延安大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（考研指导）2017年考研数学三真题与答案解析

2017年考研数学三真题 选择题1-8小题.每小题4分,共32分. cOS 若函数f(x)={ax 在x=0处连续,则 0 (A) ab=n(B)ab-I (C)ab=0(d)ab=2 解】=/9=24加m2=21,厘m1()=b=/0,要使函数在x0处连 必须满足 b→ab 所以应该选(A) 2 2.二元函数二=xy(3-x-y)的极值点是() (A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 【详解】=13-x-y)-x=3y-2xy-y2,2=3 =31一 y2=0 解方程组 ,得四个驻点.对每个驻点验证AC-B2,发现只有在点(,1)处满足 lay AC-B2=3>0,且A=C=-2<0,所以(1).函数的极大值点,所以应该选(D) 3.设函数f(x)是可导函数,且满足f(x)f(x)>0,则 (A)f(1)>f(-1)(B)f(1)<f(-1)(c)|f(0>f(-1)(D)|f(1)<f(-1) 【详解】设g(x)=(f(x)2,则g(x)=2f(x)(x)>0,也就是(f(x)是单调增加函数.也就得到 (f()>(f(-1)→f(1)>(-1),所以应该选(C) 4.若级数∑|sin-kln(1--)收敛,则k=( (B)2 (C)-1 (D)-2

1 2017 年考研数学三真题 一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分． 1．若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x ax b x  −   =     在 x = 0 处连续，则 （A） 1 2 ab = （B） 1 2 ab = − （C） ab = 0 （D） ab = 2 【详解】 0 0 0 1 1 cos 1 2 lim ( ) lim lim x x x 2 x x f x ax ax a → → → + + + − = = = ， 0 lim ( ) (0) x f x b f → − = = ，要使函数在 x = 0 处连续， 必须满足 1 1 2 2 b ab a =  = ．所以应该选（A） 2．二元函数 z xy x y = − − (3 ) 的极值点是（ ） （A） (0,0) （B） ( , ) 0 3 （C） ( , ) 30 （D） ( , ) 11 【详解】 2 (3 ) 3 2 z y x y xy y xy y x  = − − − = − −  ， 2 3 2 z x x xy y  = − −  ， 2 2 2 2 2 2 2 , 2 , 3 2 z z z z y x x x y x y y x     = − = − = = −       解方程组 2 2 3 2 0 3 2 0 z y xy y x z x x xy y  = − − =      = − − =  ，得四个驻点．对每个驻点验证 2 AC B− ，发现只有在点 ( , ) 11 处满足 2 AC B− = 3 0 ，且 A C= = − 2 0 ，所以 ( , ) 11 为函数的极大值点，所以应该选（D） 3．设函数 f x( ) 是可导函数，且满足 f x f x ( ) ( ) 0   ，则 （A） f f (1) ( 1)  − （B） f f ( ) ( ) 1 1  − （C） f f ( ) ( ) 1 1  − （D） f f ( ) ( ) 1 1  − 【详解】设 2 g x f x ( ) ( ( )) = ，则 g x f x f x   ( ) 2 ( ) ( ) 0 =  ，也就是 ( ) 2 f x( ) 是单调增加函数．也就得到 ( ) ( ) 2 2 f f f f (1) ( 1) (1) ( 1)  −   − ，所以应该选（C） 4． 若级数 2 1 1 sin ln(1 ) n k n n  =   − −      收敛，则 k = （ ） （A） 1 （B） 2 （C） −1 （D）−2

k 1 【详解】ⅳn→时sin--kln(1--)=--k (1+k)-+x-2 n n n 2(n 2 显然当且仅当(1+k)=0,也就是k=-1时,级数的一般项是关于一的二阶无穷小,级数收敛,从而选择 (C) 5.设a为n单位列向量,E为n阶单位矩阵,则 (A)E-aa7不可逆 (B)E+aQ不可逆 (C)E+2aa不可逆 (D)E-2a不可逆 【详解】矩阵aa的特征值为1和n-1个0,从而E-aa,E+aa,E-2aa,E+2aa的特征值分别 为0,1,1,…1:2,1,1…,1:-1,1,1,…,1;3,1,1,…,1.显然只有E-aα存在零特征值,所以不可逆,应 该选(A) 00 6.已知矩阵A=021,B=020,C=020,则 002 (A)A,C相似,B,C相似 (B)A,C相似,B,C不相似 (C)A,C不相似,B,C相似(D)A,C不相似,B,C不相似 【详解】矩阵A,B的特征值都是A1=λ2=2,λ=1.是否可对解化,只需要关心A=2的情况 000 对于矩阵A,2E-A=00 秩等于1,也就是矩阵A属于特征值λ=2存在两个线性无关的特 001 征向量,也就是可以对角化,也就是A~C 对于矩阵B,2E-B=000,秩等于2,也就是矩阵A属于特征值A=2只有一个线性无关的特 征向量,也就是不可以对角化,当然B,C不相似故选择(B) 7.设A,B,C是三个随机事件,且AC相互独立,B,C相互独立,则A∪B与C相互独立的充分必要 条件是() (A)A,B相互独立 (B)A,B互不相容 (C)AB,C相互独立(D)AB,C互不相容 【详解】

2 【详解】iv n → 时 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin ln(1 ) (1 ) 2 2 k k k o k o n n n n n n n n n         − − = − − − + = + +                   显然当且仅当 (1 ) 0 + = k ，也就是 k =−1 时，级数的一般项是关于 1 n 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择 （C）． 5．设  为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则 （A） T E − 不可逆 （B） T E + 不可逆 （C） 2 T E +  不可逆 （D） 2 T E −  不可逆 【详解】矩阵 T  的特征值为 1 和 n−1 个 0 ，从而 , , 2 , 2 T T T T E E E E − + − +     的特征值分别 为 0,1,1, 1 ； 2,1,1, ,1 ；−1,1,1, ,1 ； 3,1,1, ,1．显然只有 T E − 存在零特征值，所以不可逆，应 该选（A）． 6．已知矩阵 200 0 2 1 0 0 1 A     =       ， 2 1 0 0 2 0 0 0 1 B     =       ， 100 0 2 0 0 0 2 C     =       ，则 （A） AC, 相似， BC, 相似 （B） AC, 相似， BC, 不相似 （C） AC, 不相似， BC, 相似 （D） AC, 不相似， BC, 不相似 【详解】矩阵 A B, 的特征值都是 1 2 3    = = = 2, 1．是否可对解化，只需要关心  = 2 的情况． 对于矩阵 A ， 0 0 0 2 0 0 1 0 0 1 E A     − = −       ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值  = 2 存在两个线性无关的特 征向量，也就是可以对角化，也就是 A C~ ． 对于矩阵 B ， 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1 E B   −   − =       ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值  = 2 只有一个线性无关的特 征向量，也就是不可以对角化，当然 BC, 不相似故选择（B）． 7．设 A B, ，C 是三个随机事件，且 AC, 相互独立， BC, 相互独立，则 A B 与 C 相互独立的充分必要 条件是（ ） （A） A B, 相互独立 （B） A B, 互不相容 （C） AB C, 相互独立 （D） AB C, 互不相容 【详解】

P((AUB)C)=P(AC +AB)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(ABC) P(AUB)P(C)=(P(A)+P(B)-P(AB)P(C)=P(AP(C)+P(B)P(C)-P(AB)P(C) 显然,A∪B与C相互独立的充分必要条件是P(ABC)=P(AB)P(C),所以选择(C) 8.设X1,X2…,X(m≥2)为来自正态总体N()的简单随机样本,若X=∑X,则下列结论中不 正确的是() A)∑(x-)2服从x2分布(B)2(Xn-X1)服从x2分布 (C)∑(X-X)服从x2分布(D)m(X-)3服从x2分布 解:(1)显然(X-)~N(0,1)→(X1-)2~2(1),=12,…m且相互独立,所以∑(x1-4)2服从 x2(m)分布,也就是(A)结论是正确的 2)2(x+xF2(0-19(13-x(),所以()轴结论也是正确的 (3)注意X~N(A,)→(x-p)~N(0.1)→m(x-1)2~x2(1),所以(D)结论也是正确的: X-X (4)对于选项(B):(Xn-X1)~N(0.,2)→ √~N0=2(x-X)-x(,所以(B)结 论是错误的,应该选择(B) 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) ∫(sm3x+√z-x)b 解:由对称性知sin3x+Vz2-x2d=2Vm2-x2t=z 10.差分方程y+-2y2=2的通解为 【详解】齐次差分方程y-2y=0的通解为y=C2; 设y-2y=2的特解为y=a2,代入方程,得a=1 所以差分方程y1-2y1=2的通解为y=C2+12 1l.设生产某产品的平均成本C(Q)=1+e,其中产量为Q,则边际成本为

3 P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + − = + − P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + − = + − 显然， A B 与 C 相互独立的充分必要条件是 P ABC P AB P C ( ) ( ) ( ) = ，所以选择（C ）． 8．设 1 2 , , , ( 2) X X X n n  为来自正态总体 N( ,1)  的简单随机样本，若 1 1 n i i X X n = =  ，则下列结论中不 正确的是（ ） （A） 2 1 ( ) n i i X  =  − 服从 2  分布 （B） ( ) 2 1 2 X X n − 服从 2  分布 （C） 2 1 ( ) n i i X X =  − 服从 2  分布 （D） 2 n X( ) −  服从 2  分布 解：（1）显然 2 2 ( ) ~ (0,1) ( ) ~ (1), 1,2, X N X i n i i −  − =    且相互独立，所以 2 1 ( ) n i i X  =  − 服从 2  ( ) n 分布，也就是（A）结论是正确的； （2） 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( ) ( 1) ~ ( 1) n i i n S X X n S n  =  −  − = − = − ，所以（C）结论也是正确的； （3）注意 1 2 2 X N n X N n X ~ ( , ) ( ) ~ (0,1) ( ) ~ (1) n      −  − ，所以（D）结论也是正确的； （4）对于选项（B）： 1 2 2 1 1 1 ( ) ~ (0,2) ~ (0,1) ( ) ~ (1) 2 2 n n n X X X X N N X X  − −   − ，所以（B）结 论是错误的，应该选择（B） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9． 3 2 2 (sin ) x x dx    − + − =  ． 解：由对称性知 3 3 2 2 2 2 0 (sin ) 2 2 x x dx x dx       − + − = − =   ． 10．差分方程 1 2 2t t t y y + − = 的通解为 ． 【详解】齐次差分方程 1 2 0 t t y y + − = 的通解为 2 x y C= ； 设 1 2 2t t t y y + − = 的特解为 2 t t y at = ，代入方程，得 1 2 a = ； 所以差分方程 1 2 2t t t y y + − = 的通解为 1 2 2 . 2 t t y C t = + 11．设生产某产品的平均成本 ( ) 1 Q C Q e− = + ，其中产量为 Q ，则边际成本为

【详解】答案为1+(1-O)e-9. 平均成本C(Q)=1+e,则总成本为C(Q)=QC(Q)=Q+Qe,从而边际成本为 C(Q)=1+(1-ge° 12.设函数∫(x,y)具有一阶连续的偏导数,且已知d(x,y)=e'ax+x(1+y)e"d,f(0,0)=0,则 f(x,y)= 【详解】d(x,y)=ye'ax+x(1+y)'dy=d(xye"),所以f(x,y)=xye"+C,由f(0,0)=0,得C=0, 所以f(x,y)=xe 13.设矩阵A=112,a123为线性无关的三维列向量,则向量组Aa1,Aa2A的秩 0 为 01 10 【详解】对矩阵进行初等变换A=112)011)011,知矩阵A的秩为2,由于 011 011 000 a1,a2,3为线性无关,所以向量组Aa1,Ax2,Ax3的秩为2 14设随机变量x的概率分布为P(x=-2}=,P(x=1}=a,P(x=3}=b,若EX=0,则 DX 【详解】显然由概率分布的性质,知a+b+=1 EX=-2×-+1×a+3×b=a+3b-1=0,解得 b EX2=2+a+%、9 , DX=EX-E(Y= 三、解答题 15.(本题满分10分) 求极限lim 【详解】令x-1=l,则t=x-l,d=-dh,「√x-ted=[√ lue-dut = lim

4 【详解】答案为 1 (1 ) Q Q e− + − ． 平均成本 ( ) 1 Q C Q e− = + ，则总成本为 ( ) ( ) Q C Q QC Q Q Qe− = = + ，从而边际成本为 ( ) 1 (1 ) . Q C Q Q e−  = + − 12．设函数 f x y ( , ) 具有一阶连续的偏导数，且已知 ( , ) (1 ) y y df x y ye dx x y e dy = + + ， f (0,0) 0 = ，则 f x y ( , ) = 【详解】 ( , ) (1 ) ( ) y y y df x y ye dx x y e dy d xye = + + = ，所以 ( , ) y f x y xye C = + ，由 f (0,0) 0 = ，得 C = 0 ， 所以 ( , ) y f x y xye = ． 13．设矩阵 1 0 1 1 1 2 0 1 1 A     =       ， 1 2 3    , , 为线性无关的三维列向量，则向量组 1 2 3 A A A    , , 的秩 为 ． 【详解】对矩阵进行初等变换 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 A             = → →                   ，知矩阵 A 的秩为 2，由于 1 2 3    , , 为线性无关，所以向量组 1 2 3 A A A    , , 的秩为 2． 14．设随机变量 X 的概率分布为   1 2 2 P X = − = ， P X a  = = 1 ， P X b  = = 3 ，若 EX = 0 ，则 DX = ． 【详解】显然由概率分布的性质，知 1 1 2 a b + + = 1 2 1 3 3 1 0 2 EX a b a b = −  +  +  = + − = ，解得 1 1 , 4 4 a b = = 2 9 2 9 2 EX a b = + + = ， 2 2 9 ( ) 2 DX EX E X = − = ． 三、解答题 15．（本题满分 10 分） 求极限 0 0 3 lim x t x x te dt x → + −  【详解】令 x t u − = ，则 t x u dt du = − = − , ， 0 0 x x t x u x te dt ue du − − =   0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 2 lim lim lim lim 3 3 2 x x x t x u u x x x x x x te dt e ue du ue du x e x x x x + + + + − − − → → → → − = = = =   

16.(本题满分10分) 计算积分 dhdy,其中D是第一象限中以曲线y=√x与x轴为边界的无界区域 (1+x2+y2) (1 n √r o (+r+yy dx 17.(本题满分10分) 求Im∑ k 【详解】由定积分的定义 i∑ln|1+ xIn(1+x)da n kel n [+x2 18.(本题满分10分) 已知方程 In(1+x)x =k在区间(0,1)内有实根,确定常数k的取值范围 【详解】设∫(x)= -,x∈(O,1),则 n(l+x x 1(1+x)ln2(1+x) (1+x)ln2(1+x)x2x2(1+x)ln2(1+x) 令g(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2,则g(O)=0,g(1)=2ln22-1 g(x)=ln2(1+x)-2ln(1+x)-2x,g(0)=0 2(In(1+x)-x) g"(x) 1+x <0,x∈(0,1),所以g(x)在(0,1)上单调减少, 由于g(0)=0,所以当x∈(0,1)时,g(x)<g0)=0,也就是g(x)g'(x)在(O,1)上单调减少,当x∈(0,1) 时,g(x)<g(0)=0,进一步得到当x∈(0,1)时,f(x)<0,也就是f(x)在(O,1)上单调减少 lim f(x)=lin lim f(1) 也就是得到 1<k< 1-0((1+x)x)roxIn(+x)2

5 16．（本题满分 10 分） 计算积分 3 2 4 2 (1 ) D y dxdy + + x y  ，其中 D 是第一象限中以曲线 y x = 与 x 轴为边界的无界区域． 【详解】 3 3 2 4 2 2 4 2 0 0 2 4 2 4 2 0 0 2 2 0 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 4 (1 ) 1 1 1 2 1 4 1 1 2 8 2 x D x y y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x  + + + = + + + + + + = + +     = − = −         + +         17．（本题满分 10 分） 求 2 1 lim ln 1 n n k k k → = n n     +    【详解】由定积分的定义 1 2 0 1 1 1 2 0 1 lim ln 1 lim ln 1 ln(1 ) 1 1 ln(1 ) 2 4 n n n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx → → = =         + = + = +     = + =     18．（本题满分 10 分） 已知方程 1 1 ln(1 ) k x x − = + 在区间 (0,1) 内有实根，确定常数 k 的取值范围． 【详解】设 1 1 ( ) , (0,1) ln(1 ) f x x x x = −  + ，则 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 )ln (1 ) ( ) (1 )ln (1 ) (1 )ln (1 ) x x x f x x x x x x x + + −  = − + = + + + + 令 2 2 g x x x x ( ) (1 )ln (1 ) = + + − ，则 2 g g (0) 0, (1) 2ln 2 1 = = − 2 g x x x x g   ( ) ln (1 ) 2ln(1 ) 2 , (0) 0 = + − + − = 2(ln(1 ) ) ( ) 0, (0,1) 1 x x g x x x + −  =   + ，所以 g x ( ) 在 (0,1) 上单调减少， 由于 g (0) 0 = ，所以当 x(0,1) 时， g x g   ( ) 0) 0  = ，也就是 g x( ) g x ( ) 在 (0,1) 上单调减少，当 x(0,1) 时， g x g ( ) (0) 0  = ，进一步得到当 x(0,1) 时， f x ( ) 0  ，也就是 f x( ) 在 (0,1) 上单调减少． 0 0 0 1 1 ln(1 ) 1 lim ( ) lim lim x x x ln(1 ) ln(1 ) 2 x x f x x x x x → → → + + +   − + = − = =     + + ， 1 (1) 1 ln 2 f = − ，也就是得到 1 1 1 ln 2 2 −   k ．