渐近稳定性（3/3）X口对于线性定常系统来说，上述定义中的实数(s,to）可与初始时刻t无关，故其渐近稳定性与一致渐近稳定性等价>但对于时变系统来说，则这两者的意义很可能不同图5-2X2渐近稳定性在二维空间中的几何解释如图5-2所示8该图表示状态xt)的轨迹随时间变化的收敛过程xix(0)x(0)图5-1与图5-2相比较，能清楚地说明渐近稳定和稳定的意义图5-1
渐近稳定性(3/3) ❑ 对于线性定常系统来说,上述定义中的实 数(,t0 )可与初始时刻t0无关,故其渐近稳 定性与一致渐近稳定性等价. ➢ 但对于时变系统来说,则这两者的意 义很可能不同. x2 x1 x(0) ❑ 渐近稳定性在二维空间中的几何解释如 图5-2所示. ➢ 该图表示状态x(t)的轨迹随时间变化 的收敛过程. ➢ 图5-1与图5-2相比较,能清楚地说明 渐近稳定和稳定的意义. 图5-2 x2 x1 x(0) x(0) 图5-1
渐近稳定性（4/3)口对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明：经典控制理论的BIBO稳定性，就是李雅普诺夫意义下的渐近稳定。>稳定和渐近稳定，两者有很大的不同对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态x。。从工程意义来说渐近稳定性比经典控制理论中的稳定性更为重要由于渐近稳定性是个平衡态附近的局部性概念，只确定平衡态渐近稳定性，并不意味着整个系统能稳定地运行
渐近稳定性(4/3) ❑ 对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： ➢ 经典控制理论的BIBO稳定性，就是李雅普诺夫意义下的 渐近稳定。 ➢ 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 ✓ 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域 S(xe ,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 ✓ 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出 球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。 ➢ 从工程意义来说,渐近稳定性比经典控制理论中的稳定性 更为重要. ✓ 由于渐近稳定性是个平衡态附近的局部性概念,只确 定平衡态渐近稳定性,并不意味着整个系统能稳定地 运行
大范围渐近稳定性（1/1）5.1.4大范围渐近稳定性口对于n维状态空间中的所有状态如果由这些状态出发的状态轨线都具有渐近稳定性，那么平衡态x称为李雅普诺夫意义下大范围渐近稳定的换句话说，若状态方程在任意初始状态下的解，当无限增长时都趋于平衡态，则该平衡态为大范围渐近稳定的显然，大范围渐近稳定性的必要条件是系统在整个状态空间中只有一个平衡态对于线性定常系统如果其平衡态是渐近稳定的.则一定是大范围渐近稳定的但对于非线性系统则不然，渐近稳定性是一个局部性的概念，而非全局性的概念
大范围渐近稳定性(1/1) 5.1.4 大范围渐近稳定性 ❑ 对于n维状态空间中的所有状态,如果由这些状态出发的状态 轨线都具有渐近稳定性,那么平衡态xe称为李雅普诺夫意义下 大范围渐近稳定的. ➢ 换句话说,若状态方程在任意初始状态下的解,当t无限增 长时都趋于平衡态,则该平衡态为大范围渐近稳定的. ➢ 显然,大范围渐近稳定性的必要条件是系统在整个状态空 间中只有一个平衡态. ✓ 对于线性定常系统,如果其平衡态是渐近稳定的,则一 定是大范围渐近稳定的. ✓ 但对于非线性系统则不然,渐近稳定性是一个局部性 的概念,而非全局性的概念
五、不稳定性（1/2)一不稳定性定义X25.1.5不稳定性口定义5-4若状态方程Ex'=f(x,t)Xix(0)描述的系统在初始时刻to对于某个给定实数?>0和任意一个实数>0,图5-3总存在一个位于平衡态x。的邻域S(x,)的初始状态xo使得从x出发的状态方程的解x(t)将脱离球域S(x,s),则称系统的平衡态x。是李雅普诺夫意义下不稳定的，即逻辑关系式>0to8>0oSe)to ()S(e,)为真，则系统的平衡态x是李雅普诺夫意义下不稳定的
五、不稳定性(1/2)—不稳定性定义 5.1.5 不稳定性 ❑ 定义5-4 若状态方程 x ’ =f(x,t) 描述的系统在初始时刻t0 , ➢ 对于某个给定实数>0和任意一个实 数>0, x2 x1 x(0) ➢ 总存在一个位于平衡态xe的邻域S(xe ,)的初始状态x0 , ➢ 使得从x0出发的状态方程的解x(t)将脱离球域S(xe ,),则称 系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下不稳定的,即逻辑关 系式 >0 t0 >0 x0S(xe ,) t t0 x(t)S(xe ,) 为真,则系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下不稳定的. 图5-3
不稳定性(2/2)X2口李雅普诺夫意义下不稳定性的几何解释如图5-3所示0该图表示状态轨迹随时间变化的发X1x(0)散过程图5-1与图5-3相比较清楚地说明稳定和不稳定的意义图5-3X2Xix(0) x(0)图5-1
不稳定性(2/2) ❑ 李雅普诺夫意义下不稳定性的几何解释 如图5-3所示. ➢ 该图表示状态轨迹随时间变化的发 散过程. ➢ 图5-1与图5-3相比较清楚地说明稳定 和不稳定的意义. x2 x1 x(0) x2 x1 x(0) x(0) 图5-3 图5-1