二维离散型随机变量的条件概率质量函数c213 两个随机变量的函数的分布 cP2.13 二维离散型随机变量的条件概率质量函数 ■在2.1.2节,我们讨论了一维随机变量函数的分布 conditional nrohahility mass function) 和本缈们一计讣 ■当随机变量X,Y的联合分布已知时,如何求出它 PY=xIY=y, Px=x.=v 们的函数Z=g(XF)的分布? 独立性〔 independence) 口对(x的所有可能取值x,y,有 P(X=Xi,Y=y=P(X=Xi)P(r=y,) 通信原理 孩sk季 通信原理 後三大季 z=X+Y的概率密度 P2.13 M=max(X,)的分布函数 CP2.13 设X和y的联合密度为fx/(xy),求 ■设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的 z=H+Y的概率密度 分布函数分别为Fxx,Fy, 1()=[Jx1(=-x=x(=-y ■求M=max(XY)的分布函数 FM(m)=P(M≤m)=P(Xsm,Y≤m) ■若X和Y相互独立 Fr(m)Fr(m) ■拓展到M=max(X1,xX2…,X) fz()=l fr(=-y)fr(ydy=l fx(x)fr(=-x)dr FM(m)=Fx (m)Fx(m).Fx(m) 通信原理 後大手 通信原理 4孩s人手
二维离散型随机变量的条件概率质量函数 CP 2.1.3 ◼ 二维离散型随机变量的条件概率质量函数 (conditional probability mass function) P X = x , i Y = y j Pij j ij i PX = xi | Y = y j = = PY = y P ◼ 独立性 (independence) P( X = xi ,Y = y j ) = P( X = xi )P(Y = y j) 对 (X ,Y 的所有可能取值 xi , y j ,有 通信原理 41 两个随机变量的函数的分布 CP 2.1.3 ◼ 在2.1.2节, 我们讨论了一维随机变量函数的分布, 现在我们进一步讨论: ◼ 当随机变量 X, Y 的联合分布已知时, 如何求出它 们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布? X z Z Dz 通信原理 42 x CP 2.1.3 f X ,Y (x, y ) , 求 Z = X + Y 的概率密度 ◼ 设 X 和 Y 的联合密度为 Z=X+Y的概率密度 Z X ,Y X ,Y f (z) = f (z − x, x)dx = f (z − y, y)dy − − ◼ 若 X 和 Y 相互独立 fZ (z) = − f X (z − y) fY ( y)dy = − f X ( x) fY (z − x)dx M = max (X,Y )的分布函数 CP 2.1.3 ◼ 设 X, Y 是两个相互独立的随机变量, 它们的 分布函数分别为 FX x , FY y , ◼求 M = max (X,Y )的分布函数 FM (m) = P (M m) = P (X m,Y m) = FX (m) FY(m) ◼拓展到 M = max (X1 , X2 ,, Xn ) M 1 2 n F m = FX m FX ( ) ( ) (m)FX (m) 通信原理 43 通信原理 44
N=mn(x,y)的分布函数 cP2.13 N维随机变量 cP2.13 ■设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的 ■从二维推广到N维 分布函数分别为Fxx,F1y Fxx,(x…x)=P(X≤x1…≤x) ■求N=min(X,)的分布函数 Fm)=1-P(N≥m)=1-P(X2mY≥m ¨「∫xx(,2)a;d LI-F(m)I-F(n) )= ■拓展到N=mn(x2X2…,X) F(m)=1-1-Fx (m)1-F, (m). Fi1-Fx,(m)Y 当(x1…,x)相互独立时,有 xx,(x1…x)=x(x)2(x2)…f(x) 通信原理 通信原理 後k手隐 小结 P2.13 214数字特征 维随机变量 ■在前面的课程中,我们讨论了随机变量及其 口联合概率分布函数 分布,如果知道了随机变量X的概率分布, 口边缘概率分布函数 那么X的全部概率特征也就知道了; 口条件概率分布函数 n釉立性 ■然而,在实际问题中,概率分布一般是较难 口二维随机变量的函数 确定的.而在一些实际应用中,人们并不需 ■多维随机变量 要知道随机变量的一切概率性质,只要知道 它的某些数字特征就够了 通信原理 後k手 通信原理
N = min (X,Y ) 的分布函数 CP 2.1.3 ◼ 设 X, Y 是两个相互独立的随机变量, 它们的 分布函数分别为 FX x , FY y , ◼求 N = min (X,Y )的分布函数 FN (m) =1− P(N m) =1− P(X m,Y m) =1− X Y 1− F (m)1− F (m) ◼拓展到 N = min (X1 , X2 ,, Xn ) N X1 X2 Xn (m) F (m) = 1 −1 − F (m)1− F (m)1 −F 通信原理 45 N 维随机变量 CP 2.1.3 ◼ 从二维推广到 N维 N 1 1 N N x x FX1 ,,X N 1 ( x ,, x )= P ( X x ,X x ) − − = 1 n f X ( x ,, x ) dx dx 1 ,,X N 1 N 1 N N f X1 ,, X N ( 1 x ,, xN )= FX ,, X ( x1 ,, xN ) x 1 N 1xN 当 (x1 ,, xN )相互独立时,有 ( ) ( ) 1 N N X1 2 N 1 X f X ,,X 1 x ,, x = f x f ( x2 ) f X ( xN ) 通信原理 46 小结 CP 2.1.3 ◼ 二维随机变量 联合概率分布函数 边缘概率分布函数 条件概率分布函数 独立性 二维随机变量的函数 ◼ 多维随机变量 2.1.4 数字特征 ◼ 在前面的课程中,我们讨论了随机变量及其 分布, 如果知道了随机变量 X 的概率分布, 那么 X 的全部概率特征也就知道了; ◼ 然而, 在实际问题中, 概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中, 人们并不需 要知道随机变量的一切概率性质, 只要知道 它的某些数字特征就够了. 通信原理 47 通信原理 48
统计平均、数学期望 cP2.14 连续型随机变量的数学期望(1 CP2.14 Statistical average, expectation 定义 ■离散型随机变量 {x}=-」x1( E X 设连续型随机变量X的概率密度函数为 统计一个地区的平均年龄,设总人数为N,年龄为x f(x,在数轴上取很密的点x<x1<…,则X 的人数为N,那么平均年龄为 落在小区间(x,x+的概率是 =x1+2x2++Nx fr(x)dx=fx(i)(xH1 -;)=x(xi )Ax N P(,)=lim N 通信原理 通信原理 後sk季 连续型随机变量的数学期望(2) P2.14 随机变量函数的数学期望 CP2.14 离散型E()=Eg(x=∑g(x x 证明:E(Y)=∑yP(=y P(=)=P(C)P xx2+1 ■当Ax→0,将X近似为概率质量函数 B(Y)=∑SF∑g(x)n 为(x)△x的离散型随机变量,其数学期望为 杠(x)=y f(x, Ax ■连续型E()=Eg(X)=2g(x)(x 通信原理 s後k手 通信原理 s2孩k手的
统计平均、数学期望 CP 2.1.4 Statistical average, expectation ◼ 离散型随机变量 m1 = E X = xi P (X = xi i 统计一个地区的平均年龄, 设总人数为 N, 年龄为 xi 的人数为 Ni , 那么平均年龄为 N N N N N x + N x ++ N x N N N x = 1 1 2 2 N N = 1 x1 + 2 x2 ++ N xN ( ) i i N N → N P x = lim 通信原理 49 连续型随机变量的数学期望(1) CP 2.1.4 ◼ 定义 1 X ( ) − m = E X = xf x dx ◼ 设连续型随机变量X的概率密度函数为 fX(x), 在数轴上取很密的点x0 < x1 < …, 则 X 落在小区间 (xi , xi+1] 的概率是 i x xi +1 f X (x)dx f X (xi)(xi+1 − xi) = f X (xi)x 通信原理 50 连续型随机变量的数学期望(2) CP 2.1.4 f X x xi +1 xi x ◼ 当 x → 0 , 将 X 近似为概率质量函数 为X i f (x )x 的离散型随机变量,其数学期望为 xi f ( xi )xi i 随机变量函数的数学期望 CP 2.1.4 k=1 ◼ 离散型 E(Y ) = E[g( X )] = g( xk ) pk i 证明： E(Y ) = yiP(Y= yi) pk k g(xk )= yi k g(xk )= yi P (Y = yi )= P (X= xk )= i k E(Y ) = yi pk = g ( xk ) pk k g(xk )= yi + ◼ 连续型 E(Y ) = E[g( X )] = − g( x) f ( x)dx 通信原理 51 通信原理 52
数学期望的性质 cP2.14 方差( Variance) CP2.14 随机变量与其均值的偏离程度 ■设C是常数,则E(C)=C ■若k是常数,则E(kX)=AE(X) ■E(X+y)=E(X+E() ■设X,F相互独立,则E(xY)=E(X)E() a=E-E∥ Var(X) E(XIR [r-E(Xf(x)d 通信原理 通信原理 後sk季 方差的性质 P2.14 原点矩( moments about the origin) CP2.14 ■设C是常数则lar(C)=0 ■定义 若C是常数,则a(Cx)=Car() kf aj 设Ⅹ与y是两个机变量.圆 ■特例 口PDF积分面积 Var(X+r)=ar(X)+Var(r) +E“-E(x)-E( 口均值 ■若X,Y相互独立,则 m=E{x}=-」x( 口均方值 Var(X+Y)=Var(X)+Var(r) m2=E{2=x2(x) 通信原理 s孩人手 通信原理 s6後k手
数学期望的性质 CP 2.1.4 ◼ 若 k 是常数, 则 ; ◼设 C 是常数,则 E (C)= C ; E (kX )= kE (X ) ◼ E (X +Y ) = E (X )+ E (Y ) ; ◼ 设 X ,Y 相互独立,则 E (XY )= E (X )E (Y ). 通信原理 53 方差 (Variance) CP 2.1.4 ◼ 随机变量与其均值的偏离程度 • • • • • • • • • • • •• • • • • Var (X ) = k k [ x − E( X )]2 p 2 2 X = E{[X − E( X )] } X [x − E( X )]2 f ( x)dx k=1 通信原理 54 − 方差的性质 CP 2.1.4 ◼ 设 C 是常数,则 Var(C) = 0 ; ◼ 若 C 是常数,则 ; ◼ 设 X 与 Y 是两个随机变量，则 Var(CX ) = C 2Var(X ) Var(X +Y ) =Var (X )+Var(Y ) + 2E (X − E (X ))(Y − E (Y )) ◼ 若 X, Y 相互独立,则 Var(X +Y ) =Var (X )+Var(Y ) 原点矩(moments about the origin) CP 2.1.4 ◼ 定义 (x)dx m = E X k = x k f ◼ 特例 k X − PDF积分面积 m = E 1 = f (x)dx = 1 均值 0 X − 均方值 1 X ( ) − m = E X = xf x dx 2 2 X (x)dx − m =E X = x 2 f 通信原理 55 通信原理 56