其上的力是平衡的 现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关 系。由于静止流体中没有切应力,所以作用在微元四面体 四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所 取微元四面体的各三角形面积都是无限小的,所以可以认 为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在ACD、 ABD、ABC和BCD四个面上的流体静压强分别为、p、 p和pn,pn与x、y、z轴的夹角分别为a、β、y,则作用在 各面上流体的总压力分别为: dxd yy2 2021/220
2021/2/20 6 其上的力是平衡的 现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关 系。由于静止流体中没有切应力，所以作用在微元四面体 四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所 取微元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认 为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在ACD、 ABD、ABC和BCD四个面上的流体静压强分别为px、py、 pz和pn，pn与x、y、z轴的夹角分别为α、β、γ，则作用在 各面上流体的总压力分别为： y z x p x P d d 2 1 = x z y p y P d d 2 1 =
作用在ACD面上 作用在ABC面 的流体静压强 的流体静压强 dy 作用在BCD面 Pn上的静压强 A dr 作用在ABD和 上的静压 强 图2-2微元四面体受力分析 2021/220
2021/2/20 7 py px pz pn 作用在ACD面上 的流体静压强 作用在BCD面 上的静压强 作用在ABD和 上的静压 强 图2－2 微元四面体受力分析
dxd Pndn(dln为BCD的面积) 除压强外,还有作用在微元四面体流体微团上的质量 力,该质量力分布在流体微团全部体积中。设流体微团的 平均密度为p,而微元四面体的体积为dH=dd1d6,则微 元四面体流体微团的质量为dm=ρddd/⑥。假定作用在流 流体上的单位质量力为厂,它在各坐标轴上的分量分别 为f、f、f,则作用在微元四面体上的总质量力为: w=-pdxdydzf 6 2021/220 8
2021/2/20 8 （dAn为BCD的面积） 除压强外，还有作用在微元四面体流体微团上的质量 力，该质量力分布在流体微团全部体积中。设流体微团的 平均密度为ρ，而微元四面体的体积为dV=dxdydz/6，则微 元四面体流体微团的质量为dm=ρdxdydz/6。假定作用在流 流体上的单位质量力为 ，它在各坐标轴上的分量分别 为fx、fy、fz，则作用在微元四面体上的总质量力为： x y z p z P d d 2 1 = An n p n P = d f W x y zf d d d 6 1 =
它在三个坐标轴上的分量为:1 dxdvd pdxdydsf pdxdydsf 由于流体的微元四面体处于平衡状态,故作用在其上 的一切力在任意轴上投影的总和等于零。对于直角坐标系, 则∑=0∑P=0∑P2=0 在轴方向上力的平衡方程为: P-P cosa+w=0 把n,Dn和W的各式代入得 Pr-dydz-pndan cos a+-pdxdydif =0 2021/220 9
2021/2/20 9 它在三个坐标轴上的分量为： 由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上 的一切力在任意轴上投影的总和等于零。对于直角坐标系， 则 、 、 。 在轴方向上力的平衡方程为： 把px ， pn 和Wx的各式代入得： y y W dxdydzf 6 1 = z z W dxdydzf 6 1 = x x W dxdydzf 6 1 = Px = 0 Py = 0 Pz = 0 Px − Pn cos +Wx = 0 d d d 0 6 1 d d d cos 2 1 px y z − pn An + x y zf x =
因为 dA cos a=-dvdz 则上式变成 dydz-p dydz+-pdxdydafx=0 或 3分 dx=o 由于等式左侧第三项为无穷小,可以略去,故得: 同理可得 所以 Px= pypz=p (2-1) 2021/220 10
2021/2/20 10 因为 则上式变成 或 由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得： 同理可得 所以 （2-1） A y z n d d 2 1 d cos = d d d 0 6 1 d d 2 1 d d 2 1 px y z − pn y z + x y zf x = d 0 3 1 px − pn + f x x = px = pn py = pn pz = pn px = py = pz = pn