=1+ 1+ p~n(、1 nn1)<1+1 即s,有界,则P-级数收敛 级数 「当P>1时,收敛 当p≤时,发散 重要参考级数:几何级数,P级数,调和级数
= + n p x dx 1 1 ) 1 (1 1 1 1 −1 − − = + p p n 1 1 1 − + p 即 有界, n s 则P −级数收敛. − 当 时 发散 当 时 收敛 级数 1 , 1 , p p P 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数
oo 例2证明级数∑ 是发散的 n=1飞 n(n+1) 证明 m+1)2n+1·而级数∑ 发散, n=1h+1 级数∑ 发散 H=1 n(n+ 比较审敛法是一基本方法,虽然有 用,但应用起来却有许多不便,因为它 需要建立定理所要求的不等式,而这种 不等式常常不易建立,为此介绍在应用 上更为方便的极限形式的比较审敛法
比较审敛法是一基本方法，虽然有 用，但应用起来却有许多不便，因为它 需要建立定理所要求的不等式，而这种 不等式常常不易建立，为此介绍在应用 上更为方便的极限形式的比较审敛法 例 2 证明级数 =1 ( + 1) 1 n n n 是发散的. 证明 , 1 1 ( 1) 1 + n n + n , 1 1 1 n= n + 而级数 发散 . ( 1) 1 1 = + n n n 级数 发散
4比较审敛法的极限形式: 设∑un与∑vn都是正项级数如果Ln=1, n→0 H=1 则(1)当0<l<+时,二级数有相同的敛散性; (2)当1=0时,若∑"收敛则∑un收敛; n ()当l=+0时若∑v发散则∑un发散; n-
4.比较审敛法的极限形式: 设 n=1 un 与 n=1 n v 都是正项级数,如果 则(1) 当 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当 时，若 收敛,则 收敛; (3) 当 时, 若 n=1 n v 发散,则 n=1 un 发散; lim l, v u n n n = → 0 l + l = 0 l = + n=1 n v n=1 un
证明(1)由im=1对1nQ, N,当n>N时,人la,1 <<l+ 2 2 30 卩.<L<—v 2"(>N) 由比较审敛法的推论,得证
证明 l v u n n n = → (1)由lim 0, 2 = l 对于 N, 当n N时, 2 2 l l v l u l n n − + ( ) 2 3 2 v n N l v u l 即 n n n 由比较审敛法的推论, 得证
5.极限审敛法: 设un为正项级数, n=1 如果lmmn=l>0(或 limn=∞) 则级数∑un发散; 如果有P>1,使得imn"un.存在, 1→ 则级数∑u收敛 n:
5.极限审敛法： 设 n=1 un 为正项级数, 如 果lim = 0 → nu l n n (或 = → n n lim nu ) , 则级数 n=1 un 发 散; 如果有 p 1, 使得 n p n n u → lim 存在, 则级数 n=1 un 收敛