初值问题的Eue方法 例6.1.1设初值问题 dy 2x dx y(0)=1 试分别用 Euler法和改进 Euler法求解,并与 精确解y=√1+2x进行比较
初值问题的Euler方法 精确解 进行比较。 试分别用 法和改进 法求解 并与 例 设初值问题 y x y y x y dx dy 1 2 Euler Euler , (0) 1 2 6.1.1 = + = = −
初值问题的Eue方法 解:取h=0.1,计算x∈[O1上结果,此时 Euler: yn+=y, +0.1(yn Y (n=0.1, 2,. +(k+k2) 改进的er法k1=01(n-2) k2=0.(yn+k 2(xn+0 )(n=0,12,) y,+k, 计算结果如下表所示:
初值问题的Euler方法 计算结果如下表所示： 改进的 法： 法： 解：取 计算 上结果，此时 = + + = + − = − = + + = + − = = + + ) ( 0,1,2,...) 2( 0.1) 0.1( ) 2 0.1( ( ) 2 1 Euler ) ( 0,1,2,...) 2 0.1( 0.1, [0,1] 1 2 1 1 1 1 2 1 n y k x k y k y x k y y y k k n y x Euler y y y h x n n n n n n n n n n n n n
x Euler法y改进的 Euler,法y精确解 0 1.0000001000000 1.000000 0110000001095909 1.095445 0.21.1918181.184097 1.183216 0.312774381.266201 1.264911 0413582131343360 1.341641 0.514351331416402 1414214 0.61.5089661485956 1483240 071.5803381.552514 1.549193 081.6497831.616475 1612452 0.91.7177791678166 1.673320 1.01.7847701737867 1.732051
x Euler法y 改进的Euler法y 精确解 0 1.000000 1.000000 1.000000 0.1 1.000000 1.095909 1.095445 0.2 1.191818 1.184097 1.183216 0.3 1.277438 1.266201 1.264911 0.4 1.358213 1.343360 1.341641 0.5 1.435133 1.416402 1.414214 0.6 1.508966 1.485956 1.483240 0.7 1.580338 1.552514 1.549193 0.8 1.649783 1.616475 1.612452 0.9 1.717779 1.678166 1.673320 1.0 1.784770 1.737867 1.732051
6.1.2误差概述 显式单步法一般形式为 Wn+1=yn+ho(rn,ym, h) 而隐式单步法一般形式为 Vn+ y+ho( n2vn,n+1,n+ 函数与f(x,y)有关,称为增量函数
6.1.2 误差概述 函数 与 有关，称为增量函数。 而隐式单步法一般形式为 显式单步法一般形式为 ( , ) ( , , , , ) ( , , ) 1 1 1 1 f x y y y h x y x y h y y h x y h n n n n n n n n n n + + + + = + = +
误差概述 定义611从初值v(x)=y出发,由单步法显式 或隐式逐步计算,得xn的值yn,则en1=y(xn1)-yn 称为在点x上的整体截断误差。如果第n步在点x的 值计算没有误差,即yn=y(xn)由单步法计算出ynH 则T 1+ n+1 )-y n+1 称为点xn上的局部截断误差
误差概述 则 称为点 上的局部截断误差。 值计算没有误差，即 由单步法计算出 称为在点 上的整体截断误差。如果第 步在点 的 或隐式逐步计算，得 的值 则 定义 从初值 出发，由单步法显式 1 1 ~ 1 1 1 ~ 1 1 1 1 1 1 0 0 ( ) , ( ), , , ( ) 6.1.1 ( ) + + + + + + + + + + + = − = = − = n n n n n n n n n n n n n n T y x y x y y x y x n x x y e y x y y x y