>检错能力一能够检测奇数个错码 设:码组长度为n, 码组中各个错码的发生是独立的和等概率的, 则在一个码组中出现j个错码的概率为 °(j,n)=CPp(1-p) 式中, 为在n个码元中有个错码的组合数。 !(n-) ■奇偶监督码不能检测码组中出现的偶数个错码,所以在 个码组中有错码而不能检测的概率等于: n/2 ∑CP2(1-p) 当n为偶数时 (n-1)/2 ∑CpP2(1-p)”2-当n为奇数时
16 ➢ 检错能力 － 能够检测奇数个错码。 ◼ 设：码组长度为n， 码组中各个错码的发生是独立的和等概率的， 则在一个码组中出现j 个错码的概率为 式中， — 为在n个码元中有j个错码的组合数。 ◼ 奇偶监督码不能检测码组中出现的偶数个错码，所以在一 个码组中有错码而不能检测的概率等于: － 当n为偶数时 － 当n为奇数时 n j n j P j n Cj p p − ( , ) = (1− ) !( )! ! j n j n C n j − = = − = − / 2 1 2 2 2 (1 ) n j n j n j Pu C j p p − = − = − ( 1)/ 2 1 2 2 2 (1 ) n j n j n j Pu C j p p
例]右表中的编码是偶数监督码。 信息位监督位 设信道的误码率为104,错码的出 现是独立的。试计算其不能检测 晴 的误码率 云 01 将给定条件代入式 阴 10 n/2 ∑C2/P2/(1-p)2 雨 11 计算得出 ∑C2p2(1-p)2=C2p )2 4 +C4P(1-p) 0 p2(1-p)2+p4=6p2-12p3+6p4+p4≈6·p2=610 由计算结果可见,此编码可以将误码率从104降低到1038量 级。效果非常明显。 17
17 ◼ [例] 右表中的编码是偶数监督码。 设信道的误码率为10-4，错码的出 现是独立的。试计算其不能检测 的误码率。 将给定条件代入式 计算得出 由计算结果可见，此编码可以将误码率从10-4降低到10-8量 级。效果非常明显。 信息位 监督位 晴 00 0 云 01 1 阴 10 1 雨 11 0 = − = − / 2 1 2 2 2 (1 ) n j n j n j Pu C j p p 2 2 4 2 3 4 4 2 8 4 4 0 4 4 2 2 2 2 1 4 2 4 2 2 6 (1 ) 6 12 6 6 6 10 (1 ) (1 ) (1 ) − = − = − + = − + + = = − = − + − p p p p p p p p P C p p C p p C p p j j j u j
10.42二维奇偶监督码 码率等于km(n-1 an-2 n (m+I)n 有可能检测偶数个错码 ■适合检测突发错码 ■能够纠正部分错码 n-2
18 1 an−1 1 n−2 a 1 1 a 1 0 a 2 an−1 2 an−2 2 1 a 2 0 a m an−1 m an−2 m a1 m a0 n−1 c n−2 c 1 c 0 c 10.4.2 二维奇偶监督码 ◼ 码率等于 ◼ 有可能检测偶数个错码 ◼ 适合检测突发错码 ◼ 能够纠正部分错码 … … … … … … … … … m n m n n k ( 1) ( 1) + − =
10.5线性分组码 基本概念 ■代数码一利用代数关系式产生监督位的编码 ■线性分组码一代数码的一种,其 监督位和信息位的关系由线性代数方程决定 ■汉明码一一种能够纠正一个错码的线性分组码 ■校正子: 在偶数监督码中,计算an1⊕an2…a=0 实际上就是计算S=an1田an2④…⊕a 并检验S是否等于0。 S称为校正子。 监督关系式:S=anan2…④an
19 10.5 线性分组码 ➢ 基本概念 ◼ 代数码 － 利用代数关系式产生监督位的编码 ◼ 线性分组码－ 代数码的一种，其 监督位和信息位的关系由线性代数方程决定 ◼ 汉明码 － 一种能够纠正一个错码的线性分组码 ◼ 校正子： 在偶数监督码中，计算 实际上就是计算 并检验S是否等于0。 S称为校正子。 ◼ 监督关系式： an−1 an−2 a0 = 0 S = an−1 an−2 a0 S = an−1 an−2 a0
>纠错基本原理 nS=ana2…an中,S只有两种取值,故只能表示 有错和无错,而不能进一步指明错码的位置。 若此码组长度增加一位,则能增加一个监督关系式。这样, 就能得到两个校正子。两个校正子的可能取值有4种组合, 即00,01,10,11,故能表示4种不同的信息。若用其中 种组合表示无错码,则还有其他3种组合可以用于指明一个 错码的3种不同位置。从而可以有纠错能力。 般而言,若有r个监督关系式,则r个校正子可以指明 个错码的(2r-1)个不同位置。 当校正子可以指明的错码位置数目等于或大于码组长度n 时,才能够纠正码组中任何一个位置上的错码,即要求 2-1≥n或2′≥k+r+1
20 ➢ 纠错基本原理 ◼ 中，S只有两种取值，故只能表示 有错和无错，而不能进一步指明错码的位置。 ◼ 若此码组长度增加一位，则能增加一个监督关系式。这样， 就能得到两个校正子。两个校正子的可能取值有4种组合， 即00，01，10，11，故能表示4种不同的信息。若用其中一 种组合表示无错码，则还有其他3种组合可以用于指明一个 错码的3种不同位置。从而可以有纠错能力。 ◼ 一般而言，若有r 个监督关系式，则r 个校正子可以指明 一个错码的(2r – 1) 个不同位置。 ◼ 当校正子可以指明的错码位置数目等于或大于码组长度n 时，才能够纠正码组中任何一个位置上的错码，即要求 S = an−1 an−2 a0 2 −1 n 2 k + r +1 r 或 r