2017年考研数学一真题及答案解析 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求 的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)若函数f(x)= ar t>0 在x=0处连续,则 b,x≤0 (4)ab=1 (Cab=0 (D)ab 【答案】A COS 【解析】Iim √x lim ∵∫(x)在x=0处连续∴=b→ab=,选A x→0 (2)设函数f(x)可导,且f(x)f(x)>0,则() (A)f(1)>f(-1)(B)f(1)<f(-1) (C)f(>|(-1)(D)f(1)<|f(-1) 【答案】C 【解析】∵:∫(x)∫(x)>0, (x)>0(1)或()0 f(x)>0(x)<0 2),只有C选项满足(1)且满足(2),所以选C (3)函数f(xy,)=x2y+=2在点(12,0)处沿向量=(2,2)的方向导数为() (A)2(B)6(C4(D2 【答案】D 解析18=12x23.81=1410==8yu=14133=2 选 (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处,图中实线表示甲的速度曲线v=v()(单 位:m/s),虚线表示乙的速度曲线v=v2(),三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追
2017 年考研数学一真题及答案解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x ax b x − = 在 x = 0 处连续，则（ ） ( ) ( ) 1 1 ( ) 2 2 ( ) 0 2 A ab B ab C ab D ab = = − = = 【答案】A 【解析】 0 0 1 1 cos 1 2 lim lim , ( ) x x 2 x x f x ax ax a → → + + − = = 在 x = 0 处连续 1 1 . 2 2 b ab a = = 选 A. （2）设函数 f x( ) 可导，且 ' f x f x ( ) ( ) 0 ，则（ ） ( ) ( ) ( ) (1) ( 1) (1) ( 1) ( ) (1) ( 1) (1) ( 1) A f f B f f C f f D f f − − − − 【答案】C 【解析】 ' ( ) 0 ( ) ( ) 0, (1) '( ) 0 f x f x f x f x 或 ( ) 0 (2) '( ) 0 f x f x ，只有 C 选项满足 (1) 且满足 (2) ，所以选 C。 （3）函数 2 2 f x y z x y z ( , , ) = + 在点 (1, 2,0) 处沿向量 u = (1,2,2) 的方向导数为（ ） ( )12 ( )6 ( )4 ( )2 A B C D 【答案】D 【解析】 2 (1,2,0) 1 2 2 {2 , ,2 }, {4,1,0} {4,1,0} { , , } 2. | u | 3 3 3 f u gradf xy x z gradf gradf u = = = = = 选 D. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 1 v v t = ( ) （单 位： m s/ ），虚线表示乙的速度曲线 2 v v t = ( ) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追
上甲的时刻记为(单位:s),则() 530t(s) (A)0=10(B)15<10<20(C)0=25()0>25 【答案】B 【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为v(txt (t)d,则乙要追上甲,则 v2(t)-v1(ta=10,当b0=25时满足,故选C (5)设a是n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则() (AE-aa不可逆(B)E+a不可逆 (C)E+2ax不可逆(D)E-2a7不可逆 【答案】A 【解析】选项A由(E-aa)=a-a=0得(E-aa)x=0有非零解,故E-a|=0。即E-a 不可逆。选项B由r(aa)a=1得aa的特征值为n1个0,1故E+aa的特征值为n-1个1,2故可逆 其它选项类似理解。 00 (6)设矩阵A=021,B=020,C=020,则( 00 001 002 (A)A与C相似B与C相似(B)4与C相似B与C不相似 (C)A与C不相似B与C相似(D)4与C不相似B与C不相似 【答案】B 【解析】由(E-A)=0可知A的特征值为2,2,1
上甲的时刻记为 0 t （单位：s），则（ ） 0 5 10 15 20 25 30 t s() v m s ( / ) 10 20 0 0 0 0 ( ) 10 ( )15 20 ( ) 25 ( ) 25 A t B t C t D t = = 【答案】B 【解析】从 0 到 0 t 这段时间内甲乙的位移分别为 0 0 1 2 0 0 (t) , (t) , t t v dt v dt 则乙要追上甲，则 0 2 1 0 (t) v (t) 10 t v dt − = ，当 0 t = 25 时满足，故选 C. （5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 T T T T A E B E C E D E − + + − 不可逆 不可逆 不可逆 不可逆 【答案】A 【解析】选项 A,由 ( ) 0 − = − = T E 得 ( ) 0 − = T E x 有非零解，故 − = 0 T E 。即 − T E 不可逆。选项 B,由 ( ) 1 = T r 得 T 的特征值为 n-1 个 0，1.故 + T E 的特征值为 n-1 个 1，2.故可逆。 其它选项类似理解。 （6）设矩阵 2 0 0 2 1 0 1 0 0 0 2 1 , 0 2 0 , 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 A B C = = = ,则（ ） ( ) ( ) ( ) , , ( ) , , A A C B C B A C B C C A C B C D A C B C 与 相似 与 相似 与 相似 与 不相似 与 不相似 与 相似 与 不相似 与 不相似 【答案】B 【解析】由 ( ) 0 E A − = 可知 A 的特征值为 2,2,1
因为3-r(2E-A)=1,∴A可相似对角化,且A~020 由E-B=0可知B特征值为2,1 因为3-r(2E-B)=2,∴B不可相似对角化,显然C可相似对角化, ∴A~C,且B不相似于C (7)设A,B为随机概率,若0<P(4)<10<P(B)<1,则P(4B)>P(AB)的充分必要条件是() (A)P(BJA)>P(BA)(B)P(B A)<P(BA) (O)P(BA)>P(BA) (D)P(BA)<P(BA) 【答案】A 【解析】按照条件概率定义展开,则A选项符合题意 设x(2米自体ND的简单样木,记它x,则下列结论中不正确 的是() (A∑(X-)服从2分布(B)2(xn-X)服从z2分布 (C)∑(X-X服从x2分布(D)以(x-)服从x2分布 【答案】B 【解析】 l1),x1-~N(0,1) →∑(X1-)-x2(m,A正确 (n-1)S2=∑(X-x)-x2(n-1),C正确 →X~N(A,),√m(x-)-N(0,1.,m(-p)2~x2(①),D正确, M12(X-X1-x(D故B错误 由于找不正确的结论,故B符合题意
因为 3 (2 ) 1 − − = r E A ，∴A 可相似对角化，且 100 ~ 0 2 0 0 0 2 A 由 E B− = 0 可知 B 特征值为 2,2,1. 因为 3 (2 ) 2 − − = r E B ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ∴ A C~ ，且 B 不相似于 C （7）设 A B, 为随机概率，若 0 ( ) 1,0 ( ) 1 P A P B ，则 P A B P A B ( ) ( ) 的充分必要条件是（ ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A P B A P B A B P B A P B A C P B A P B A D P B A P B A 【答案】A 【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。 （8）设 1 2 , ( 2) X X X n n 为来自总体 N( ,1) 的简单随机样本，记 1 1 n i i X X n = = ，则下列结论中不正确 的是（ ） ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) n i n i n i i A X B X X C X X D n X = = − − − − 服从 分布 服从 分布 服从 分布 服从 分布 【答案】B 【解析】 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ( ,1), (0,1) ( ) ( ), ( 1) ( ) ( 1) C 1 ~ ( , ), ( ) (0,1), ( ) ~ (1), ( ) ~ (0, 2), ~ (1), B 2 i n i i n i i n X N X N X n A n S X X n X N n X N n X D n X X N = = − − − = − − − − − 正确 ， 正确， 正确, 故 错误. 由于找不正确的结论，故 B 符合题意
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 (9)已知函数f()、1,则f3(0)= 【答案】f(0)=-6 【解析】 r) 1+x 1-(x)=2(-x)=>(-yx2 f(x)=∑(-1)2 n(2n-1)(2n-2)x2n3 →f(0)=0 (10)微分方程y+2y+3y=0的通解为 【答案】y=e'(ccos√2x+c2sin√2x),(c1,c2为任意常数) 【解析】齐次特征方程为+24+3=0→42=-1+√ 故通解为e'(ccos√2x+csin2x) (1)若曲线积分「x-a 在区域D={(x,y)x2+y2<1}内与路径无关,则 【答案】a=1 【解析】 2ay,由积分与路径无关知如 (x2+y2-1)2 1) (12)幂级数∑(-1)"nx”在区间(-1)内的和函数S(x) 【答案】s(x)= 【解析】∑(-)"mx=|∑(-y"x 1+x)(1+x)2 101 (13)设矩阵A=112,a,a23为线性无关的3维列向量组,则向量组Aa,Aa2,Aa3的秩为
二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 已知函数 2 1 ( ) 1 f x x = + ，则 (3) f (0) =__________ 【答案】 f (0) 6 = − 【解析】 2 2 2 2 0 0 ''' 2 3 ''' 2 1 1 ( ) ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( 1) 2 (2 1)(2 2) (0) 0 n n n n n n n n f x x x x x f x n n n x f = = − = = = = − = − + − − = − − − = (10) 微分方程 '' ' y y y + + = 2 3 0 的通解为 y = _________ 【答案】 1 2 ( cos 2 sin 2 ) x y e c x c x − = + ，（ 1 2 c c, 为任意常数） 【解析】齐次特征方程为 2 1,2 + + = = − + 2 3 0 1 2i 故通解为 1 2 ( cos 2 sin 2 ) x e c x c x − + (11) 若曲线积分 2 2 L 1 xdx aydy x y − + − 在区域 2 2 D x y x y = + ( , ) | 1 内与路径无关，则 a =__________ 【答案】 a =1 【解析】 2 2 2 2 2 2 2 2 , , ( 1) ( 1) P xy Q axy y x y x x y − = = + − + − 由积分与路径无关知 1 P Q a y x = = − (12) 幂级数 1 1 1 ( 1)n n n nx − − = − 在区间 ( 1,1) − 内的和函数 S x( ) = ________ 【答案】 ( ) 2 1 ( ) 1 s x x = + 【解析】 ' ' 1 1 1 2 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 (1 ) n n n n n n x nx x x x − − − = = − = − = = + + （13）设矩阵 1 0 1 1 1 2 0 1 1 A = ， 1 2 3 , , 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 1 2 3 A A A , , 的秩为 _________
【答案】2 【解析】由a1,a2ax2线性无关,可知矩阵a1,a2,a3可逆,故 r(a,4a2,A)=r(4(a1,a2,a3)=r(4)再由r(4)=2得r(Aa1,4a2,4x)=2 (14)设随机变量X的分布函数为F(x)=0.5d(x)+0.5d(),其中Φ(x)为标准正态分布函数,则 EX 【答案】2 【解析】F(x)=050(x)+m-2),故EX=05x0x+厂x(7, 厂(2=E=0,令2=1,则厂m(2=2(+2=8+Mm=8 因此E(X)=2 解答题:15-23小题,共%4分请解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 (15)(本题满分10分) 设函数∫(u,v)具有2阶连续偏导数,y=f(e,cosx),求 dy d 【答案】 f(,1) =f1(1) 【解析】 y=f(e, cos x)=y0)=f(1, 1) =(+f(-smx)=f(1)1+(,0=f(1) d-y Mner+ fne (-sin x)+f2e (-sin x)+f2 sin2'x+fe-f,cosx dh a2h(.1)+f(1,y-f(1 =f1(1,1) =f1(1,1)+f1(1,1)-f2(,1)
【答案】2 【解析】由 1 2 3 , , 线性无关，可知矩阵 1 2 3 , , 可逆，故 r A A A r A r A ( 1 2 3 1 2 3 , , , , ) = = ( ( )) ( ) 再由 r A( ) = 2 得 r A A A ( 1 2 3 , , 2 ) = （14）设随机变量 X 的分布函数为 4 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( ) 2 x F x x − = + ，其中 ( ) x 为标准正态分布函数，则 EX = _________ 【答案】2 【解析】 0.5 4 ( ) 0.5 ( ) ( ) 2 2 − = + x F x x ，故 0.5 4 0.5 ( ) ( ) 2 2 + + − − − = + x EX x x dx x dx ( ) 0 + − = = x x dx EX 。令 4 2 − = x t ，则 4 ( ) 2 + − − x x dx = 2 4 2 ( ) 8 1 4 ( ) 8 ( ) + + − − + = + = t t dt t t dt 因此 E X( ) 2 = . 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 设函数 f u v ( , ) 具有 2 阶连续偏导数， ( ,cos ) x y f e x = ，求 x 0 dy dx = ， 2 2 x 0 d y dx = 【答案】 2 ' '' 1 11 2 0 0 (1,1), (1,1), x x dy d y f f dx dx = = = = 【解析】 ( ( )) 0 ' ' ' ' ' 1 2 1 2 1 0 0 2 '' 2 '' '' '' 2 ' ' 2 11 12 21 22 1 2 2 '' ' ' 2 11 1 2 0 ( ,cos ) (0) (1,1) sin (1,1) 1 (1,1) 0 (1,1) ( sin ) ( sin ) sin cos (1,1) (1,1) (1,1) x x x x x x x x x x y f e x y f dy f e f x f f f dx d y f e f e x f e x f x f e f x dx d y f f f dx = = = = = = = + − = + = = + − + − + + − = + − 结论： ' 1 0 2 '' ' ' 2 11 1 2 0 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) x x dy f dx d y f f f dx = = = = + −