误差概述 定义6.1.2如果给果给定的算法的截断 误差为 T1=O(ht) 则称该算法具有p阶精度。如果 Tna=g(rn, y(xr))hp++O(h+) 则非项g(x,y(x,)h称为为局部截断误差主
误差概述 则非零项 ( , ( )) 称为为局部截断误差主 ( ( )) ( ) 则称该算法具有 阶精度。如果 误差为 定义6.1.2 如果给果给定的算法的截断 1 1 2 1 1 1 + + + + + + = + = p n n p p n n n p n g x y x h T g x ,y x h O h p T O(h )
误差概述 一般说来,一个算法,局部截断误差阶p越大, 刂精度相对的越 对于显式且ur法:h2 3"(x)+O1的 h 对于隐式Euer法:Tn=2+0h) 对于梯形公式 h n+1 y(xn)+o(h) 2
误差概述 ( ) ( ) 2 y ( ) O ( ) 2 对于 式Euler ( ) O(h ) 2 对于显式Euler 则精度相对的越高。 一般 ，一个算法，局部截断 误差阶 越大， 4 3 1 3 2 1 3 2 1 y x O h h T x h h T y x h T ｐ n n n n n n = − + = − + = + + + + 对于梯形公式 ： 隐 法 ： 法 ： 说来
6.1.3数值稳定性分析 假设计算y时有一舍入误差ρ,则实际计算 结果为yn=y+p,如果通过某种数值方法又算 得 n+1 且 n+ pn图pn 则称该算法是数值稳定,也成绝对稳定。如果算 法的舍人误的舍人误差大,则,则称该算数值不 稳定
6.1.3 数值稳定性分析 稳 法的舍入误的舍入误差大， 则，则称该算 值不 则称该算法是数值稳定 。如果算 | | | | 得 ， 结果为 ，如果 值方法又算 假设 时有一舍入误差 ， 则 计算 1 1 1 1 数 ，也成绝对稳定 且 通过某种数 计算 实际 n n n n n ~ n n n ~ n n ρ ρ y y ρ y y ρ y ρ = + = + + + + +
数值稳定性分析 定义6.1.3若某数值算法的绝对稳定性区 域包含h平面上的左半平面Re(h)<0, 则称该方法是A稳定的 ■隐式Euer法是A稳定的
数值稳定性分析 ◼ 定义6.1.3 若某数值算法的绝对稳定性区 域包含hλ平面上的左半平面Re(hλ)＜0， 则称该方法是A ◼ 隐式Euler法是A
62 Runge-Kutt方法 受改进的Euer方法启发,更一般算式可设为 Vn+I=yn+O,k,+O,k2 k,=hf(n,yn) (n=0,132…) k2=hf(xn +ah, yn+Bh,) 适当选择参数,O,α,β,使局部截断误差 TnH1=y(x)-yn1=O(h3)这里仍假定yn=y(xn)
6.2 Runge-Kutta方法 这里仍假定 。 适当选择参数 ， ， ， ，使局部截断误差 受改进的 方法启发，更一般算式可设为 ( ) ( ), ( ) ( 0,1,2,...) ( , ) ( , ) Euler 3 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 n n n n n n n n n n n T y x y O h y y x n k hf x h y k k hf x y y y k k = − = = = = + + = = + + + + + +