由分部积分可以得到L;(=)=L1()·代入(4·6)式就可以解出 zL,() Ln(=) (4.7) 1-L(=) 等价地有 f(2) Lm(二) 二+Ln(二) 又由于非负随机变量的分布密度是由此随机变量的负指数矩唯一确定的,所以更新间隔的 分布密度f1可由更新函数m(1)唯一确定 由(4.7式,只要用z的有理多项式来近似Ln(=),再通过查一般函数的 Laplace变换表, 也可以得到m()的近似计算公式 (如果更新间隔的分布函数F()不存在密度,那么这时候有Ee=「edF(),这是分布函数 F()的 Lap lace-Stielt变换,我们把它记为lA()再定义L2(2)=「edm,与上面 类似地可以得到 LS(=)= LF(E) LS(=) 或 Lm(二) 1.3年龄与剩余寿命 定义4.8设τn为更新流,N1是其对应的更新过程.当t固定时,随机变量 a,=t-N称为(第N个更新元的)年龄;而随机变量y,=τx+-1称为(第N 个更新元的)剩余寿命 命题4.9(指数流的年龄与剩余寿命)设τ是强度为λ的指数流,则当t固定时 有 (1)剩余寿命y,=【N+-t服从强度为λ的指数分布,即 y,=T1(记号=表示两边的随机变量同分布 (2)年龄a,的分布是如下的一个混合型的分布函数 P(a, ss)=lon(sdl-e)+I(s)
81 由分部积分可以得到 ( ) ( ) 1 1 L z zL z F = f ．代入（４．６）式就可以解出 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 L z zL z L z f f m - = . (4. 7) 等价地有 ( ) ( ) ( ) 1 z L z L z L z m m f + = . (4. 7)’ 又由于非负随机变量的分布密度是由此随机变量的负指数矩唯一确定的, 所以更新间隔的 分布密度 1 f 可由更新函数m(t) 唯一确定. 由(4. 7)式, 只要用z 的有理多项式来近似 L (z) m , 再通过查一般函数的 Laplace变换表, 也可以得到m(t) 的近似计算公式. (如果更新间隔的分布函数 ( ) 1 F t 不存在密度, 那么这时候有 ( ) 1 0 1 Ee e dF t zT -zt ¥ - ò = , 这是分布函数 ( ) 1 F t 的 Laplace-Stieltjies 变换, 我们把它记为 ( ) 1 L z S F . 再定义 ( ) ( ) 0 L z e dm t S zt m - ¥ ò = . 与上面 类似地可以得到 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 L z L z L z S F S S F m - = , 或 1 ( ) ( ) ( ) 1 L z L z L z S m S S m F + = (4. 7)’’) 1. 3 年龄与剩余寿命 定义 4. ８ 设 n t 为更新流, Nt 是其对应的更新过程．当t 固定时, 随机变量 Nt t a =t -t D 称为 (第Nt 个更新元的) 年龄; 而随机变量 t Nt g t = t +1 - 称为 (第 Nt 个更新元的) 剩余寿命. 命题４.９（指数流的年龄与剩余寿命）设 n t 是强度为l 的指数流, 则当t 固定时 有 （１）剩余寿命 t Nt g t = t +1 - 服从强度为l 的指数分布, 即 T1 d g t = (记号 d = 表示两边的随机变量同分布). (4. 8) （２）年龄at 的分布是如下的一个混合型的分布函数 ( ) ( )(1 ) ( ) (0, ) [ , ) P s I s e I s t s t t ¥ - £ = - + l a . (4. 9)
即a;与τ∧t同分布,其中τAt=min(r,D),r~eNpx 证明(1)随机变量y1=TN+1-1分布函数为 P(,≤s)=P(r =P(rxst+s)=∑P(N=n)P(xn≤+|N,=n) P(N1=n)P(N,≥1)=P(N,≥1)=1 (2)按定义当s≥t时P(a1>s)=P(t-τx>s)=0.而当s<t时有 P(a,>s)=P(t-,>)=∑P(N,=n,n<t-s) P(N N-N=0)=∑P(N=:=n)P(N=0) 推论4.10指数流的平均更新年龄为 4.1 从而重新得到第3章2.3段中的结论:t前最近更新时刻的数学期望为 1+A E 证明由命题4.9(2)可知,a,的分布函数在点有一个跃度为e的跳跃,而在[01) 上有连续导数λ·e,所以a,的分布函数可以看成为如下的混合型分布 P(a,≤s)=(1-e)F1(s)+eF2(s) 其中F(s)具有概率密度f1(s)=;x1o(s),而F2(s)=l1x(s).由于这两个分布的 数学期望分别为1-2,1e-与1,因此Eas1-eb 元·(1-e-) 命题4.11(一般更新流的平均剩余寿命)对于一般更新过程的剩余寿命y,有 EY:=(1+m(D)E1-t (4.lI
82 即 at 与t Ùt 同分布, 其中 t Ùt min( t ,t) D = , l t ~ exp . 证明 （１）随机变量 t Nt g t = t +1 - 分布函数为 ( ) ( ) 1 P s P t s Nt g t £ = t + - £ ( ) ( ) ( | ) 1 0 P 1 t s P Nt n P n t s Nt n n Nt = £ + = = + £ + = ¥ = t + å t s s n P Nt n P Ns P N e -l ¥ = = å ( = ) ( ³ 1) = ( ³ 1) = 1- 0 . （２） 按定义当s ³ t 时 P(at > s) = P(t - > s) = 0 Nt t . 而当s < t 时有 P(at > s) = å ¥ = - > = = < - 0 ( ) ( , ) n P t N s P Nt n n t s t t t å ¥ = = - = - = 0 ( , 0) n P Nt s n Nt Ns å ¥ = - = - = = = 0 ( ) ( 0) n s P Nt s n P Ns e l . 推论４．１０ 指数流的平均更新年龄为: l a lt t e E - - = 1 . (4. 10) 从而重新得到第 3 章 2. 3 段中的结论：t 前最近更新时刻的数学期望为 l l t a l e t E E t t N t t - + = - = - 1 ( ) ． 证明 由命题４.９(2)可知, at 的分布函数在 t 点有一个跃度为 t e -l 的跳跃, 而在[0,t) 上有连续导数 s e l l - × , 所以at 的分布函数可以看成为如下的混合型分布 ( ) (1 ) ( ) ( ) 1 2 P s e F s e F s t t t l l a - - £ = - + , 其中 ( ) 1 F s 具有概率密度 ( ) 1 ( ) 1 [0, ) I s e e f s t t s l l l - - - × = , 而 ( ) ( ) 2 [ , ) F s I s = t ¥ . 由于这两个分布的 数学期望分别为 (1 ) 1 t t t - e - te - e l l l l l - - - × × 与t , 因此 l a lt t e E - - = 1 . 命题４.１１ （一般更新流的平均剩余寿命 ）对于一般更新过程的剩余寿命 t g 有 E m t ET t g t = (1+ ( )) 1 - . (4. 11)