度分布动态变 [2 Kelly E G.Spottiswood D J.Intmoduction to mineral pmcessing. 化情况形式简单，便于实际应用. New York:Hon Wily Sons,1982 【习曾凡桂用粒度表征的煤粉碎动力学方程.煤炭学报，2000 (2)颗粒个数分布模型直观地描述颗粒粒径主 25(3):303 要存在的范围：颗粒表面积分布模型可用来研究颗 [4 Mandelbrot BB.The fractal geometry of nature.San Francisco: 粒能耗分布：颗粒质量模型为研磨产品堆密度和研 Freeman.1982 磨颗粒体的成浆浓度计算奠定了基础. (下转第1170页)

图 1 煤炭研磨的三种分形分布与实际研磨结果的比较 Fig.1 Comparison between three fractal distributions of coal grinding and practical data 颗粒分布的直观感受.第二, 煤炭颗粒的表面积分 布曲线位于炭颗粒数分布曲线和煤炭颗粒质量分布 曲线之间, 符合实际情况 .根据研磨能耗与表面积 成正比的原理, 利用颗粒表面积分布可以推导得出 研磨能耗.第三, 从煤炭颗粒质量分布图中可以发 现, 从 150 ～ 300 μm 颗粒的质量分数占到 30 %左 右, 而颗粒个数却小于 0.1 %, 说明大颗粒虽然个数 与小颗粒相比及其微小, 但是却占有相当大的质量 份额, 对于这小部分大颗粒可以采用适当的筛分方 法将其除去, 以保证颗粒粒度要求.另外, 颗粒质量 分布为研磨产品的堆密度和研磨颗粒体的成浆浓度 计算奠定了基础. 2.2 粒度分形维数 Df 对煤炭研磨颗粒粒度分布 的影响 根据式( 9) 、式( 12) 和式( 13), 固定其他因素不 变, 改变 Df , 观察 Df 对煤炭颗粒粒度分布的影响规 律 .对于最小颗粒粒径和最大颗粒粒径, 三个模型 均设定为 1μm 和 300μm . 从图 2 可知 :首先, Df 的大小控制了煤炭研磨 颗粒的粒度分布情况.随着 Df 的增大, 小粒径颗粒 所占份额增大.由 Df 的计算式 Df =3 - ln ln r 可知, 通过调节 P 和 r 可得到所需Df, 从而控制研磨的颗 粒粒度分布.其次, 三个模型中, 煤炭颗粒表面积分 布模型随 Df 变化最为明显 .由于表面积与能耗相 关, 可见调节 Df 是降低能耗的有效途径之一 .另 外, 在煤炭颗粒质量分布模型中, 当 Df =2 时, 曲线 图为一直线, 各粒径颗粒的质量份额是恒等的;当 0 <Df <2 时, 同一粒径范围, 大粒径的颗粒所占的 质量份额大 ;当 2 <Df <3 时, 同一粒径范围, 小粒 径的颗粒所占的质量份额大 . 图2 粒度分布维数 Df 对煤炭研磨颗粒分布的影响 Fig.2 Effect of particl e-si ze distribution dimension on the particle-size distribution of coal grinding 3 结论 ( 1) 本文建立了反映煤炭研磨颗粒粒度分布动 态变化的三种颗粒粒度分形模型, 即颗粒数分布模 型、颗粒表面积分布模型和颗粒质量分布模型, 从三 个不同的角度研究了煤炭研磨颗粒粒度分布动态变 化情况, 形式简单, 便于实际应用. ( 2) 颗粒个数分布模型直观地描述颗粒粒径主 要存在的范围;颗粒表面积分布模型可用来研究颗 粒能耗分布 ;颗粒质量模型为研磨产品堆密度和研 磨颗粒体的成浆浓度计算奠定了基础. ( 3) 可以通过改变研磨概率 P 和统计平均相似 比 r 来控制粒度分形维数Df, 从而得到所需颗粒粒 度分布 . 参 考 文 献 [ 1] 李启衡.粉碎理论概要.北京:冶金工业出版社, 1993 [ 2] Kelly E G, Spottiswood D J.Introduction to mineral p rocessing . New York:Hon Wiley &Sons, 1982 [ 3] 曾凡桂.用粒度表征的煤粉碎动力学方程.煤炭学报, 2000, 25( 3) :303 [ 4] Mandelbrot B B .The fractal geometry of nature .S an Francisco : Freeman, 1982 ( 下转第 1170 页) 第 11 期 焦红蕾等:基于分形方法的煤炭研磨颗粒粒度分布模型 · 1153 ·

。1170· 北京科技大学学报 第29卷 Uniform Markovian jump model of netw orked control systems LIU Leiming,TONG Chaonan Irfomation Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beiing 100083,China ABSTRACI For the two different cases that the upper bound of network-induced delays is longer or less than one sampling period in a continuous-time netw orked control system (NCS),by discretizing the model of a con- tinuous-time system and applying the augmented state-space method to the model,a unifom discrete-time jump model governed by Markov chains was presented.The parameters of the model reflected both the length of the delays and computation precision,so this model had more widely adaptability.The existing theory of a jump lin- ear system was applied to analysis the necessary and sufficient conditions guaranteeing the sy stem's stability.An interior-point algorithm was applied to design stabilizing controllers,and an approach to get the feasible initial solution of the interior-point algorithm was proposed.This improved algorithm stated above was applied effec- tively to the netw orked control and design of a cart and inverted pendulum with random delays. KEY WORDS networked control system;delay;jump system;Markov chain:discretization;augmented state-space method (上接第1153页) [8 CapinteriA.Pugno N.A multifractal comminution approach for drilling scaling hws.Powder Technol.2003.131(1):93 [5]Feder J.Fractals.New York:Plenum Press,1988 9 Borodich F M.Some fractal models of fracture.J Mech Phys 【6杨志远，周安宁，曲建林.超细煤粉的颗粒分布分形与球磨工 Solids.1997.45(2):230 艺关系研究.煤炭科学技术，2004,32(1)：32 [10 Perfect E.Fractal models for the frgmentation of rocks and [7]Turcotte D L.Fractalsand fragmentation.J Geophys Res,1986. soils:a review.Eng Geol.1997,48:185 91(B2):1921 【1川张济忠.分形.北京：清华大学出版社，1995 Fractal model for particle-size distribution of coal grinding JIAO Honglei,XIA Dehong,ZHANG Shengxian,CHEN Yong Mechanical Engineering School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT By the fractal method,mathematical models for particle number variation,particle surface area profile and particle mass dist ribution were established to predict and control the particle-size distribution of coal grinding at any grinding time.The particle number variat ion can be used to describe the main range of particle diameter.The surface area profile can be used to predict the energy consumption in grinding process.The parti cle mass dist ribution could be used to calculate the specific stacking density of particles or the surry concentra- tion.These models were proved to be valid by comparison of the fractal particle-size distribution with practical measurement. KEY WORDS coal;grinding;particle-size distribution model;fractal

Uniform Markovian jump model of netw orked control systems LIU Leiming, TONG Chaonan Inf ormation Engineering School, Universit y of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China ABSTRACT Fo r the tw o different cases that the upper bound of netwo rk-induced delays is longer or less than one sampling period in a continuous-time netw orked control system ( NCS) , by discretizing the model of a con￾tinuous-time system and applying the augmented state-space method to the model, a unifo rm discrete-time jump model governed by Markov chains w as presented .The parameters of the model reflected both the leng th of the delay s and computatio n precision, so this model had more w idely adaptability .The existing theory of a jump lin￾ear sy stem w as applied to analysis the necessary and sufficient conditio ns guaranteeing the sy stem' s stability .An interior-point algo rithm was applied to design stabilizing controllers, and an approach to get the feasible initial solution of the interior-point algorithm was proposed .This improved algorithm stated above w as applied effec￾tively to the netw orked control and design of a cart and inverted pendulum w ith random delay s . KEY WORDS networked control system ;delay ;jump sy stem ;Markov chain ;discretization ;augmented state-space method ( 上接第 1153 页) [ 5] Feder J.Fractals.New York:Plenum Press, 1988 [ 6] 杨志远, 周安宁, 曲建林.超细煤粉的颗粒分布分形与球磨工 艺关系研究.煤炭科学技术, 2004, 32( 1) :32 [ 7] Turcotte D L .Fractals and fragmentation.J Geophys Res, 1986, 91 ( B2) :1921 [ 8] Capinteri A, Pugno N .A multi-fract al comminution approach for drilling scaling laws.Powder Technol, 2003, 131( 1) :93 [ 9] Borodich F M .Some fractal models of fracture.J Mech Phys Solids, 1997, 45( 2) :230 [ 10] Perfect E .Fract al models for the fragmentation of rock s and soils:a review .Eng Geol, 1997, 48:185 [ 11] 张济忠.分形.北京:清华大学出版社, 1995 Fractal model for particle-size distribution of coal g rinding J IAO Honglei, X IA Dehong, ZHANG Shengxian, CHEN Yong Mechanical Engineering School, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China ABSTRACT By the fractal method, mathematical models for particle number variation, particle surface area profile and particle mass distribution were established to predict and control the particle-size distribution of coal g rinding at any grinding time .The particle number variation can be used to describe the main range of particle diameter.The surface area profile can be used to predict the energy consumption in grinding process .The parti￾cle mass distribution could be used to calculate the specific stacking density of particles or the slurry concentra￾tion .These models were proved to be valid by comparison of the fractal particle-size distributio n with practical measurement . KEY WORDS coal ;g rinding ;particle-size distribution model ;fractal · 1170 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 29 卷