复旦大学：《通信原理（A）》PPT教学课件_2015_02 第二章 概率论与随机过程

概率密度函数( probability density function)c21 对fx(x)的进一步理解 CP2.1.2 ■利用概率密度可确定随机点落在某个范围 若x是f(x)的连续点,则 内的概率Px<X≤x+Ax dFr(a)lm F(x+Ax-F() Fx(x+△x)=Fx(x)+P(x<X≤x+△) f(x)会 若Ax→0,可以将F(x+2泰勒展开 linP(x<X≤x+△ Fr(x+Ax)=Fr(r)+dF,(x) Ax ■把概率理解为质量,fx(x)相当于线密度 imAx=P(x<X≤x+Ax) 设想一根极细的无穷长的金属杆,总质量为 f(x)9“(x) 1,概率密度相当于杆上各点的质量密度 通信原理 通信原理 後sk季 概率密度函数性质 P2.12 两种随机变量的对比 CP2.12 1. Since F(r) is non-decreasing. f(r)20 F LY,J 2. F(r)= AE)dE(the density and distribution are equivalent) 3. Since F(∞)=1.)=1 4.P({x1<X5x21)=F(x2)-F(x)=」/6 5.If x,*r,+h and h is small, then P({x1<Xsx1+h)=/(x1)h 通信原理 3孩k手 通信原理

概率密度函数 (probability density function) CP 2.1.2 ◼ 利用概率密度可确定随机点落在某个范围 内的概率 P x  X  x + x FX (x + x) = FX (x) + P(x  X  x + x) 若 x → 0 , 可以将 FX (x + x) 泰勒展开 dF X(x) dx FX (x + x)  FX (x) + x lim dF X( x) x→ dx 0 + x = P ( x  X  x +x) X f dx (x) dFX (x) 通信原理 21 对 f X (x) 的进一步理解 CP 2.1.2 ◼ 若 x 是 f X (x) 的连续点, 则 X f (x)  dFX (x) = lim F (x + x) − F (x) x→ 0 + dx x = lim P (x  X  x +x) x→ 0 + ◼ 把概率理解为质量 f , x X (x) 相当于线密度. 设想一根极细的无穷长的金属杆, 总质量为 1, 概率密度相当于杆上各点的质量密度. 通信原理 22 概率密度函数性质 CP 2.1.2 两种随机变量的对比 CP 2.1.2 通信原理 23 通信原理 24

随机变量的函数 cP2.12 连续型随机变量函数的分布 CP2.1.2 ■考虑线性变换Y=g(x)=ax+b,ab∈R,a≠0 例:已知=t0时刻噪声电压V的分布, 求功率=P/R(R为电阻)的分布 a>0F1(y)=P(Y≤y)=P(ax+b≤y) b_Ely-b 设随机变量X的分布已知F=g(X),如何由X 的分布求出Y的分布 f dFr( ■离散型随机变量函数的分布 a<0 f() P(Y=y)= P(X=xD> Pe kk(xae) <k(xa)y fU)=ifp=b) 通信原理 通信原理 後sk季 小结 P2.12 21.3多维随机变量 ■随机变量一试验结果的函数 到现在为止,我们只讨论了一维RV及其分布 离散型随机变量 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够, 口PMF,CDF 而需要用几个随机变量来描述 ■连续型随机变量 口CDF,PDF 在打靶时,命中点的位置是由 寸R∨(两个坐标)来确定的. 随机变量的函数 飞机的重心在空中的位置是由三 个R∨(三个坐标)来确定的等等 通信原理 後大手 通信原理

随机变量的函数 CP 2.1.2 例: 已知 t=t0时刻噪声电压 V 的分布, 求功率 W=V2 /R (R 为电阻) 的分布. ◼ 设随机变量 X的分布已知,Y=g (X), 如何由 X 的分布求出 Y的分布? ◼ 离散型随机变量函数的分布 P (Y = yi)=  P (X = xk )=  pk k g(xk )= yi k g(xk )= yi 通信原理 25 连续型随机变量函数的分布 CP 2.1.2 ◼考虑线性变换 Y = g (X ) = aX + b, a, b R, a  0 a  0 FY ( y )= P (Y  y)= P (aX + b  y) a a = P X  y − b = F y − b    X       Y f a y − b ( y ) = dFY ( y ) = 1 f dy a X     Y a F ( y ) = 1 − F y − b  X     a  0 Y f a y − b (y )= 1 f X   −a   Y a a y − b  f (y )= 1 f X     通信原理 26 小结 CP 2.1.2 ◼ 随机变量—试验结果的函数 ◼ 离散型随机变量  PMF, CDF ◼ 连续型随机变量  CDF, PDF ◼ 随机变量的函数 2.1.3多维随机变量 到现在为止, 我们只讨论了一维 RV 及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够, 而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一 对 RV (两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三 个 RV (三个坐标)来确定的等等. 通信原理 27 通信原理 28

二维随机变量 cP2.13 二维随机变量的联合分布函数 Joint CDF)c213 ■二维随机变量(x,Y)可以看成是从样本空 间S到R2的映射 维随机变量的 概率分布函数Fxx=PX≤x ■对应于试验的结果ξ,(κ,y)值同时被确定 ■设(x,H)是二维随机变量,如果对于任意实 元函数 Fx(xy)=P(Xsx)n(≤y)} ≌P(X≤x,≤y) 称为二维随机变量X,Y的分布函数,或者 称为随机变量X和Y的联合分布函数 通信原理 通信原理 二维随机变量的概率分布函数图例 P2.13 Joint probability density function CP2.13 ■二维连续性型随机变量的联合概率密度函数 f lint rohahilit densit function F(x)=P(X≤x) P(x<x<xtAr vey v+) x+Ax. v+Al Fxy(x+Ax,y+△y) , (r+ Ar,y) 睹缸杰且M (r,y) 概率分布函数 Fxr(x,y+Ay) F 维贿机变量的樞率分布函数 通信原理 1孩k手 通信原理 32

二维随机变量 CP 2.1.3 ◼ 二维随机变量 (X ,Y ) 可以看成是从样本空 间 S 到 R 2 的映射 S ◼ 对应于试验的结果  , (X ,Y )值同时被确定 Y y (x, y )  X 通信原理 29 二维随机变量的联合分布函数(Joint CDF) CP 2.1.3 一维随机变量的 FX x = P X  x 概率分布函数 ◼ 设 (X ,Y )是二维随机变量, 如果对于任意实 数 , , 二元函数 FX ,Y (x, y )= P(X  x)  (Y  y )  P (X  x ,Y  y ) 称为二维随机变量 X,Y 的分布函数,或者 称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数. 通信原理 30 二维随机变量的概率分布函数图例 CP 2.1.3 (x, y ) FX (x) = P (X  x) x 一维随机变量的 概率分布函数 FX ,Y (x, y)= P(X  x ,Y  y) 二维随机变量的概率分布函数 Joint probability density function CP 2.1.3 ◼ 二维连续性型随机变量的联合概率密度函数 (Joint probability density function) P(x  X  x + x, y  Y  y + y) (x + x, y + y) X ,Y = F (x + x, y + y) X ,Y (x, y ) X ,Y − F − F (x + x, y ) (x, y + y ) +FX ,Y (x, y ) 通信原理 31 通信原理 32

联合概率密度函数的理解 cP2.13 边缘分布函数( marginal CDF) cP2.13 ■二维连续性型随机变量的联合概率密度函数 loint nrohahilit density fi inction\ 二维随机变量(XY)作为一个整体,具有分 布函数Fx(xy) lim fx,r(,y)ArAy=P(<Xsx+Ax,y<Y <y+Ay) ■而和都是随机变量,其各自的分布函 数分别记为FA(x),F(y)依次称为二维随 基于二元函数泰勒展开,可以得到 -Pux andy 机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数 fxr(x, y) Ar(x,y) Fxx=PX≤x=PX≤x,Y≤+∞=Fxyx,+ aray F(y)=PY≤y}=P{X≤+∞,}≤y}=Fx(+∞,y) Fx(x)厂L1(0)dm 通信原理 通信原理 後sk季 边缭概率峦度函数 (marginal PDF)213 条件概率分布函数 (conditiona|cDF CP2.13 ■连续性二维随机变量(X,)分布函数Fx/(xy) ■条件概率分布函数定义 则X,y关于ⅹ的边缘概率密度为 (|x)=lmP(sy}{x<x≤x+△x}) fx(x)=」fxy(x,y)d Ps率 ≤x+A Mf.r (u, ")dudu x xAx=Px<xsx+Ax, -oo<r soo P({x<X≤x+△x}) fr (udu xr(u, v)dudy ∫xy(x,)dh ∫(x) ∫(x) x+Ax =lim r frr ( x, vidr lmAx「fx4x,wh hm(13)=2n山2x( 通信原理 35孩k手 通信原理

联合概率密度函数的理解 CP 2.1.3 ◼ 二维连续性型随机变量的联合概率密度函数 (Joint probability density function) lim f X ,Y (x, y)xy = P (x  X  x + x, y  Y  y + y ) x →y 0 → 0 基于二元函数泰勒展开, 可以得到  2F (x, y) X ,Y f (x, y) = X,Y xy ( ) y x X ,Y f X ,Y (u, v) dudv − − F x, y =   通信原理 33 边缘分布函数 (marginal CDF) CP 2.1.3 ◼ 二维随机变量 (X ,Y )作为一个整体, 具有分 布函数 FX ,Y (x, y ). ◼ 而 和 都是随机变量,其各自的分布函 数分别记为 FX (x), FY( y ),依次称为二维随 机变量 (X ,Y )关于X 和 Y 的边缘分布函数. FX x = P X  x = P X  x,Y  +  = FX ,Y x, + FY ( y )= PY  y = PX  +,Y  y = FX ,Y (+, y) 通信原理 34 边缘概率密度函数(marginalPDF) CP 2.1.3 ◼ 连续性二维随机变量(X,Y )分布函数FX ,Y(x, y ), 则 关于 X 的边缘概率密度为  X,Y f X (x) =  f X ,Y (x, y)dy −  lim f = lim X f x → 0 x+x  x x = P x  X  x + x, −   Y   ( ) ( ) (u, v) dudv = lim X ,Y  x → 0 x  x+x   −    f x, v dv du= lim x f x, v dv X ,Y X ,Y − x  −  x → 0 x → 0 条件概率分布函数(conditional CDF) CP 2.1.3 ◼ 条件概率分布函数定义 Y|X x → 0 F (y | x) = lim P (Y  y | x  X  x + x) (   ) X ,Y y x+x P Y f (u,v) dudv (u)du − x x → 0 x → 0 = lim = lim P (x  X  x + x)     y  x  X  x +x ( ) ( ) X x+x f x y y X ,Y X ,Y f x, v dv −  −  x f x, v dv =    lim X X f (x) x → 0 f ( x) x Y|X X ,Y Y|X X f (x, y ) f (x) F (y | x) f (y | x)= = y 通信原理 35 通信原理 36

条件概率密度函数的几何解释 cP2.13 随机变量相互独立的定义 cP2.13 fx,(r,y) 两事件A,B独立的定义:若P(AB=PAP(B) ∫x(x,y)dtdy 则称事件A,B独立 y+dy f()dx ■设(X,H)是两个RV,若对任意的x,y,有 [/xr( P(X≤x,Y≤y)=P(Xsx)P(Y≤y) x +dx 则称X和Y相互独立 ∫Gx(xy))h=f()d ■若X和y相互独立,有 ∫m=1h(x)=(x)h Fx,r(r,y=Fx(x Fr( fx(r)dr f(x,y=from( 通信原理 孩照大手 通信原理 离散型随机变量的联合概率质量函数 P2.13 离散型随机变量的边缘概率质量函数 CP2.13 ■二维离散型随机变量的联合概率质量函数 ■二维离散型随机变量的边缘概率质量函数 loint probabilit (marginal nrohahilit mace finction P(X y;)=pi X=x}=P{x=x,=y,}= Py≥01,j=1,2 Pu pa Pn JI J2 通信原理 y後k手 通信原理 後人手哪

条件概率密度函数的几何解释 CP 2.1.3 y fX ,Y (x, y) f X ,Y (x, y)dxdy f X (x)dx  y +dy y = dx f X ,Y (x, y )dy − x x +dx x (f X ,Y (x, y )dx )dy = f X (x) dx X ,Y f (x, y )dxdy =1  通信原理 37 f X (x) dx 随机变量相互独立的定义 CP 2.1.3 两事件 A, B 独立的定义: 若P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A, B 独立. ◼ 设 (X ,Y )是两个RV, 若对任意的 x, y , 有 P ( X  x,Y  y) = P( X  x)P(Y  y) 则称 X 和 Y 相互独立. ◼ 若X 和 Y 相互独立, 有 FX ,Y (x, y = FX ( x FY ( y f (x, y)= f X (x) fY ( y) 通信原理 38 X ,Y 离散型随机变量的联合概率质量函数 CP 2.1.3 ◼ 二维离散型随机变量的联合概率质量函数 (Joint probability mass function)    pij =1 P ( X = xi ,Y = y j ) = pij i, j =1, 2,   pij  0 i, j = 1,2, X i j Y y1 y2  y j    x1 x2  xi  p11 p21  pi1  p12 p22  pi2     p1 j p2 j pij    离散型随机变量的边缘概率质量函数 CP 2.1.3 ◼ 二维离散型随机变量的边缘概率质量函数 (marginal probability mass function)    i j   P X = xi = P X = x ,Y = y =  p ij j=1 j=1 X Y x1 x2  xi  1 y 11 21 i1 p p p p p p    2  j y  22 i2   12  y  p1 j   pij   p2j  ij j P 通信原理 39 通信原理 40