第三章水动力学基本原理 1.本章的教学目的及基本要求： 目的：使学生理解连续性微分方程、理想液体运动微分方程、实际流体的运动微分方程， 掌握恒定总流连续性方程、理想液体元流的能量方程与实际液体总流的能量方程、恒定总流 动量方程以及恒定平面势流。 基本要求：理解连续性微分方程，理想液体运动微分方程、实际流体的运动微分方程： 牢固掌握，并灵活应用恒定总流连续性方程、理想液体元流的能量方程与实际液体总流的能 量方程、恒定总流动量方程以及恒定平面势流。 2.本章冬节的教学内容 §31描述液体质点运动的两种方法 1、拉格朗日法也称为质点系法。 它是跟踪并研究每一个液体质点的运动情况，把它们综合起来就能掌握整个液体运动的 规律。这种方法形象直观，物理概念清晰，但是对于易流动（易变形）的液体，需要无穷多 个方程才能描述由无穷多个质点组成的液体的运动状态，这在数学上难以做到，而且也没有 必要。对于固体运动，特别是简化为刚体运动，虽然刚体由无穷多个质点构成，但质点之间 具有固定的位置和距离，这时只需要研究刚体上两个质点的运动就可以反映刚体的运动状 态，所以拉格朗日法在固体力学中较多应用， 2、欧拉法：液体流动所占据的空间称为流场。在水力学中，我们只关心不同的液体质 点在通过流场中固定位置时的运动状态，例如河道某断面处，不同时间的水位，流量和流速： 管道中某处的流速和压强等。我们并不关心这个液体质点是怎么来的，下一步又流到哪里去。 把某瞬时通过流场各个固定点的液体质点运动状态综合起来，就能反映液体在某个时刻流场 内的运动状况。这种描述液体运动的方法称为欧拉法，也称为流场法，这是水力学中常用的 方法。这种方法物理意义不如拉格朗日法直观，因为欧拉法研究的对象是随时间而变的，但 是对我们研究流场的运动状况较为方便。 最后必须说明，两种描迷流动的方法只是看问题的角度不同，着眼点不同，并没有本质 上或原则上的区别，拉格朗日表达法和欧拉表达法是可以相互转化的。究其原因，从物理概 念上讲，流场是运动的液体质点占据整个流动区减成的，因而流场空间点上反映出来的运 动要素值及其随时间的变化当然是质点运动的结果。换言之，流场中的流动情况自然也可反 映或转化成质点的运动情况。这些就是上述两种方法可以转化的依据。不过，欧拉法的着眼 11
点是流场，便于直接运用场论分析液流问题；而且对加速度来讲，在欧拉法中是速度场的一 阶偏导数，但在拉格朗日法中是位移的二阶偏导数。因此，数学处理上欧拉法也较为方便， 故今后除特别说明外，都采用欧拉法的观点研究问题。 §3-2液体运动的基本概念和分类 1、恤定流和非恤定流 流场中液体质点通过空间点时所有的运动要素都不随时间而变化的流动称为恒定流：反 之，只要有一个运动要素随时间而变化，就是非恒定流。非恤定流的流速、压强等运动要素 是时间的函数，由于描述液体运动的变量增加，使得水流运动分析更加复杂和困难。虽然自 然界的水流绝大部分是非恤定流，但在一定条件下，常将非恤定流简化为恒定流进行讨论。 本课程主要讨论恒定流运动。 2、迹线和流线 迹线是液体质点运动的轨迹，它是某一个质点不同时刻在空间位置的连线，迹线必定与 时间有关。迹线是拉格朗日法描述液体运动的图线。 流线是某一瞬间在流场中画出的一条曲线，这个时刻位于曲线上各点的质点的流速方向 与该曲线相切，流线是从欧拉法引出的，也是我们要重点理解的概念。对于恒定流，流线的 形状不随时间而变化，这时流线与迹线互相重合；对于非恒定流，流线形状随时间而改变， 这时流线与迹线一般不重合 流线有两个重要的性质，即流线不能相交，也不能转折，否则交点（或转折）处的质点 就有两个流速方向，这与流线的定义相矛盾，也可以说某瞬时通过流场中的任一点只能画一 条流线. 流线的形状和疏密反映了某瞬时流场内液体的流速大小和方向，流线密的地方表示流速 大，流线疏处表示流速小 3、元流、总流和过水断面 元流是横断面积无恨小的流束，它的表面是由流线组成的流管。由无数个元流组成的宏 观水流称为总流 与元流或总流的所有流线正交的横断面称为过水断面。过水斯面的形状可以是平面（当 流线是平行的直线时)或曲面（流线为其它形状） 单位时间内流过某一过水断面的液体体积称为流量，流量用？表示，单位为(ms)。 引入元流概念的目的有两个：1).元流的横断面积d4无限小，因此d4面积上各点的 12
运动要素（点流速4和压强)都可以当作常数；2元流作为基本无限小单位，通过积分 运算可求得总流的运动要素。元流的流量为dQ=ud4,则通过总流过水断面的流量Q为 O-I do=J audA 4、断面平均流速 一般情况下组成总流的各个元流过水断面上的点流速是不相等的，而且有时流速分布很 复杂。为了简化问题的讨论，我们引入了断面平均流速V的概念。这是恒定总流分析方法的 基础，也称为一元流动分析法，即认为液体的运动要素只是一个空间坐标（流程坐标）的函 数。断面平均流速v等于通过总流过水断面的流量Q除以过水断面的面积A,即V=QA。 断面平均流速代替真实流速分布是对水流真实结构的一种简化。对大多数水流运动采用 这样的处理方法可使问题的分析变得比较简单。在实际应用中，有时并不需要知道总流过水 断面上的流速分布，仅需要了解断面平均流速的大小及沿程变化情况即可。 5,均匀流与非均匀流 流线是相互平行的直线的流动称为均匀流。这里要满足两个条件，即流线既要相互平行， 又必须是直线，其中有一个条件不能满足，这个流动就是非均匀流。均匀流的概念也可以表 述为液体的流速大小和方向沿空间流程不变。 流动的恒定、非恒定是相对时间而言，均匀、非均匀是相对空间而言；恒定流可是均匀 流，也可以是非均匀流，非恒定流也是如此，但是明渠非恒定均匀流是不可能存在的，请注 意区分 均匀流具有下列特征：1)过水断面为平面，且形状和大小沿程不变；2)同一条流线上 各点的流速相同，因此各过水断面上平均流速V相等；3)同一过水断面上各点的测压管水 头为常数（即动水压强分布与静水压强分布规律相同，县有z十 =c的关系)。 6、一元流、二元流与三元流 根据水流运动要素与空间坐标有关的个数，我们把水流运动分为一元流、二元流与三元 流，严格地说自然界的实际水流都是三元流，但是为了简化分析过程，引入断面平均流速后， 把许多问题转化为一元流动来讨论，这是重要的处理方法。 7、渐变流与急变流 根据流线的不平行和弯曲程度，我们把非均匀流又分为两类：流线不平行但流线间夹角 较小，或者流线弯曲但弯曲程度较小（即曲率半径较大），这种流动称为非均匀渐变流，简 称渐变流：反之则称为急变流我们可以证明渐变流同一个过水断面上的测压管水头(z+p) 13
近似当作常数，这一点在讨论恒定总流能量方程时要应用到。对于急变流，同一过水断面上 各点的ztpr≠c. 自然界的实际水流绝大多数是非均匀流，把非均匀流区分为渐变流和急变流是为了简化 对非均匀流渐变流的讨论。 §3-3恒定总流的连续性方程 根据质量守恒定律可以导出没有分叉的不可压缩液体一元恒定总流任意两个过水断面 的连续性方程有下列形式。 Q1=Q2或VA1=V2A 业=4 %A2 上式说明：任意两个过水断面的平均流速与过水断面的面积成反比 对于有分叉的恒定总流，连续性方程可以表示为： ΣQ=ΣQk 连续性方程是一个运动学方程，它没有涉及作用力的关系，通常应用连续方程来计算某 一已知过水断面的面积和断面平均流速或者已知流速求流量，它是水力学中三个最基本的方 程之一 §3-4恒定总流的能量方程 1、恒定元流的能量方程： 根据物理学动能定理或牛频第二定律，可以导出恒定元流的两个过水断面之间的能量关 系式为 y 2g 式中：是相对米个基准面单位重量液体具有的位能，称为位置水头：是单位重量液 体具有的压能，称为压强水头；(2+上)是单位重量液体具有的位能和压能之和，称为总 势能或测压管水头；表示单位重量液体具有的动能，称为流速水头；w表示单位重量 液体从1断面流到2断面克服由液体粘滞性引起的阻力而损失的能量，称为水头损失。 上式表示水流在流动过程中，单位重量液体具有的位能、压能和动能的相互转换和守恤 关系。理想液体不存在粘滞性，所以理想液体流动中水头损失Mw0,表示液体机械能的守 恒。但实际水流都有粘滞性，因此Nw≠0，说明水流沿流动方向机械能总是在减少的 应用毕托管测某点的流速，其理论依据就是恒定元流的能量方程（称为伯努利方程）。 2、恒定总流的能量方程 将恒定元流能量方程沿总流的2个过水断面进行积分，并且引入过水断面处水流是均匀 14
流或者渐变流的条件，就可得到恒定总流的能量方程 百+A+=+++ y 2g y 22 请注意：积分过程中用到均匀流和渐变流条件，表明同一过流断面上各点的测压管水头 具有(：+)=（的性质：用断面平均流速V替代过水断面上的实际流选，计算单位重量液 体具有的动能并不相等，因此就必须引进动能修正系数α，使得 2828 或表示为&=Lwd边 v34 在上中，架表示过水断面上单位重量液体具有的平均动能，同样h表示单位重量液体 从1断面流到2断面平均的水头损失。 恒定总流能量方程是水力学的三个基本方程之一，是最重要最常用的基本方程，它与连 续方程联合求解可以计算断面上的平均流逸或平均压强，它们与后面讨论的恒定总流动量方 程联解，可以计算水流对边界的作用力，在确定建筑物荷找和水力机械功能转换中十分有用。 (3)恒定总流能量方程的图示，水头线和水力坡度 恒定总流能量方程各项的量钢都是长度量，因此可以用比例线段表示位置水头、压强水 头、流速水头的大小。各断面的位置水头、测压管水头和总水头端点的连线分别称为位置水 头线、测压管水头线和总水头线。 位置水头线与测压管水头线、测压管水头线与总水头线之间的距离分别表示该过水断面 上各点的平均压强水头和平均流速水头。所以画出水流的水头线可以清楚地反映沿流程各个 断面上位能、压能和动能的变化关系，它在分析有压管道各个断面的压强变化十分重要。 假如水流从1断面流到2断面的平均水头损失为，流程长度为1，则将单位长度上的 水头损失定义为水力坡度J,它也表示总水头线的斜率： J是没有单位的纯数，也称为无量钢数。根据水头线表示的能量转换关系，恒定总流能 量方程的几何意义可以这样来描述：对于理想液体(h0),总水头线是一条水平线；对于 实际液体(h>0,总水头线总是一条下降的曲线或直线，它下降的数值等于两个过水断面 之间水流的水头损失。 请注意：测压管水头线不一定是下降的曲线，需要由位能与压能的相互转换情况来确定 其形状。对于均匀流，流速水头沿程不变，总水头线与测压管水头是相互平行的直线。 15