Km的标准正交基 定理如果Arnoldi过程不提前终止，则向量M,2,,nm构成Km的一组标准正交基 其中 Km(A,r)=spanfr,Ar,....Am-Ir. http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 14/180
Km 的标准正交基 定理 如果 Arnoldi 过程不提前终止, 则向量 v1, v2, . . . , vm 构成 Km 的一组标准正交基, 其中 Km(A, r) = span{r, Ar, . . . , A m−1 r}. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 14/180
Arnoldi过程的矩阵表示 由Arnoldi过程可知h+1+1=A巧-】 g,因此 与=1+空 hj haj =[m,2,,5+1] =[1,.,5+1,5+2,,m+1 hjt1j : 0 ht1创 0 =Vm+1Hm+1.m(,j), http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 15/180
Arnoldi 过程的矩阵表示 由 Arnoldi 过程可知 hj+1,jvj+1 = Avj − P j i=1 hijvi , 因此 Avj = hj+1,jvj+1 + X j i=1 hijvi = [v1, v2, . . . , vj+1] h1j h2j . . . hj+1,j = [v1, . . . , vj+1, vj+2, . . . , vm+1] h1j . . . hj+1,j 0 . . . 0 = Vm+1Hm+1,m(:, j), http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 15/180
定理设Vm=[,边，，m小，则 AVm=Vm+1 Hm+1,m=VmHm+hm+1,mum+1em (4.5) VinA Vm =Hm2 (4.6) 其中em=0,.,0,1]T∈Rm,Hm=Hm+1,m(1:m,1:m)∈Rmxm hii h12 h,m-1 hi.m h21 h22 h2,m-1 h2.m 0 h32 h3,m-1 2,m Hm+1,m= 0 0 h4.m-1 h4.m ∈R(m+1)×m : 0 0 hm.m-1 hm.m 0 0 0 hm+i,m] http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 16/180
定理 设 Vm = [v1, v2, . . . , vm], 则 AVm = Vm+1Hm+1,m = VmHm + hm+1,mvm+1e ⊺ m, (4.5) V ⊺ mAVm = Hm, (4.6) 其中 em = [0, . . . , 0, 1]⊺ ∈ R m, Hm = Hm+1,m(1 : m, 1 : m) ∈ R m×m Hm+1,m = h11 h12 · · · h1,m−1 h1,m h21 h22 · · · h2,m−1 h2,m 0 h32 · · · h3,m−1 h2,m 0 0 · · · h4,m−1 h4,m . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · hm,m−1 hm,m 0 0 · · · 0 hm+1,m ∈ R (m+1)×m. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 16/180
定理中的结论可以由下图表示。 Hm A Vm V+1 Vm Hm+1,m http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 17/180
定理中的结论可以由下图表示. A Vm = Vm+1 = Hm+1,m Vm Hm + http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 17/180
Arnoldi过程提前终止 如果Arnoldi过程提前终止，则我们可以得到一个不变子空间. 定理如果Arnoldi过程在第k(k≤m)步终止，即hk+1,k=0,则有 AVk=VkHk 即心k是A的一个不变子空间. http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 18/180
Arnoldi 过程提前终止 如果 Arnoldi 过程提前终止, 则我们可以得到一个不变子空间. 定理 如果 Arnoldi 过程在第 k (k ≤ m) 步终止, 即 hk+1,k = 0, 则有 AVk = VkHk, 即 Kk 是 A 的一个不变子空间. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 18/180